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3.2.1 用数学归纳法证明不等式 教学案 1

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3.2.1 用数学归纳法证明不等式 教学案 1 教学目标 1、了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导, 2、理解数学归纳法的操作步骤, 3、能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,并能严格按照数学归纳法证明问题的格 式书写. 教学重、难点 重点:能用数学归纳法证明几个经典不等式. 难点:理解经典不等式的证明思路. 教学过程 一、复习准备: 1.求证: 12 22 ? ? 1? 3 3 ? 5 ? n2 n(n ? 1) ? ,n? N* . (2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1) 2.求证: 1 ? 1 1 1 ? ? ? 2 3 4 ? 1 ? n, n ? N * . 2 ?1 n 二、讲授新课: 1 、用数学归纳法证明不等式的方法:作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩 法,以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法. 2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为P(n). (1)证明当n取第一个值n0时,结论正确,即验证P(n0)正确; (2)假设n=k(k∈N且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时,结论也正确,即由P(k) 正确推出 P(k+1)正确, 根据(1),(2),就可以判定命题P(n)对于从n0开始的所有自然数n都正确. 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点: (1)在从n=k到n=k+1的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也就是要 认清不等式的结构特征; (2)瞄准当n=k+1时的递推目标,有目的地进行放缩、分析; (3)活用起点的位置; (4)有的试题需要先作等价变换. 三、应用举例: 例1 观察下面两个数列,从第几项起 an 始终小于 bn ?证明你的结论. ?a ?b n ? n 2 ? :1, 4,9,16, 25,36, 49,64,81, ; n ? 2n ? : 2, 4,8,16,32,64,128, 256,512, . 1 1 巩固练习1:已知数列 ?an ? 的各项为正数,Sn为前n项和,且 Sn ? (an ? ) ,归纳出a 2 an n的公式并证明你的结论. 解题要点提示:试值n=1,2,3,4, → 猜想an → 数学归纳法证明 例2 证明不等式 | sin n? |? n | sin ? | (n ? N ? ) . 例3:证明贝努利不等式. (1 ? x) n ? 1 ? nx ( x ? ?1, x ? 0, n ? N , n ? 1) 巩固练习2:试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n>1,n∈N*且a、 b、c互不相等时,均有an+cn>2bn. 注意:使用数学归纳法证明不等式,难点往往出现在由 n=k时命题成立推出n=k+1时命题成 立这一步. 为了完成证明,不仅要正确使用归纳假设,还要灵活利用问题的其他条件及相关知 识,如前面学习的证明不等式的各种方法和一些重要的不等式,注意发现或设法创设归纳假设 与n=k+1时命题之间的联系,充分利用这样的联系来证明n=k+1时命题成立. 例 4 证 明 : 如 果 n ( n 为 正 数 ) 个 正 数 a1 , a2 , , an 的 乘 积 a1a2 an ? 1 , 那 么 它 们 的 和 a1 ? a2 ? ? an ? n. 四、巩固练习: 1. 用数学归纳法证明: (1 ? 1 1 1 tan(2 n ? ) )(1 ? )....(1 ? ) ? . cos 2?

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