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高中数学必修1(人教B版)第三章基本初等函数(1)3.1知识点总结含同步练习题及答案

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高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 基本初等函数(I) 3.1 指数与指数函数

一、学习任务 1. 理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算. 2. 理解指数函数的概念和意义;理解指数函数的性质,会画指数函数的图象. 3. 了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题. 二、知识清单
幂的概念与运算 指数函数及其性质

三、知识讲解
1.幂的概念与运算 描述: 根式 一般地,如果 x n = a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根( n th root),其中 n ∈ N ? , n > 1 n . 式子 √ a 叫做根式(radical),这里 n 叫做根指数(radical exponent), a 叫做被开 方数(radicand). 根式的性质 n ① 当 n 为奇数时,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次方根是一个负数,均记为 √ a . n 当 n 为偶数时,正数的 n 次方根有两个,它们互为相反数,其中正的 n 次方根记为 √ a . n n ② (√ a) = a .

? ? a n ? n ? ③ 当 n 为奇数时, √ an = a ;当 n 是偶数时, √ an = |a| = {
④ 负数没有偶次方根. 整数指数幂到分数指数幂的扩充 ① 正整数指数幂: an = a ? a ? ? ? a(n ∈ N ? ) ; ② 零指数幂: a0 = 1(a ≠ 0) ; ③ 负整数指数幂: a?n =

?a

, a ? 0, . , a < 0.

1 (a ≠ 0, n ∈ N ? ) ; n a m ? n ?? ④ 分数指数幂: a n = √ am (a > 0, m, n ∈ N ? , 且n > 1) ; 1 1 m ⑤ 负分数指数幂: a? n = m = ?? (a > 0, m, n ∈ N ? 且n > 1) ; n ? m √ a an ⑥ 0 的正分数指数幂等于 0 , 0 的零指数幂和负分数指数幂没有意义.
无理数指数幂 一般地,无理数指数幂 aα (a > 0, α 是无理数) 是一个确定的实数.当 α 的不足近似值从小

a (a > 0, α 是无理数) 于 α 的方向逼近 α 时, aα 从小于 aα 的方向逼近 aα ;当 α 的过剩近似值从大于 α 的方 向逼近 α 时, aα 从大于 aα 的方向逼近 aα . 幂的运算性质 ① 同底数幂相乘,底数不变,指数相加: am ? an = am+n ; ② 幂的乘方,底数不变,指数相乘: (am )n = amn ; ③ 积的乘方,将各个因式分别乘方: (ab)n = an ? b n ; ④ 同底数幂相除,底数不变,指数相减: am ÷ an = am?n ;
⑤ 分式乘方,将分子和分母分别乘方: ( ) =

a b

n

an . bn

例题:

1 1 3 ? ? 化简 √a 2 ? √? a?3 ? √(a?5 )? 2 (a? 2 )13 . 解:

? ? ? ? ? ? ? ? 3

? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?

原式 = (a 2 ? a? 2 ) 3 ? [(a?5 )? 2 ? (a? 2 )13 ]

3

3

1

1

1

1 2

= ( a0 ) 3 ? ( a 2 ? a? = (a?4 ) 2 = a?2 .
1 3

1

5

13 2

)2

1

x 2 + x? 2 + 2 已知 x + x 的值. = 3 ,求 x2 + x?2 + 3 1 1 1 1 1 1 1 解:由 x 2 + x ? 2 = 3 ,设 x 2 = t,则 x? 2 = ,所以 t + = 3,t 2 + + 2 = 9,即 t t t2 1 t 2 + 2 = 7 ,所以 t
1 2

?

1 2

3

原式 =

= = =

1 +2 t3 t 4 + 14 + 3 t (t + 1 )(t 2 + 12 ? 1) + 2 t t 1 2 2 (t + 2 ) ? 2 + 3 t

t3 +

3 × (7 ? 1) + 2 2 . 5 72 ? 2 + 3

2.指数函数及其性质 描述: 一般地,形如
图象
y = ax (a > 0, 且a ≠ 1) 的函数叫做指数函数(exponential function),其中 x 是自变量.

定义域
R

值域
(0, +∞)

性质 ① 过定点 (0, 1) ; ② 当 0 < a < 1 时,在 R 上是减函数;当 a > 1 时,在 R 上是增函数.

例题: 下列函数:① y = 6 x ;② y = x 4 ;③ y = ?4 x ;④ y = (?4)x ;⑤ y = 2 × 8 x ;⑥

y = 2 x ;⑦ y = 4 x ;⑧ y = (2a ? 1)x (a >

2

解:①⑥⑧ 根据指数函数的定义进行判断.①⑥⑧ 为指数函数;② 不是指数函数,自变量不在指数上;③ 是 ?1 与指数函数 4 x 的乘积;④ 中底数 ?4 < 0,所以不是指数函数;⑤ 是 2 与指数函数 8 x 的乘积;⑦ 中指数不是 x,而是 x2 ,故 ②③④⑤⑦ 都不是指数函数. 如图所示的指数函数 ① y = ax ;② y = b x ;③ y = c x ;④ y = d x 的图象,则 a, b, c, d 与 1 的大小关系是( )

1 , a ≠ 1),其中是指数函数的是( 2



A.a < b < 1 < c < d

a<b<1<d<c
解:

B.b < a < 1 < d < c

C.1 < a < b < c < d

D.

设 x = 1 与 ①②③④ 的图象分别交于点 A 、B 、C 、D ,如图所示,则其坐标依次为 (1, a)、 (1, b)、(1, c)、(1, d),由图象观察可得 c > d > 1 > a > b,故选 B. 比较下列各题中两个值的大小. (1)1.7?2.5 ,1.7?3 ;(2)1.70.3 ,1.50.3 ;(3)1.70.3 ,0.83.1 . 解:(1)考察函数 y = 1.7x .因为 1.7 > 1,所以 y = 1.7x 在 (?∞, +∞) 上是增函数.因为 ?2.5 > ?3,所以 1.7?2.5 > 1.7?3 . (2)考察函数 y = 1.7x 与y = 1.5x .因为 1.7 > 1.5 ,所以在 (0, +∞)上,y = 1.7x 的图象位 于 y = 1.5x 的图象的上方,而 0.3 > 0,所以 1.70.3 > 1.50.3 . (3)因为 1.70.3 > 1.70 = 1 ,0.83.1 < 0.80 = 1 ,所以 1.70.3 > 0.83.1 . 解方程 4 x + 2 x ? 6 = 0 . 解:原方程可化为

(2 x )2 + 2 x ? 6 = 0,

令 t = 2 x ,则 t > 0 ,所以

t 2 + t ? 6 = 0.
解得 t = 2 或 t = ?3.因为 t > 0 ,所以 t = 2 ,即 2 x = 2 ,所以 x = 1. 若 a?5x > ax+7 (a > 0 且 a ≠ 1),求 x 的取值范围.

7 . 6 7 ② 当 0 < a < 1 时,因为 y = ax 是减函数,所以 ?5x < x + 7 ,所以 x > ? . 6
解:① 当 a > 1 时,函数 y = ax 是增函数,所以 ?5x > x + 7 ,所以 x < ? 求下列函数的单调区间和值域: (1)f (x) = 2 ?x +3x+2 ; (2)y = 4 x ? 2 x+1 + 5 . 解:(1)函数的定义域为 R.令 t = ?x2 + 3x + 2,则 y = 2 x 在 (?∞, +∞) 上是增函数,
2

3 3 ] 上是增函数,在 [ , +∞) 上是减函数,所以 2 2 3 3 ?x2 +3x+2 在 f (x) = 2 (?∞, ] 上是增函数,在 [ , +∞) 上是减函数. 2 2 x (2)函数的定义域为 R,令 t = 2 (t > 0),则 y = (2 x )2 ? 2 × 2 x + 5 = t 2 ? 2t + 5 = (t ? 1)2 + 4,根据该函数的图象可得,y ∈ [4, +∞). 当 t ≥ 1 时,y = (t ? 1)2 + 4 在 [1, +∞) 上为增函数,又 2 x ≥ 1 ,即 x ≥ 0,且 t = 2 x 在 [0, +∞) 上为增函数,由复合函数的单调性的判断方法知,原函数在 [0, +∞) 上是增函数.同 理,原函数在 (?∞, 0] 上为增函数.
而 t = ?x 2 + 3x + 2 在 (?∞, 关于 x 的方程 ( 解:

3 x 3a + 2 有负根,求 a 的取值范围. ) = 4 5?a

3 x 3a + 2 3a + 2 4a ? 3 有负根,只需 > 1 ,即 > 0 ,该不等式等价 ) = 4 5?a 5?a 5?a 3 于 (4a ? 3)(5 ? a) > 0,解得 < a < 5. 4
如图所示,要使 (

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 函数 y = ax+2 (a > 0,且 a ≠ 1)的图象经过的定点坐标是 ( A.(0, 1)
答案: D

)
D.(?2, 1)

B.(2, 1)

C.(?2, 0)

2. 若指数函数 y = ax 在 [?1, 1] 上的最大值与最小值的差是 1 ,则底数 a 等于 (

)

A.

答案: D

1 + √5 2

B.

?1 + √5 2

C.

1 ± √5 2

D.

√5 ± 1 2

3. 设指数函数 f (x) = ax (a > 0, a ≠ 1),则下列等式中不正确的是 ( A.f (x + y) = f (x) ? f (y) B.f (x ? y) =

)

f (x) f (y) C.f (nx) = [f (x)]n (n ∈ Q)
D.f (xy)n = [f (x)]n ?[f (y)]n
答案: D

(n ∈ N + )

4. 设 y 1 = 4 0.9 , y 2 = 8 0.44 , y 3 = ( ) A.y 3 > y 1 > y 2
答案: D

1 2

?1.5

,则 (

)
D.y 1 > y 3 > y 2

B.y 2 > y 1 > y 3

C.y 1 > y 2 > y 3

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