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2.2.1椭圆及其标准方程教案

时间:2015-02-06


2.2.1 椭圆及其标准方程
【教学目标】 1、知识与技能: ① 理解椭圆的定义; ② 了解椭圆标准方程的推导,掌握椭圆的标准方程. 2、过程与方法: 通过引导学生亲自动手尝试画椭圆,让学生发现椭圆的形成过程,进而归纳出 椭圆的定 义.培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力. 3、情感态度价值观: ① 通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣; ② 通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”; ③ 通过师生、生生的合作学习,增强学生团队协作能力的培养,增强主动与他人合作交 流的意识. 【教学重难点】 1、重点:掌握椭圆的定义及其标准方程,理解坐标法的基本思想; 2、难点:椭圆标准方程的推导. 【教学流程】 创设情景,引入课题(播放《精确的九大行星围绕太阳运行的轨迹》)→ 预习展示 1(学 生动手实验,给出椭圆定义)→ 预习展示 2(椭圆标准方程的推导)→ 讨论交流求解椭圆 标准方程的方法 → 成果展示 → 小结拓展 → 课堂检测 【教学过程】 一、创设情景,引入课题 材料 1:播放视频《精确的九大行星围绕太阳运行的轨迹》,吸引学生对课堂的注意力。 材料 2:PPT 展示一些课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片,并让学生列举一些自己所 了解的,增强学生对椭圆的感性认识。 引入课题:椭圆及其标准方程。 (设计意图:通过播放《精确的九大行星围绕太阳运行的轨迹》录像,让学生感受现实, 激发学生的学习兴趣,利用多媒体,展示学生常见的椭圆形状的物品,让学生从感性上认识 椭圆。) 二、预习展示 1、学生分组试验 ① 取一条定长的细绳; ② 把它的两端固定在图纸上; ③ 当绳长大于两定点之间的距离时,用铅笔尖把绳子拉紧,在图纸上慢慢移动,看看能画 出什么图形? (教师巡视指导,展示学生成果) 2、展示椭圆概念 根据自己画椭圆的过程, 思考其中的变量与不变量分别是什么?类比圆的定义, 给出椭 圆的定义。

(一名同学发言,大家相互补充) 定义:平面内,到两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于常数(大于 F1 F2 )的点的轨迹叫 做椭圆. 思考:椭圆上的点应该满足怎样的几何条件?(强化学生对概念的认识) ① 在平面内 ② 到两定点 F1 、 F2 的距离等于定长 2a ③ 定长 2a 大于 F1 F2 .( F1 F2 记为 2c) 再思考:改变绳子长度与两定点距离的大小,轨迹又是什么? 学生总结规律: MF 1 ? MF 2 ? F 1F 2 轨迹为椭圆;

MF1 ? MF2 ? F1F2 轨迹为线段 ; MF1 ? MF2 ? F1F2 轨迹不存在.
(设计意图:在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义,而是设计一个实验,这样是为 了给学生一个动手试验的机会,让学生体会椭圆上点的运动规律;通过学生观察、思考、讨 论,概括出椭圆的定义,让学生全程参与概念的探究过程,加深理解,提高概括能力和数学 语言的表达能力.) 3、展示椭圆方程的推导 ① 提问求曲线方程的基本步骤:(建系设点→写出点集→列出方程→化简方程→检验) (直接叫学生回答,不正确的教师给予纠正。) ② 按照求曲线方程的步骤,我们怎样来求椭圆的方程,师生一起完成一二步: 以 F1 、 F2 所在直线为 x 轴,线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则由定 义有 P ? x MF1 ? MF2 ? 2a [ 即 学生完成。)

?

?

( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a .(后面的部分

学生化简整理后得

x2 y2 ? ?1 a2 a2 ? c2

观察右图, 你能从中找出表示 a 、 c 的线段吗?

a 2 ? c 2 有什么几何意义?

x2 y 2 令 OP ? a ? c ? b ,则方程可化为: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? (称为椭圆的标准方程). a b
2 2

③当椭圆的焦点在 y 轴上时,标准方程又是怎样呢?(学生思考,通过类比得出答案) (设计意图: 椭圆的标准方程的导出, 先放手给学生尝试, 教师协从指导. 再展示学生结果; 教师对照图形, 加以引导, 让学生明白方程中字母的几何意义, 对方程的理解有很大的作用;

利用类比对称,化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程,避免重复的繁杂计算.) 4、引导学生再认知椭圆的标准方程

方程的特点:①. a ? b ? 0 ②.左边为和,右边为 1; 2 2 2 ③. a , b , c 均有特定的几何意义,且有 b ? a ? c ④.焦点在大分母所对应的那个轴上

小试身手: 1.下列哪些是椭圆的方程,如果是,判断它的焦点在哪个坐标轴上 ?并指明 a 、

b ,写出焦点坐标.
(1) x2 y2 ? ? 1 (2)9x 2 ? 25y 2 ? 225 ? 0 16 16

(3)

x2 y2 x2 y2 ? 1(m ? 0) ? ? 4 (4) 2 ? 2 m m ?1 25 16

2、求适合下列条件的椭圆的标准方程: 两个焦点的坐标分别是(- 3,0)、(3,0),椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 8. 变式:若将上题焦点改为(0,- 3)、(0,3), 结果如何? 变式:改为“两焦点的距离是 6,椭圆上一点 P 与两焦点的距离的和等于 8”呢? 三、讨论交流与成果展示 问题: 已知椭圆的两个焦点的坐标分别是 ? 0 , 并且经过点 P ? ? 2? , ? 2? 、 ?0 , 它的标准方程. (学生先独立思考,然后讨论交流各自解决办法,再展示) (设计意图: 学会用待定系数法求椭圆的标准方程, 使学生体会椭圆定义在解题中的重要 作用.) 小结:求椭圆标准方程的步骤: 1、首先要判断焦点位置,设出标准方程。(先定位) 2、用椭圆的定义或待定系数法求 a,b。(后定量) 变式 1:已知椭圆的焦点在 y 轴上,且椭圆经过点 P(-2,2)和 Q(0,-3),求椭圆的标准方程. 变式 2:已知椭圆经过两个点 P(-2,2)和 Q(0,-3),求此椭圆的标准方程.

? 3 5? , ?. 求 ? 2 2?

四、小结拓展 谈谈收获:

五、当堂检测
2 2 1.如果点 M ( x, y) 在运动过程中,总满足关系式 x ? ( y ? 3) ?

x 2 ? ( y ? 3) 2 ? 10 ,点

的轨迹是

,它的方程是



2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: ① a ? 4, b ? 3 ,焦点在 x 轴上; ② b ? 1, c ? 2 ,焦点在 y 轴上; ③ a ? b ? 9, c ? 3

3 x2 ? y 2 ? 1有相同的焦点,且经过点 (1, ) 2 2 2 2 3.如果方程 x ? ky ? 2 表示焦点在 y 轴上的椭圆,那么实数 k 的取值范围是(
④与椭圆 A. (0, ??) B. (0, 2)
2

).

C. (1, ??)

D. (0,1)

4. 已知 ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆

x ? y 2 ? 1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 3 另外一个焦点在 BC 边上,则 ABC 的周长是( ). A. 2 3 B.6 C. 4 3 D.12

【教学反思】 一、成功之处 1、教学方法上:结合我校的教学模式及本节课的具体内容,确立合作探究互动式教学 法进行教学,体现了认知心理学的基本理论。 2.学习的主体上:课堂不再成为“一言堂”,学生也不再是教师注入知识的“容器”, 课堂上为学生的主动参与提供时间和空间, 让不同程度的学生勇于发表自己的各种观点 (无 论对错)。

3.学生参与度上:课堂教学真正面向全体学生,让每个学生都享受到发展的权利。在我 的启发鼓励下,让学生基本充分参与进来,进行交流讨论,共同进步。 4、“三维”课程目标的实现上:既关注掌握知识技能的过程与方法,又关注在这过程 中学生情感态度价值观形成的情况。 5、学法指导上:采用激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究的讲解讨论相结合, 促进学生说、想、做,注重“引、思、探、练”的结合,鼓励学生发现问题,大胆分析问题 和解决问题,进行主动探究学习,形成师生互动的教学氛围。 二、不足之处 1.要重视探究题的作用, 因为班上有一部分同学基础比较扎实, 而且对数学也比较感兴 趣,出一些比较难的思考题,能够让这部分学有余力的同学能有所提高。 2.由于个别学生成果展示时,耗了太多的时间,所以急于走完所有的教学流程,对于一 些没有问题的成果展示没有给予积极的评价。另外,学生练习时间不够充分,耽误了小结时 间。 3.小组合作学习作用的发挥没有最大化, 个别基础薄弱的同学没有得到组内的帮助, 参 与展示的学生来来回回都是成绩好的那几个。 4.一部分学生的计算能力还不够熟练, 缺乏简化计算的能力, 今后还要继续加强对学生 这方面能力的培养。 基于我遇到的种种问题,在以后的教学中,应该多鼓励学生表现自己,结合实际给他们 参与课堂的机会,尽一切可能让所有学生都能参与到课堂中来。另外,也要加强教师专业基 本知识的学习,提高自身的教学水平。因为新的教学模式对教师的要求更高了,只有不断学 习,我们才能跟上时代的步伐。


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