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2014届高考数学(文)一轮复习课件:选修4-1 第1讲相似三角形的判定及有关性质

时间:2013-12-01


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选修4-1

几何证明选讲

选修4-1 第1讲

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第1讲

相似三角形的判定及有关性质

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不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.了解平行线分线段成比例定理. 2. 会证明、应用直角三角形射影定理.
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1个重要应用 射影定理的两个条件:一是直角三角形;二是斜边上的 高,二者缺一不可;应用射影定理可求直角三角形的边长、面 积等有关量,同时还可用于研究相似问题,比例式等问题.

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2点必须注意 1. 利用平行线分线段成比例定理解决问题时要特别注意被 平行线所截的直线,找准成比例的线段,得到相应的比例式,

有时需要进行适当的变形,从而得到最终的结果.
2. 证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例式中 给出的线段所在三角形是否相似,若不相似,则进行线段替换 或等比替换.

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3条必会思路 1. 判定三角形相似时,条件中若有一对角相等,可找另一 对角相等或找夹这对角的两边成比例.

2. 条件中若有两边的比相等,可找夹角相等或证明另外一
组对应边的比等于已知两边的比. 3. 条件中若有等腰三角形,可找顶角相等或找一对底角相 等或两个三角形的底和腰的比对应相等.

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课前自主导学

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1. 平行线截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段________,那么

在其他直线上截得的线段________.
(2)平行线等分线段定理的推论 ①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必______. ②经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线必 ________.

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(3)平行线分线段成比例定理及其推论 ①三条平行线截两条直线,所得的对应线段________.

②平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)
所得的对应线段________.

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平行线分线段成比例定理的推论的逆命题正确吗?

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如图,在?ABCD中,E是BC上一点,BE∶EC=2∶3,AE

交BD于F,则BF∶FD等于________.

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2.相似三角形的判定定理与性质定理 (1)相似三角形的判定定理 定理 判定定理1 判定定理2 内容 ______对应相等,两三角形相似 ______对应成比例且______相等,两三角 形相似

判定定理3

______对应成比例,两三角形相似

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(2)相似三角形的性质定理 定理与推论 内容 相似三角形对应高的比、对应中线的比和 对应角平分线的比都等于________ 相似三角形周长的比等于________

性质定理1 性质定理2
推论

相似三角形面积的比等于相似比的______
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于 相似比,外接圆的面积比等于相似比的 ______

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(1)Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,图形中共有x个三角 形与△ABC相似,则x的值为________. (2)如图所示,∠C=90°,∠A=30°,E是AB的中点, DE⊥AB于E,则△ADE与△ABC的相似比是_______.

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3. 直角三角形相似的判定定理与射影定理 (1)直角三角形相似的判定定理 内容 如果两个直角三角形________对应相等,那 判定定理1 么它们相似 如果两个直角三角形的________对应成比 判定定理2 例,那么它们相似 如果一个直角三角形的________和一条直角 判定定理3 边与另一个三角形的________和一条直角边 对应________,那么这两个直角三角形相似 定理

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(2)直角三角形的射影定理

直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的
________ ; 两 直 角 边 分 别 是 它 们 在 斜 边 上 射 影 与 斜 边 的 ________.

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已知如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,AC =6,DB=5,则AD的长为________.

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1. 相等 比例

也相等

平分第三边

平分另一腰

成比例



想一想:提示:正确.如果一条直线截三角形的两边或两

边的延长线所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角
形的第三条边.该命题正确. 填一填:2∶5

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2. 角 两 平 方 填填 一: 3. 1 2 ( )

两 边

夹 角

三 边

相比 似

相比 似

平 方

2 1 ( )

∶ 3

有一个锐角 两条直角边 斜边 斜边 成比例 比

例中项 比例中项 填一填:4

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核心要点研究

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例1

[2013·正定模拟]如图,△ABC

中,D是AC的中点,E是BC延长线上一
点,过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于 F,交AH于H.如果AB=4AF,EH=8,求 DF的长. [审题视点] 根据平行线分线段成比例定理,借助中间比

例式进行转换,即可得出结果.

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[解]

HF AF ∵AH∥BE,∴HE=AB.

HF 1 ∵AB=4AF,∴ = .∵HE=8,∴HF=2. HE 4 HD AD ∵AH∥BE,∴ DE =DC. ∵D是AC的 点 中, HD ∴ =1. DE

∵HE=HD+DE=8,∴HD=4. ∴DF=HD-HF=4-2=2.
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奇思妙想:若本例中,“AB=4AF,EH=8,求DF的长” 改为“HD=2DF,BF=3,求AB的长”,如何求解?

解:∵HD=2DF,又∵HD=DE, HF 1 AF 1 ∴HE=4,∴AB=4. BF 3 ∴AB=4,∵BF=3,∴AB=4.

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利用平行线分线段成比例定理及推论证明比例式应注意 (1)作出图形,观察图形及已知条件,寻找合适的比例关系; (2)如果题目中没有平行线,要注意添加辅助线,可添加的辅 助线可能很多,要注意围绕待证式;

(3)要注意“中间量”的运用与转化.

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[变式探究] 如图,△ABC 中,D 为 BC 中点,E 在 AC 上 AF BF 且 AE=2CE,AD、BE 相交于点 F,求FD,FE.

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解 过 D 作 DG∥AC 且 BE 于 G, : 点 交 点 因点 为 D 为 BC 的 点 所 中,以 EC=2DG.

AE 4 因 AE=2CE, 以 DG=1. 为 所 AF AE 4 GF 1 从 FD=DG=1, 以 FE =4. 而 所 BF 3 因 BG=GE, 以 FE=2. 为 所

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例2

[2012·课标全国高考]如右图,D,E分别为△ABC边

AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若

CF∥AB,证明:
(1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD.

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[审题视点]

(1)根据平行线关系和圆的弦中点,得到四边

形为平行四边形,从而得到线平行,再由平行线性质即得.(2) 根据平行转换,得到两三角形都为等腰三角形,再由角相等,

即可得两三角形相似.
[证明] (1) 因 为 D , E 分 别 为 AB , AC 的 中 点 , 所 以

DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以 CF=BD =AD.而CF∥AD,连接AF,所以四边形ADCF是平行 四边形,故CD =AF. 因为CF∥AB,所以BC =AF,故CD=BC.
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(2)因为FG∥BC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD. 由 BC = CD 知 ∠ CBD = ∠ CDB , 由 GB = BD 知 ∠ BGD = ∠BDG.

又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.
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1.证明三角形相似的一般思路是:先找两对内角对应相等; 若只找到一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应 成比例;若找不到角对应相等,就要证明三边对应成比例.

2.证明线段成比例,若已知条件中没有平行线,但有三角形
相似的条件(如角相等,有相等的比例式等),常考虑相似三 角形的性质构造比例或利用中间比求解.

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[变式探究] PB2= PE·PF.

如图,△ABC中,AB=AC,AD是中线,P为

AD上一点,CF∥AB,BP延长线交AC,CF于点E,F,求证:

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证: 如,接 明 图连

PC,

易证PC=PB,∠ABP=∠ACP. ∵CF∥AB,∴∠F=∠ABP. 从而∠F= ∠ACP. 又∠EPC为△CPE与△FPC的公共角, CP PE 从而△CPE∽△FPC,∴ = . FP PC ∴PC2=PE· PF, 又PC=PB,∴PB2= PE· PF.
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例3 2· [1 0 3

东城区模拟]

如图,在Rt

△ABC中,∠ACB=90° ,CD⊥AB于点D, DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F,求证: AC3 AE BC3=BF.

[审题视点]

由三角形ABC为直角三角形,因此可以利用

射影定理,寻找边AC与AD、AB之间的关系,同理可以得到边 BC 与 BD 、 AB 之 间 的 关 系 , 再 根 据 △ ADE∽△DBF , △ADE∽△ABC,得到有关比例式,最终得到所求证的结果.
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[证明]

由角角射定知 直三形影理:

AC2 AD AC2=AD· AB,BC2=BD· AB,∴ 2= . BC BD AD DE 由△AE ∽△DF ,得BD= BF . D B AE AC 由△AE ∽△ABC,得 = , D DE BC AE AE DE AC AD AC AC2 AC3 ∴ = · = · = · 2= 3. BF DE BF BC BD BC BC BC

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奇思妙想:本例已知不变,求证:AC·CE=BC·CF. 证明:∵CD⊥AB,∴△ADC为直角三角形,

又∵DE⊥AC,∴CD2=CE·AC,
同理CD2=CF·BC.∴AC·CE=BC·CF.

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利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与

其射影,再就是要善于将有关比例式进行适当的变形转化,
有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式, 并且注意射影定理的其他变式.

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[变式探究] [2013·江西模拟]如图,在 △ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF ⊥AC于F.

求证:AE·AB=AF·AC.
证明:∵AD⊥BC,∴△ADB为直角三角形. 又∵DE⊥AB,由射影定理知,AD2=AE·AB. 同理可得AD2=AF·AC. ∴AE·AB=AF·AC.

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经典演练提能

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1. Rt△ACB中,∠C=90°,CD⊥AB于D,若BD∶AD= 1∶9,则tan∠BCD=________. 1 答案:3

解析:由射影定理,得CD2=AD· BD. 又BD∶AD=1∶9, 令BD=x,则AD=9x(x>0). ∴CD2=9x2,∴CD=3x. BD x 1 ∴在Rt△CDB中,tan∠BCD= = = . CD 3x 3
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2. [2013· 江 苏 模 拟 ] 如 图 , 在 △ ABC 中 , DE∥BC , DF∥AC , AE∶AC = 3∶5 , DE = 6 , 则 BF =

________.
答案:4

DE AE 3 解析:由DE∥BC,得 BC =AC = 5 ,因为DE=6,所以BC BF BD CE 2 =10,又DF∥AC,∴BC= AB =AC=5,∴BF=4.

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3. [2011· 陕 西 高 考 ] 如 图 , ∠ B = ∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=

6,AC=4,AD=12,则AE=________.
答案:2

解析:由于∠ACD=∠AEB=90° ,∠B=∠D, AB AE ∴△ABE∽△ADC,∴ = . AD AC 又AC=4,AD=12,AB=6, AB· AC 6×4 ∴AE= = =2. AD 12
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4. [2012·辽宁高考]如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过 A作两圆的切线分别交两圆于C,D两点,连接DB并延长交⊙O

于点E.证明:

(1)AC·BD=AD·AB;
(2)AC=AE.
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证 : 1 由AC与⊙O′相切于A,得∠CAB=∠ADB, 明 ( ) 同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而 = ,即AC· BD=AD· AB. AD BD (2)由AD与⊙O相切于A,得∠AED=∠BAD, 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD. AE AD 从而 = ,即AE· BD=AD· AB. AB BD 结合(1)的结论,得AC=AE.

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