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河北省保定市定兴第三中学2014-2015学年高二数学下学期第一次月考试题 文

时间:2016-09-27


2014—2015 学年第二学期第一次月考 高二数学试卷
(考试时间:120 分钟;分值:150 分; ) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1 ? 2i 1.复数 z ? (i 是虚数单位)的共轭复数为( ) i A.2-i B.-2-i C.-2+i ) D.2+i

2.“|x-1|<2 成立”是“x(x-3)<0 成立”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件
x y

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.已知实数 x, y 满足 a ? a (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是( A. x ? y
3 3

B. sin x ? sin y

C.

ln( x 2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1)

D.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

4.已知命题 P : ?x ? R,2 ? 3 ;命题 q : ?x ? R, x ? 1 ? x ,则下列命题中为真命题的
x x 3 2

是(

) B.¬p∧q ) C. ? ?2, ?? ? ) D.x>2 ) D. ? ??, ?2? C.p∧¬q D.¬p∧¬q

A. p∧q
x
y

5.若 2 +2 =1,则 x+y 的取值范围是 ( A. ? 0, 2? B. ? ?2, 0?

6.不等式|2x-log2x|<2x+|log2x|成立,则( A.1<x<2
3

B.0<x<1

C.x>1

7. 曲线 y=3x-x 上切点为 P(2,-2)的切线方程是( A.y=-9x+ 16 C.y=-2 B.y=9x-20

D.y=-9x+16 或 y=-2

x2 y 2 8.双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,焦点到渐近线的距离为 3 ,则 C a b
1

的焦距等于( A.2

) B. 2 2 C.4 D. 4 2 )

9. 不等式| x+3|-|x-1| ? a 2 ? 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A. (??, ?1] ? [4, ??) C. (??, ?4] ? (1, ??) B. (??, ?1) ? (4, ??) D. (??, ?1] ? (1, ??)

10. 设 a,b∈R,定义运算“∧”和“∨”如下:

a? b

祆 a, a #b 镲 镲 ,a? b 眄 镲 b, a > b 镲 铑

b, a b , 若正数 a,b,c,d 满足 ab≥4,c+d≤4,则 ( a, a > b
B. a∧b≥2,c∨d≥2 D. a∨b≥2,c∨d≥2

)

A. a∧b≥2,c∧d≤2 C. a∨b≥2,c∧d≤2

11.设 a ? R ,若函数 y ? x ? a ln x 在区间 ( , e) 有极值点,则 a 取值范围为( A. ( , e ) C. (?? ,

1 e

)

1 e

B. ( ? e , ? )

1 e

1 ) U (e , ? ? ) e

D. (?? , ? e) U (?

1 , ? ?) e

12.动圆 C 经过点 F (1,0) 并且与直线 x ? ?1 相切,若动圆 C 与直线 y ? x ? 2 2 ? 1 总 有公共点,则圆 C 的面积 ( )

A .有最大值 8?

B .有最小值 2?

C .有最小值 3?

D .有最小值 4?

二、填空题(每小题5分,共20分). 13.设复数 z 满足 (1 ? i) z ? ?3 ? i ( i 为虚数单位) ,则 | z | = 14.已知 2 ? .

2 2 3 3 4 4 ?2 ?4 , 3? ? 3 , 4? ,?.,类比这些等式,若 15 15 8 8 3 3


6?

a a ?6 ( a, b 均为正实数) ,则 a ? b = b b

15.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点为 F1 , F2 ,以 F1 F2 为边作正三角形,若 a2 b2

椭圆恰好平分正三角形的另外两条边,且 F1 F2 ? 4 ,则 a 等于________.
2

16.设正实数 x, y, z 满足 x 2 ? 3 xy ? 9 y 2 ? z ? 0 , 当

x xy 取得最大值时, 的值为 z y



三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,6 小题,共 70 分) 17. (本小题 10 分) 已 知 p : 方 程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 有 两 个 不 相 等 的 负 实 根 ; q : 方 程

4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 无实根,如果 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求 m 的取值范围。

18. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 |, g ( x) ?| x | ? a (1)当 a=0 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (2)若存在 x∈R,使得,f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围.

19.(本小题 12 分) 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: 1 (1)ab +bc+ac≤ ; 3

a2 b2 c2 (2) + + ≥1. b c a

3

20.(本小题 12 分) 在对人们的休闲方式的一次调查中,共调查了 124 人,其中女性 70 人,男性 54 人, 女性中有 43 人主要的休闲方式是看电视,其余人主要的休闲方式是运动;男性中有 21 人主要的休闲方式是看电视,其余人主要的休闲方式是运动。 (1)根据以上数据建立一个 2 ? 2 的列联表; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下,认为休闲方式与性别有关系。 独立性检验观察值计算公式 k ? 独立性检验临界值表:

n (ad ? bc) 2 , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.15 2.072 0.05 3.841 0 .025 5.024 0.01 6.635 0.005 7.879

P( K 2 ? k 0 )

0.50 0.455

0.25 1.323

k0

21.(本小题 12 分)

x2 y 2 ? ? 1 内一点 P (1,1) 的一条 4 3 uu u r uuu r y 直线与椭圆交于点 A, C ,且 AP ? ? PC ,其中 ? 为常数. A (1 )求椭圆 E 的离心率; P· (2)当点 C 恰为椭圆的右顶点时,试确定对应 ? 的值;
如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 E : (3)当 ? ? 1 时,求直线 AC 的斜率. O C 第 21 题 22.(本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d 为奇函数,且在 x ? ?1 处取得极大值 2. (1)求 f ( x) 的解析式; (2)过点 A(1, t ) ( t ? ?2) 可作函数 f ( x) 图像的三条切线,求实数 t 的取值范围;
4

x

(3)若 f ( x) ? (m ? 2) x ? x 2 (e x ? 1) 对于任意的 x ? [0, ??) 恒成立,求实数 m 的取值范 围.

5

2014—2015 学年第二学期第一次月考高二数学答案 一、选择题 DBABD 二、填空题 13. CACAC BD

5

14. 41

15.

3 ? 1 ( 4 ? 2 3 不扣分)

16. 3

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,6 小题,共 70 分)

? ?1 ? m 2 ? 4 ? 0 17. 解:由 ? 得m ? 2 ?? m ? 0
2

即 p :m ? 2
2

又由 ? 2 ? [4(m ? 2)] ? 16 ? 0 得: 16(m ? 4m ? 3) ? 0

1? m ? 3

即 q : 1 ? m ? 3 ,----------------5 分

而 p 或 q 为真, p 且 q 为假等价于 p 和 q 中有且仅有一个为真一个为假。 当 p 真 q 假时,有 ?

?m ? 2 得: m ? 3 ?m ? 1或m ? 3
得: 1 ? m ? 2

当 p 假 q 真时,有 ?

?m ? 2 ?1 ? m ? 3

综上所述, m 的取值范围是 m ? 3 或 1 ? m ? 2 。----------------10 分 18.

故 h( x) min ? h( ? ) ? ?
2

1 2

1 1 ,从而所求实数 a 的范围为 a ? ? 2 2
2 2 2 2 2

--------12 分

19.[解析] (1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca 得

a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
6

由题设得(a+b+c) =1, 即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1. 1 所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ . 3 (2)因为 +b≥2a, +c≥2b, + a≥2c, 故 + + +(a+b+c)≥2(a+b+c), --------6 分
2 2 2

2

a2 b

b2 c

c2 a

a2 b2 c2 b c a

a2 b2 c2 a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c.所以 + + ≥1. b c a b c a
20. (1) 看电视 男性 女性 合计 ---------------6 分
2 (2) K ?

--------12 分

运动 33 27 60

合计 54 70 124

21 43 64

n(ad ? bc)2 124 ? (43 ? 33 ? 21? 27) ? ? 6.201<6.635 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 70 ? 54 ? 64 ? 60
----------12

所以不能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为休闲方式与性别有关系

分 21.解: (1) a ? 4, b ? 3 ,所以 c 2 ? 1 ,即 a ? 2, c ? 1 ,离心率 e ?
2 2

(2)因为 C (2, 0) ,所以直线 PC 的方程为 y ? ? x ? 2 ,

c 1 ? .??4 分 a 2

? y ? ?x ? 2 2 12 ? 由 ? x2 y 2 ,解得 A( , ) , ???6 分 7 7 ?1 ? ? 3 ?4 5 代入 AP ? ? PC 中,得 ? ? . ???8 分 7 (3)因为 ? ? 1 ,所以 AP ? PC ,设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,
则 x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 , ???10 分

7

x12 y12 x2 y2 , 两 式 相 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1 4 3 4 3 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? ? 0, 4 3 x ? x2 y1 ? y2 y ? y2 3 3 即 1 ? ? 0 ,从而 1 ? ? ,即 k AC ? ? . 4 3 4 x1 ? x2 4
又 22. 解: (1)







???12 分

f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 为奇函数

? b ? d ? 0 ? f '( x) ? 3ax 2 ? c f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 2

? f ?(?1) ? 3a ? c ? 0 ?a ? 1 ?? ?? ? f (?1) ? ?a ? c ? 2 ?c ? ?3 从而 f ( x) 解析式为 f ( x) ? x3 ? 3x
3 ? y0 ? x0 ? 3x0 ? (2)设切点为 ? x0 , y0 ? ,则 ? y0 ? t 2 ? x ? 1 ? 3x0 ? 3 ? 0

--------4 分

3 2 ? 3x0 ?3 消去 y0 得 t ? ?2 x0

设 ? ( x) ? ?2 x3 ? 3x 2 ? 3 ,则 ? '( x) ? ?6 x 2 ? 6 x ? ?6 x( x ? 1)
?? ( x) 在 ? ??,0 ? , ?1, ?? ? 递减, ? 0,1? 递增

? ( x)极小值 ? ? (0) ? ?3, ? ( x)极大值 ? ? (1) ? ?2
要使过点 A ?1, t ) ? 可作函数 y ? f ? x ? 图像的三条切线,则实 数 t 的取值范围为 ? ?3, ?2 ? (3) ---------------8 分 f ? x ? ? ? m ? 2 ? x ? x 2 (e x ? 1)

? x3 ? 3x ? (m ? 2) x ? x 2 (e x ? 1) 从而 ? m ? 2 ? x ? x 2 ? e x ? 1? ? x3 ? 3x
当 x ? 0 时, m ? R 设 h ? x? ? e ? x ?1
x

当 x ? 0 时,? m ? 2 ? xe x ? x ? x 2 ? 3 ? m ? x e x ? x ? 1 ? 1

?

?

h '( x) ? e x ? 1 ? 0
? g ( x) ? x ? e x ? x ? 1? ? 1 ? 1

? h ? x ? 在 ? 0, ?? ? 递增, h ? x ? ? h ? 0 ? ? 0

从而 m ? 1 ? 实数 m 的取值范围为 (??,1]

--------12 分

8


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