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双曲线讲义

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双曲线及其标准方程(一) 学习目标 1.掌握双曲线的定义;2.掌握双曲线的标准方程.
1.定义:平面内与两定点 F1 , F2 的距离的差的
F1 , F2 叫做双曲线的

等于常数(小于 F1 F2 )的点的轨迹。 . . .
F1 (?c , 0 , )
2a ? F1 F2 时, ; 轨迹

,两焦点间的距离 F1 F2 叫做双曲线的

2a ? F1 F2 ? 2a ? F1 F2 时, 反思: 设常数为 2a , 轨迹是
2 2

试试:点 A(1,0) , B (?1, 0) ,若 AC ? BC ? 1 ,则点 C 的轨迹是 2. 标准方程:
F2 (c,0) .

x y ? 2 ? 1,(a ? 0, b ? 0, c2 ? a2 ? b2 ) (焦点在 x 轴)其焦点为 2 a b

例 1 已知双曲线的两焦点为 F1 (?5,0) , F2 (5,0) ,双曲线上任意点到 F1 , F2 的距离的差的绝对 值等于 6 ,求双曲线的标准方程.

变式。已知双曲线 离为 .

x2 y 2 ? ? 1 的左支上一点 P 到左焦点的距离为 10,则点 P 到右焦点的距 16 9

例 2 :已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线上两点 P 1 , P2 的坐标分别为 3, ?4 2 ,

?

?

?9 ? ? ,5 ? 求双曲线的标准方程. ?4 ?
变式:已知双曲线的焦点在坐标轴上,且双曲线上两点 P 1 , P2 的 坐 标 分 别 为

(?3,2 7) , (?6 2,?7) ,求双曲线的标准方程.

例 3 方程 x sin ? ? y cos? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,求角 ? 所在的象限.
2 2

作业
1.动点 P 到点 M (1, 0) 及点 N (3,0) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 ) . ) .

2.双曲线 5x2 ? ky 2 ? 5 的一个焦点是 ( 6,0) ,那么实数 k 的值为( A. ? 25 B. 25 C. ?1 D. 1

3.双曲线的两焦点分别为 F1 (?3,0), F2 (3,0) ,若 a ? 2 ,则 b ? ( A. 5 B. 13 C.
5

) .

D.

13

x2 y2 4.如果 ? ? ?1表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 k 的取值范围( k ? 2 1? k
A. ?1, ?? ? B. ? 2, ??? C. ? ?2,1? D. ? ??, ?2? ? ? 2, ???



5.已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 | PM | ? | PN |? 2 2 . 则动点 P 的轨迹方 程 .
2 2

6.与椭圆 x ? 4 y ? 4 的公共焦点,且过点 M (2,1) 的双曲线的标准方程为___

.

x2 y2 ? =1 左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 M , N 两点, F2 为其右焦点, 4 3 则 MF2 ? NF2 ? MN 的值为____________.
7.过双曲线 8.实半轴长等于 2 5 ,并且经过 B(5,?2) 的双曲线的标准方程是____________.

双曲线方程 2

学习目标 :1..掌握双曲线的焦点三角形;2.掌握双曲线的标准方程的求法.
(1)直接法: (2)定义法(3)待定系数法 例 1 双曲线

x y2 ? ? ? 1 上有一点 P , F1 , F2 是焦点,且 ?F1 PF2 ? 60 ,则 ?PF 1 F2 的面积为 16 9

2

例 2 已知直线 l1 : y ? x 与直线 l 2 : y ? ? x , 动点 P ( x, y ) 到 l1 , l 2 的距离之积等于 1, 求点 P 的轨迹方程

例 3: 求与两个定圆 C1 : x ? y ? 10x ? 24 ? 0 和圆 C2 : x ? y ? 10x ? 24 ? 0 都外切或
2 2 2 2

都内切的动圆的圆心的轨迹方程

作业
1.双曲线 ? x ? y ? ? 的实轴长是(
2 2
? ?

) (A)2

(B) ? ?

(C) 4

(D) 4 ? )

2.双曲线 A.7

x y ? ? 1 上一点 P 到点 (5,0) 的距离为 15, 则点 P 到点 (-5,0) 的距离为 ( 16 9
B.23 ( C.7 或 23
2 2

D.5 或 25 (C) 6 (D) 8

P F2 = 60 0 ,则 3.已知 F 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠ F 1

PF1 ? PF2 =

)(A)2

(B)4

x2 y2 ? 2 ? 1 表示的图形为双曲线的________条件. m?5 m ?m?6 2 2 5.双曲线 ky ? 8kx ? 8 ? 0 的一个焦点为(0,3),则 k =________.
4. 3 ? m ? 5 是方程 6. 已知双曲线 的距离_

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 , 点 M 在双曲线上且 MF1 ? x 轴, 则 F1 到 F2 M 6 3
__.

7 . F1 , F2 为双曲线

x2 ? y 2 ? ?1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1 PF2 ? 90? ,则 4
_.
2

?PF1 F2 的面积_
2

8.与双曲线

x y ? ? 1 有公共焦点,且过点(3 2,2)的双曲线的标准方程是________. 16 4

双曲线的简单几何性质(1)
学习目标 .理解并掌握双曲线的几何性质.
1.图形 3.对称性:双曲线关于 4.顶点: ( 5.离心率: e ? ) , ( 2.范围: x : 轴、 轴及
2

y:
都对称. ;虚轴,其长为
2

) .实轴,其长为



c x y x y ? 1 .6.渐近线:双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线方程为: ? ? 0 . a a b a b 7.实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线.
例 1 求双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程. 49 25

例 2 求双曲线的标准方程: ⑴实轴的长是 10,虚轴长是 8,焦点在 x 轴上;

2 9 ⑵离心率 e ? 2 ,经过点 M (?5,3) ;⑶渐近线方程为 y ? ? x ,经过点 M ( , ?1) . 3 2

x2 y 2 PQ 是经过 F1 且垂直于 x 轴 ( a ? 0, b ? 0) 的两个焦点, ? ?1 a 2 b2 的双曲线的弦,如果 ?PF2 Q ? 90? ,求双曲线的离心率
例 3 已知 F1 , F2 是双曲线

作业
5 的双曲线的焦点在 y 轴上,则它的渐近线方程为( ) 3 5 4 4 3 A. y ? ? x B. y ? ? x C. y ? ? x D. y ? ? x 4 5 3 4 2 2 7 25 7 25 23 9 x y ? ? 1 的焦点到准线的距离是 2. ( ) A. B. C. 或 D. 或 4 4 4 4 4 4 9 7 2 2 32 x y ? ? 1 有共同的渐近线,且准线方程为 y ? ? 的双曲线的标准方程为 3. 与双曲线 5 9 16 2 2 2 2 2 2 y2 x2 y x x y y x ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. D. 128 2 96 2 64 36 64 36 36 64 ( ) ( ) 9 9
1. 中心在坐标原点,离心率为 4. 双曲线的两条准线把两焦点所连线段三等分,则它的离心率为( A. ) B. C.

2

3

6 2

D. 2 3 )A.

2 2 5. 双曲线 mx ? 2my ? 4 一条准线是 y ? 1 ,则 m 为(

3 3 2 B. ? C. D. 2 3 2

?

2 3

双曲线的简单几何性质(2)
学习目标 1.掌握定义;2.灵活掌握标准方程.3.直线与双曲线的位置关系
4.点差法 5.弦长公式

典型例题
例 1 如果直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 4 (1)没有公共点,求 k 的取值范围. (2)只有一个公共点,求 k 的取值范围. (3)与右支有两个公共点,求 k 的取值范围. (4)两支各有一个公共点,求 k 的取值范围.

2 2 变式:如果直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 (1)有两个公共点,求 k 的取值范围.

(2)与左支有有两个公共点,求 k 的取值范围.

例 2 过点 P (8,1)的直线与双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 相交于 A, B 两点,且点 P 是线段 AB 的 中点,求直线 AB 的方程

变式:已知双曲线 x ?
2

y2 ? 1 ,过点 P (2,1)点作一直线交双曲线于 A, B 两点,若 P 为 3 AB 的中点.(1)求直线 AB 的方程 (2)求弦 AB 的长

x2 y2 ? ? 1 的焦点,该双曲线又与直线 15x ? 3 y ? 6 ? 0 交 例 3 设双曲线的顶点是椭圆 3 4 于 A, B 两点,且 OA ? OB ( O 为坐标原点) (1)求此双曲线的方程; (2)求 AB 的长

2 2 变式:已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1交于 A, B 两点,若以 AB 为直径的圆过坐

标原点,求实数 a 的值


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