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高中数学 2.3.2第1课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第2章 2.3.2 第 1 课时 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.双曲线 - =1 的( 5 4 x2 y2 ) 2 5 3 5 A.实轴长为 2 5,虚轴长为 4,渐近线方程为 y=± x,离心率 e= 5 5 B.实轴长为 2 5,虚轴长为 4,渐近线方程为 y=± 5 9 x,离心率 e= 5 5 6 C.实轴长为 2 5,虚轴长为 4,渐近线方程为 y=±2 5x,离心率 e= 5 D.实轴长为 2 5,虚轴长为 8,渐近线方程为 y=± 答案: A 2.已知双曲线 - 2=1(b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,其一条渐近线方程为 y=x, 2 b → → 点 P( 3,y0)在该双曲线上,则PF1·PF2=( A.-12 C.0 ) B.-2 D.4 5 6 x,离心率 e= 2 5 x2 y2 解析: 因为渐近线方程为 y=x,∴b= 2, ∴双曲线方程为 x -y =2, 所以点 P 的坐标为( 3,±1), 又易知 F1(-2,0),F2(2,0),不妨取 P( 3,1). → → ∴PF1·PF2=(-2- 3,-1)·(2- 3,-1)=0. 答案: C 3 3.双曲线的渐近线为 y=± x,则双曲线的离心率是( 4 A. 5 4 B.2 D. 5 15 或 2 3 ) 2 2 5 5 C. 或 4 3 解析: 若双曲线焦点在 x 轴上, b 3 ∴ = , a 4 ∴e= 1+ 2= b2 a 9 1+ = 16 25 5 = . 16 4 若双曲线的焦点在 y 轴上, a 3 b 4 ∴ = , = . b 4 a 3 ∴e= b2 1+ 2= a 16 1+ = 9 25 5 = . 9 3 答案: C 4.已知双曲线 - 2=1 的实轴的一个端点为 A1,虚轴的一个端点为 B1,且|A1B1|=5, 16 b 则双曲线的方程是( A. C. - =1 16 25 - =1 16 9 ) B. D. - =-1 16 25 - =-1 16 9 x2 y2 x2 x2 y2 x2 x2 y2 y2 y2 解析: 由题意知 a=4.又∵|A1B1|=5, ∴c=5,∴b= c -a = 25-16=3. ∴双曲线方程为 - =1. 16 9 答案: C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.双曲线与椭圆 4x +y =64 有公共的焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为 ________. 解析: 椭圆 4x +y =64,即 + =1, 16 64 焦点为(0,±4 3),离心率为 3 , 2 2 3 , 2 2 2 2 2 2 x2 y2 x2 y2 所以双曲线的焦点在 y 轴上,c=4 3,e= 所以 a=6,b= c -a =2 3, 所以双曲线方程为 - =1. 36 12 答案: 2 2 y2 x2 y2 36 - x2 12 =1 2 x y 1 6.若双曲线 - 2=1(b>0)的渐近线方程为 y=± x,则 b 等于________. 4 b 2 2 解析: 双曲线的渐近线方程为 y=± x 2 ∴b=1. 答案: 1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求适合下列条件的双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 3 (2)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=± x; 2 (3)过点 M(2,-2)与 -y =1 有公共渐近线. 2 b x2 2 x2 y2 y2 x2 解析: (1)设双曲线的标准方程为 2- 2=1 或 2- 2=1(a>0,b>0). a b a b c 5 2 2 2 由题意知 2b=12, = 且 c =a +b , a 4 ∴b=6,c=10,a=8, ∴标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 x2 y2 y2 x2 b 3 9 (2)当焦点在 x 轴上时,由 = 且 a=3,∴b= . a 2 2 ∴所求双曲线方程为 - =1. 9 81 x2 4y2 a 3 当焦点在 y 轴上时,由 = 且 a=3,∴b=2. b 2 所求双曲线方程为 - =1. 9 4 y2 x2 2 x 4y y x 综上,双曲线方程为 - =1 或 - =1. 9 81 9 4 (3)设与双曲线 -y =1 有公共渐近线的双曲线的方程为 -y =λ , 2 2 2 2 将点(2,-2)代入得 λ = -(-2) =-2, 2 ∴双曲线的标准方程为 - =1. 2 4 8.双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直 4 线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c,求双曲线离心率 e 的取值范围. 5 2 2 2 2 x2 2 x2 2 y2 x2 x2 y2 a b 解析: 由题意知直线 l 的方程为 + =1, |b-ab| |-b-ab| 4 即 bx+ay-ab=0.则 2 + ≥ c, a +b2 a2+b2 5 整理得 5ab≥2c . 又∵c =a +b ,∴5ab≥2a +2b . 1 b ∴ ≤ ≤2. 2 a 2 2 2 2 2 2 x y a b c e= = a ∴ 1+? ? a ?b?2 ? ? 5 ≤e≤ 5. 2 尖子生题库 ☆☆☆ 9.(10 分)过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右焦点 F(2 2,0)作双曲线的一条渐近线的垂 线,与该渐近线交于点 P,且 O F ·F P =-6,求双曲线的方程. 解析: 方法一:设双曲线的一条渐近线方程为 y= x, 则过 F 且与其垂直的直线方程为 y=- (x-2 2). x2 y2 a b → → b a a b b ? ?y=ax, 由

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