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高中数学竞赛

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第十三章 排列组合与概率 一、基础知识 1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中有 m2 种不同的 方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法。 2. 乘法原理: 做一件事, 完成它需要分 n 个步骤, 1 步有 m1 种不同的方法, 2 步有 m2 种不同的方法, 第 第 ??, 第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×?×mn 种不同的方法。 3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列,从 n 个不同元素中取出 m 个(m≤n)元素的所有排列个数,叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的排列数,用 m m An 表示, An =n(n-1)?(n-m+1)= n! ,其中 m,n∈N,m≤n, (n ? m)! 注:一般地 0 n An =1,0!=1, An =n!。 4.N 个不同元素的圆周排列数为 n An n =(n-1)!。 5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m≤n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取 出 m 个元素的一个组合,即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集合的一个子集。从 n 个不同元 素中取出 m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数,用 C n 表示: m Cn ? m n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! ? . m! m!(n ? m)! m n m m n ? C n ? m ; ) C n ?1 ? C n ? C n ?1 ; ) (2 (3 6 .组合数的基本性质: (1) C n n n k ?1 k (4) C n ?1 ? C n ; k ?1 k n?k 0 1 n k C n ? C n ? ? ? C n ? ? C n ? 2 n ; 5) kk ? C kk?1 ? ? ? C kk? m ? C kk? m?1 ; 6) n C km ? C n ? m 。 ( C ( C k ?0 7.定理 1:不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解的个数为 C r ?1 。 [证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A,不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解 构成的集合为 B,A 的每个装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同的装法对应的解也不同,因此为 单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,?,xn),将 xi 作为第 i 个盒子中球的个数,i=1,2,?,n,便得到 A 的一个装 法,因此为满射,所以是一一映射,将 r 个小球从左到右排成一列,每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个,将球分 n 份,共有 C r ?1 种。故定理得证。 推论 1 推论 2 m n ?1 n ?1 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的非负整数解的个数为 C n ? r ?1 . 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可重组合,其组合数 r 为 C n ? m ?1 . 8.二项式定理:若 n∈N+,则(a+b) = C n a n 0 n 1 2 r n ? C n a n ?1b ? C n a n ?2

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