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2.1.2求曲线的方程 课件(人教A版选修2-1)_图文

时间:2016-09-14

成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 · 选修2-1

第二章 2.1 曲线与方程
第2课时 求曲线的方程

第二章

圆锥曲线与方程

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求曲线方程的方法步骤 温故知新 回顾复习建立坐标系的基本原则,待定系数法求直线与圆

的方程的步骤,求轨迹方程的一般步骤.复习常见的轨迹(到定
点距离等于定长的点的轨迹;到线段两端点距离相等的点的轨 迹;到角的两边距离相等的点的轨迹;到两条平行线距离相等 的点的轨迹;到一条直线的距离为定值的点的轨迹等).

第二章

圆锥曲线与方程

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新知导学 1.解析几何研究的主要问题 表示曲线的方程 (1)根据已知条件,求出______________________ ; 曲线的性质 (2)通过曲线的方程,研究_____________ .

第二章

圆锥曲线与方程

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做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)在平面直角坐标系内,到原点距离为2的点M的轨迹方程
是 .
??? ? ??? ? OP? OA (2)直角坐标平面xOy中,若定点A(1,2)与动点P(x,y)满足

=4,则点P的轨迹方程是

.

(3)已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PO|,则点P的

轨迹方程是

.

第二章

圆锥曲线与方程

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【解析】(1)设M(x,y),由|MO|=2,得
x 2 ? y2 =2,所以x2+y2=4.

答案:x2+y2=4 ??? ? ???? (2)由 OP?OA =4知,x+2y=4?x+2y-4=0, 所以P点的轨迹方程是x+2y-4=0. 答案:x+2y-4=0 (3)设P(x,y),则|PA|=3|PO|可化为 化简得:8x2+2x+8y2-4y-5=0. 答案:8x2+2x+8y2-4y-5=0
第二章 圆锥曲线与方程

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1.求曲线方程的常用方法
求曲线方程的常用方法有直接法、定义法、代入法,另外 还有参数法、交轨法等. 直接法 (1)__________ :动点满足的几何条件本身就是几何量的 等量关系,只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲

线的轨迹方程,再利用解析几何的有关公式进行整理、化简(也
称直译法). 定义法 (2)__________ :若动点的轨迹满足已知曲线的定义,可 先设定方程,再确定其中的基本量.

第二章

圆锥曲线与方程

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代入法 (3)__________ :动点 M(x , y) 随着动点 P(x1 , y1) 的运动 而运动,点P(x1,y1)在已知曲线C上运动,可根据P与M的关系 用x,y表示x1,y1,再代入曲线C的方程,即可得点M的轨迹方 程. 参数法 (4)__________ :选取适当的参数,分别用参数表示动点 坐标 x , y ,得出轨迹的参数方程,消去参数,即得其普通方 程. 交轨法 (5)__________ :求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接 消去参数,例如求动直线的交点时常用此法,也可以引入参数 来建立这些动曲线的联系,然后消去参数得到轨迹方程.
第二章 圆锥曲线与方程

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代入法求曲线的方程
(2014·吉林高二检测)已知动点P在曲线2x2-y=0上移动,则点 A(0,-1)与点P连线中点M的轨迹方程是( A.y=2x2 C.2y=8x2-1 B.y=8x2 D.2y=8x2+1 )

第二章

圆锥曲线与方程

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牛刀小试 → → 1.平面内有两定点 A,B 且|AB|=4,动点 P 满足|PA+PB| =4,则点 P 的轨迹是( A.线段 C.圆
[答案] C

) B.半圆 D.直线

第二章

圆锥曲线与方程

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[解析] 以 AB 的中点为原点,以 AB 所在的直线为 x 轴建 → → 立直角坐标系,则 A(-2,0),B(2,0).设 P(x,y),则PA+PB= → 2PO=2(-x,-y). → → ∵|PA+PB|=4,∴x2+y2=4.

第二章

圆锥曲线与方程

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2.一个动点到直线x=8的距离是它到点A(2,0)距离的2倍,
则动点的轨迹方程为________. [答案] 3x2+4y2=48
[解析] 设 M(x,y)为轨迹上任一点,那么 |x-8|=2 ?x-2?2+y2, 整理得,3x2+4y2=48.

第二章

圆锥曲线与方程

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3.(2013· 湖南省长沙一中期中)如图,圆 O1 与圆 O2 的半径 都是 1,O1O2=4,过定点 P 分别作圆 O1、圆 O2 的切线 PM, PN(M,N 分别为切点),使得 PM= 2PN,试建立适当的坐标 系,并求动点 P 的轨迹方程.

第二章

圆锥曲线与方程

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[解析]

以O1O2的中点为原点,O1O2所在直线为 x轴,建

立如图所示的平面直角坐标系,得O1(-2,0),O2(2,0).

第二章

圆锥曲线与方程

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连接 PO1,O1M,PO2,O2N. 由已知 PM= 2PN,得 PM2=2PN2,
2 又在 Rt△PO1M 中,PM2=PO2 - MO 1 1,在 Rt△PO2N 中, 2 PN2=PO2 - NO 2 2, 2 即得 PO2 - 1 = 2( PO 1 2-1).

设 P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 化简得(x-6)2+y2=33. 因此所求动点 P 的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.

第二章

圆锥曲线与方程

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典例探究学案

第二章

圆锥曲线与方程

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直译法求曲线的方程

过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2,若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹 方程.

第二章

圆锥曲线与方程

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[解析] 解法一:如图所示,设点 A(a,0),B(0,b),M(x, y),因为 M 为线段 AB 的中点,所以 a=2x,b=2y,即 A(2x,0), 4-0 B(0,2y).因为 l1⊥l2,所以 kAP· kPB=-1.而 kAP= (x≠1), 2-2x 4-2y kPB= , 2-0

第二章

圆锥曲线与方程

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2 2-y 所以 · 1 =-1(x≠1). 1-x 整理得,x+2y-5=0(x≠1). 因为当 x=1 时,A、B 的坐标分别为(2,0),(0,4),所以线 段 AB 的中点坐标是(1,2),它满足方程 x+2y-5=0. 综上所述,点 M 的轨迹方程是 x+2y-5=0.

第二章

圆锥曲线与方程

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解法二: 设 M ( x, y), 则易知 A、 B 两点的坐标分别是(2x,0), 1 (0,2y) , 连 接 PM. 因 为 l1 ⊥ l2 , 所 以 |PM| = 2 |AB|. 而 |PM| = ?x-2?2+?y-4?2,|AB|= ?2x?2+?2y?2, 所以 2 ?x-2?2+?y-4?2= 4x2+4y2, 化简,得 x+2y-5=0 为所求轨迹方程.

第二章

圆锥曲线与方程

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1 解法三:设 l1:y=k(x-2)+4,则 l2:y=- k(x-2)+4, 4 2 在 l1 中令 y=0 得 x=2-k ,在 l2 中令 x=0 得 y=k +4,∴A(2 4 2 -k ,0),B(0,k +4), 设 M(x,y),∵M 是 AB 的中点, 2 ? ?x=1-k , ∴? ?y=1+2, ? k

消去 k 得,x+2y-5=0.

第二章

圆锥曲线与方程

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[ 方法规律总结 ]

1. 大多数求轨迹方程的题目可以用直译

法求解,解题时直接依据文字叙述的条件,列出等式整理可 得.解题过程中要注意所采用的数学表达式的形式是否受到某 些条件的限制而丢掉个别点,如使用斜率求解时限制条件是斜

率存在,因而可能漏掉斜率不存在的点.必须找一找是否漏掉
了.有时也可能在变形过程中使范围扩大了(如平方),多出了 不合要求的点,要通过最后的检验“防失、去伪”.

第二章

圆锥曲线与方程

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已知两个定点A、B的距离为6,动点M满足条件·=-1, 求点M的轨迹方程. [ 解析 ] B(3,0), 以 AB 中点为原点,直线 AB

为 x 轴建立直角坐标系如图,则 A( - 3,0) ,
→ → 设 M(x,y),则由MA· MB=-1 得,(-3-x,-y)· (3-x, -y)=-1, ∴x2+y2=8 为所求.
第二章 圆锥曲线与方程

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代入法求曲线的方程
已知△ABC 的两个顶点坐标为 A(-2,0),B(0, -2),第三个点 C 在曲线 y=3x2-1 上移动,求△ABC 重心的 轨迹方程.(注:设△ABC 顶点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), x1+x2+x3 y1+y2+y3 则△ABC 重心坐标为 G( , ).) 3 3

第二章

圆锥曲线与方程

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[解析]

设C(x1,y1),重心G(x,y),由重心坐标公式得3x

=-2+0+x1,3y=0-2+y1, 即x1=3x+2,y1=3y+2, ∵C(x1,y1)在曲线y=3x2-1上,

∴3y+2=3(3x+2)2-1.
化简得y=9x2+12x+3. 故△ABC的重心的轨迹方程为 y=9x2+12x+3.(不包括和 直线AB的交点)

第二章

圆锥曲线与方程

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[ 方法规律总结 ]

代入法求轨迹方程适用于“从动点 M 随

在已知曲线 C 上运动的主动点 P 的运动而运动”的情形,解题 的关键环节是依据所给条件建立点 M 与点 P的坐标之间的联系, 将主动点坐标用从动点M的坐标x、y来表示,代入已知方程.

第二章

圆锥曲线与方程

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已知⊙O:x2+y2=4,P 为⊙O 上任一点,M 在 OP 上,使 → → 得OM=3MP,则点 M 的轨迹方程为________.

9 [答案] x +y =4
2 2

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圆锥曲线与方程

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→ → [解析] 设 M(x,y),P(x0,y0),由OM=3MP得:(x,y)= (3(x0-x),3(y0-y)), 4x ? ?x0 = 3 , ∴? ?y0=4y. 3 ?
?4x? ?4y? 2 上,∴? 3 ? +? 3 ?2=4. ? ? ? ?

∵点 P 在⊙O

9 故所求轨迹方程为 x +y =4.
2 2

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圆锥曲线与方程

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定义法求曲线方程

设圆 C:(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的任意 弦,求所作弦的中点的轨迹方程.

第二章

圆锥曲线与方程

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[解析] 设所作弦的中点为 P(x, y), 连接 CP, 则 CP⊥OP, 1 |OC|=1,OC 的中点 M(2,0),∴动点 P 的轨迹是以点 M 为圆 12 2 1 心,以 OC 为直径的圆,∴轨迹方程为(x-2) +y =4.∵点 P 不 12 能与点 O 重合, ∴0<x≤1, 故所作弦的中点的轨迹方程为(x-2) 1 +y =4(0<x≤1).
2

第二章

圆锥曲线与方程

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[解法探究] 么方法求解呢?

上面依据 CP⊥OP 利用圆的几何特性得出 P

点轨迹为圆,然后直接由圆的定义求轨迹的方程,还可以用什 1 ①由直角三角形△OPC 斜边上中线 PM 得|PM|=2|OC|, 可 用直接法求解.

第二章

圆锥曲线与方程

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②由点P随点Q运动的特征可找出P(x,y)与Q(x1,y1)的坐
标关系用代入法求解. ③由直线OQ过原点,点P随直线OQ的斜率k的变化而变化 的特征用参数法求解.可设OQ:y=kx,与圆C方程联立消去y, 由中点坐标公式和根与系数关系求解.

[ 方法规律总结 ]

在求轨迹方程时,要注意挖掘题目中的

隐含条件,若轨迹满足已知曲线的定义,选取定义法求轨迹方 程较简便,若轨迹与某个参数的变化密切关联可用参数法求 解.

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已知 A、B、D 三点不在一条直线上,且 A(-2,0),B(2,0), → → → → → 1→ | AD | = 2 , AC = AB + AD , AE = 2 AC ,则点 E 的轨迹方程是 ____________________.
[答案] x2+y2=1(y≠0)

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[解析] 如图

设点E的坐标为(x,y),

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设点 E 的坐标为(x,y), → 1→ 1 → → ∵AE=2AC=2(AB+AD), ∴由向量加法的平行四边形法则可知, 点 E 为 BD 的中点, 连接 OE, 1 又 O 为 AB 的中点,∴OE=2AD=1. 即动点 E 到定点 O 的距离为定值 1, 由圆的定义知,点 E 的轨迹方程为 x2+y2=1(y≠0).

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命题条件不明致误 已知曲 线 C : y = x2-2x+2 和 直 线 l : y = kx(k≠0),若 C 与 l 有两个交点 A 和 B,求线段 AB 中点的轨迹 方程.

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[错解]

2 ? ?y= x -2x+2, 依题意,由? ? ?y=kx,

分别消去 x、y 得,(k2-1)x2+2x-2=0, (k2-1)y2+2ky-2k2=0. 设 AB 的中点为 P(x,y),则在①②中分别有 ? ?x=x1+x2= 1 2, 2 1-k ? ? k ? y1+y2 y= 2 = ④ 2, ? 1 - k ? 故线段 AB 中点的轨迹方程为 x2-y2-x=0.
第二章

① ②



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[辨析]

消元过程中,由于两边平方,扩大了变量y的允许
2 ? ?y= x -2x+2, 依题意,由? ? ?y=kx,

值范围,故应对x,y加以限制.
[正解]

分别消去 x、y 得,(k2-1)x2+2x-2=0, (k2-1)y2+2ky-2k2=0. 设 AB 的中点为 P(x,y),则在①②中分别有 ? ?x=x1+x2= 1 2, 2 1-k ? ? k ? y1+y2 y= 2 = ④ 2, ? 1 - k ?
第二章

① ②



圆锥曲线与方程

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又对②应满足: ?k2-1≠0, ? 2 2 2 ?Δ=4k -4×?-2k ?×?k -1?>0, ? 2k ?y1+y2= 2>0, 1 - k ? ? 2k2 y2 = 2>0, ?y1· 1 - k ? 2 解得 2 <k<1.结合③④,则有 x>2,y> 2. 所以所求轨迹方程是 x2-y2-x=0(x>2,y> 2).

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