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3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式 教学案 3

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3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式 教学案 3 教学目标: 1、了解数学归纳法的原理,并能以递推思想作指导, 2、理解数学归纳法的操作步骤, 3、 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题, 并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点: 能用数学归纳法证明几个经典不等式. 教学难点: 理解经典不等式的证明思路. 教学过程: 一、复习准备: 12 22 n2 n(n ? 1) ? ?? ? ? ,n? N* 1 ? 3 3 ? 5 (2 n ? 1)(2 n ? 1) 2(2 n ? 1) 1. 求证: . 1 1 1 1 1? ? ? ??? n ? n, n ? N * 2 3 4 2 ? 1 2. 求证: . 二、讲授新课: 1、用数学归纳法证明不等式的方法:作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法, 以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。 2、数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法.设要证命题为 P(n) . (1)证明当 n 取第一个值 n0 时,结论正确,即验证 P(n0)正确; (2)假设 n=k(k∈N 且 k≥n0)时结论正确,证明当 n=k+1 时,结论也正确,即由 P(k) 正确推出 P(k+1)正确, 根据(1) , (2) ,就可以判定命题 P(n)对于从 n0 开始的所有自然数 n 都正确. 在用数学归纳法证明不等式的具体过程中,要注意以下几点: (1)在从 n=k 到 n=k+1 的过程中,应分析清楚不等式两端(一般是左端)项数的变化,也 就是要认清不等式的结构特征; (2)瞄准当 n=k+1 时的递推目标,有目的地进行放缩、分析; (3)活用起点的位置; (4)有的试题需要先作等价变换。 三、应用举例: 例 1:比较 n 与 2 的大小,试证明你的结论. n 2 分析:试值 n ? 1, 2,3, 4,5,6 → 猜想结论 → 用数学归纳法证明 2 2 2 2 2 2 → 要点: (k ? 1) ? k ? 2k ? 1 ? k ? 2k ? k ? k ? 3k ? k ? k ? …. 证明: (略) 小结反思:试值→猜想→证明 巩固练习 1:已知数列 ?an ? 的各项为正数,Sn 为前 n 项和,且 1 1 Sn ? (an ? ) 2 an ,归纳出 an 的公式并证明你的结论. 解题要点提示:试值 n=1,2,3,4, → 猜想 an → 数学归纳法证明 ? 例 2:证明不等式 | sin n? |? n | sin ? | (n ? N ) . 要点: | sin(k ? 1)? |?| sin k? cos? ? cos k? sin ? |?| sin k? cos? | ? | cos k? sin ? | ?| sin k? | ? | sin ? |? k | sin ? | ? | sin ? |? (k ? 1) | sin ? | 证明: (略) n 例 3:证明贝努利不等式. (1 ? x) ? 1 ? nx ( x ? ?1, x ? 0, n ? N , n ? 1) 分析:贝努力不等式中涉及到两个字母, x 表示大于-1 且不等于 0 的任意实数, n 是大于 1 的自然数,用数学归纳法只能对 n 进行归纳 巩固练习 2:试证明:不论正数 a、b、c 是等差数列还是等比数列,当 n>1,n∈N*且 a、b、 c 互不相等时,均有 an+cn>2bn. b 解答要点:当 a、b、c 为等比数列时,设 a= q , c=bq (q>0 且 q≠1). ∴ an+cn=…. an ? cn a?c 2 当 a、b、c 为等差数列时,有 2b=a+c,则需证 >( 2 )n (n≥2 且 n∈N*). a k ?1 ? c k ?1 1 1 ? 2 4 (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)> 4 (ak+1+ck+1+ak·c+ck·a) …. 当 n=k+1 时, 1 a?c a?c a?c = 4 (ak+ck)(a+c)>( 2 )k·( 2 )=( 2 )k+1 . 3. 小结反思:应用数学归纳法证明与正整数 n 有关的不等式;技巧:凑配、放缩. 四、巩固练习: 1. 用数学归纳法证明: (1 ? 1 1 1 tan(2 n ? ) )(1 ? )....(1 ? ) ? cos 2? cos 4? cos 2n ? tan ? . 1 1 1 1 n ? N , n ? 2, 证明: ? ? ??? ?1 2 n ?1 n ? 2 2n . 2. 已知 五、课堂小结: 六、布置作业: 教材 P53 3、5、8 题.

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初中、高中、教案、习题、试卷 3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利 不等式

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