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数学奥林匹克高中训练题(54)及答案

时间:2011-01-14


数学奥林匹克高中训练题(54)
第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(训练题 54)已知 f(x)=

1? x2 , g ( x) = lg( 1 + x 2 ? x). 则乘积函数 F(x)=f(x)g(x)在公共定义域 x+2 ?2
(B) 是偶函数而不是奇函数 (D) 既非奇函数又非偶函数

的奇偶性为(B) . (A) 是奇函数而不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数

2.(训练题 54)已知 sin a=x, cos sin α = x, cos β = y , cos(α + β ) = ? 函数关系为(A) (A) y = ?

11 π .且a、β ∈ 0, ) y 与 x 的 ( .则 14 2

11 5 3 11 1 ? x2 + x( < x < 1) 14 14 14 11 5 3 11 x? 1 ? x 2 (? < x < 1) 14 14 14

(B) y = ?

11 5 3 1 ? x2 + x(0 < x < 1) 14 14

(C) y = ?

(D) y = ?

11 5 3 x? 1 ? x 2 (0 < x < 1) 14 14

3.(训练题 54)已知的△ABC 三边长为 a, b, c。若

1 1 1 , , 顺序成等差数列,则 ∠B (A) a b c

(A) 必为锐角 (B) 必为直角 (C) 必为钝角 不能确定 (D) 与 a, b, c, 的值有关 4.(训练题 54)如图 1,有一容积为 1 的单位立方体容器 ABCD—A1B1C1D1,在棱 AB,BB1 及对角线 BC1 的中点各有一个孔 E,F,G.若此容器可以任意放置,则其可装水的最大容积为(C) (A)

1 立方单位 2

(B)

7 立方单位 8

(C)

11 立方单位 12

(D)

47 立方单位 48

5.(训练题 54)已知平行直线 x+y=2a+1 与同心圆系 x2+y2=a2+2a-3 的交点为(x0, y0) 。当 x0y0 取最小值 时,a 的取值为(C) (A) 1 (B) -3 (C) 2 ?

2 2

(D) 2 +

2 2

6.(训练题 54)若 a, b 均为非零整数,且(a, b)满足方程 x2-9xy+y2-9=0, 则称(a,b)为方程的非零整数 解。下面关于本方程非零整数解的判断中,为真命题的是(D) (A) 非零整数解不存在 (B) 存在有限个非零整数解 (C) 存在无限个非零整数解,不在一,三象限。 (D)存在无限个非零整数解,不在二,四象限。 二、填空题

1 4 1.(训练题 54)已知 sin x + sin y = .则 sin y ? cos 2 x的最大值为 . 3 9 2.(训练题 54)如图 2,四棱锥 S—ABCD 中,为了推出 AB ⊥ BC,还需从下列条件中选出一些来:
①SB ⊥ 面ABCD ②SC ⊥ CD, ③ CD ∥AB ④CD∥面 SAB

⑤BC ⊥ CD

⑥CD 面 SBC

⑦AB ⊥ 面 SBC

⑧SB ⊥ CD

比如,选⑦为条件,有⑦ ? AB + BC , 又如选③,⑤为条件,有 ? ? AB + BC 现要求推理至少用 到两条定理,推理格式为 . 3.(训练题 54)如图三,已知平面上的 3 条线段 AB、AC、AD,现以 AB、AC 为邻边作平行四边形,对角 线为 AE,以 AB、AD 为邻边作平行四边形,对角线为 AF,以 AC、AD 为邻边作平行四边形,对角线为 AG, AE、 为邻边作平行四边形, 以 AD 对角线为 AH, 则有不等式 AB + AC + AD + AH _ ≥ _ AE + AF + AG . 4.(训练题 54)从抛物线 y=x2 的顶点引两条互相垂直的弦 OA, OB, 作 OM ⊥ AB,则点 M 的轨迹方程 为

3? 5?

x2 + y 2 ? y = 0



5.(训练题 54)已知 an=6n+8n。则 a84= 2 (mod 49). 6.(训练题 54)与正四面体 4 个顶点距离之比为 1∶1∶1∶2 的平面有 三.(训练题 54) (20 分) 已知函数 f (x)在(-1,1)上有定义,f(

32

个.

1 )=-1,且满足 x, y∈(-1,1), 有: 2

f (x) +f (y)=f(

x+ y )。 1 + xy

(1)证明:f (x)在(-1,1)上为奇函数; (2)对数列 x1=

2 xn 1 , xn+1= , 求 f (xn) 2 2 1 + xn
1 1 1 )+……+f( 2 )+f( )=0. 5 n+2 n + 3n + 1

(3)证明恒等式 1+f(

四.(训练题 54)(20 分)球场上的一个篮球在点光源的照射下,其阴影是一个椭圆。试讨论篮球与地 面的接触点是否为阴影椭圆的焦点,并说明理由. 有 且当 x = cos θ + i sin θ 五. (训练题 54) (20 分) 已知实系数二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c , 0 < c ≤ k , ( θ 为任意实数)时, f ( x) ≤ k .求证,对 r > 1 ,有 f (rx) ≤ (2r 2 ? 1)k . 第二试 一.(训练题 54)(50 分)如图 4,延长凸五边形 ABCDE 的各边,在它的外部得五个三角形:△FAB, △GBC,△HCD,△KDE,△LEA. 求证:这五个三角形外接圆的五个交点 A1,B1,C1,D1,E1 在同一圆上. 二.(训练题 54)(50 分)某运动队的队员编号无重复取自正整数 1 到 100。如果其中任一队员的编号 都不是另两队员编号之和,也不是另外某一队员的 2 倍,问这个运动队最多有几个人? 三.(训练题 54)(50 分)凸 n 边形(n≥4)玫瑰园的 n 个顶点各栽有 1 棵红玫瑰,每两棵红玫瑰之间 都有一条直小路相通,这些直小路没有出现“三线共点”的情况—它们把花园分割成许多不重叠的区 域(三角形、四边形、……) ,每块区域都栽有一棵白玫瑰(或黑玫瑰) 。

(1) 求出玫瑰园里玫瑰总棵数 f(n)的表达式。 (2) 花园里能否恰有 90 棵玫瑰?说明理由。


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