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2011年上海闸北区高三数学(文科)二模试卷

时间:2011-04-22


闸北区 2010 学年度第二学期高三数学(文科)期中练习卷 2011.4
考生注意: 1.本次测试有试题纸和答题纸,作答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚. 3.本试卷共有 20 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟. 一、填空题(本题满分 55 分)本大题共有 11 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 5 分,否则一律得零分. 1.已知 z 和

. 3.某高中共有在读学生 430 人,其中高二 160 人,高一人数是高三人数的 2 倍.为了解学 生身体状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高二学生 32 人,则该样 本中的高三学生人数为 . 4.在平面直角坐标系 xOy 中,到点 A(?2,0) 和到直线 x = 2 距离相等的动点的轨迹方程 为 . 5. 下列三个命题: ①若 | a + b |=| a ? b | , a ? b = 0 ; ②若 a ≠ 0 ,a ? b = a ? c , b = c ; 则 则 ③若 | a ? b |=| a || b | ,则 a // b .其中真命题有 . (写出所有真命题的序号)
o

z+2 都是纯虚数,那么 z = . 1? i 2.函数 y = sin x ? cos(π ? x ) ( x ∈ R ) 的单调递增区间为

6.有一公园的形状为 ?ABC ,测得 AC = 3 千米, AB = 1 千米, ∠B = 60 ,则该公园 的占地面积为 平方千米. . 7.设一个正方体的各个顶点都在一个表面积为 12π 的球面上,则该正方体的体积为 8.设 f (x ) 是 R 上的奇函数, g (x ) 是 R 上的偶函数,若 f ( x ) + g ( x ) = 2 x ,则函数 . 9.甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球,这些小球除颜色外完全相同,其中甲 袋装有 4 个红球、2 个白球,乙袋装有 1 个红球、5 个白球.现分别从甲、乙两袋中各随 机抽取 1 个球,则取出的两球颜色不同的概率为______. (用分数作答) 10.若函数 f ( x ) = 2
| x ? 3|

f ( x) ? g ( x) 的值域为

? log a x 无零点,则 a 的取值范围为

. .

11.设 loga x = logb y = 2 , a + b = 2 ,则 x + y 的取值范围为

二、选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结 论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. . 3 3 12.设 a, b ∈ R,则 “ a > b ” 是“ a > b ” 的 【 】 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 13.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆柱的 母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角 形.其中,真命题的个数为 【 】 A.4 B.3 C.2 D.1 14.一林场现有树木两万棵,计划每年先砍伐树木总量的 10% ,然后再种植 2500 棵树.经 过若干年如此的砍伐与种植后,该林场的树木总量大体稳定在 【 】 A.18000 颗 B.22000 颗 C.25000 颗 D.28000 颗 15.已知 A( 2,?1) , B (?1,1) ,O 为坐标原点,动点 P 满足 OP = mOA + nOB ,其中

m、n ∈ R ,且 2m 2 ? n 2 = 2 ,则动点 P 的轨迹是 A.焦距为 3 的椭圆 B.焦距为 2 3 的椭圆
C.焦距为 3 的双曲线 D.焦距为 2 3 的双曲线





三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对 应的题号)内写出必要的步骤. 16. (满分 12 分)本题有 2 小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 7 分. 设函数 f ( x) = log 2 (2 + 1) , x ∈ R .
x

(1)求 f (x ) 的反函数 f

?1

( x) ; ( x + log 2 5) .

(2)解不等式 2 f ( x ) ≤ f

?1

17. (满分 14 分)本题有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 某分公司经销某种品牌产品, 每件产品的成本为 2 元, 并且每件产品需向总公司交 a 元 ( 2 ≤ a ≤ 6 )的管理费,预计当每件产品的销售价为 x 元( 7 ≤ x ≤ 9 )时,一年的销售量 为 (12 ? x ) 万件. (1)求该分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (2)当每件产品的售价为多少元时,该分公司一年的利润 L 最大,并求 L 的最大值 Q ( a ) . 18. (满分 15 分)本题有 2 小题,第 1 小题 7 分,第 2 小题 8 分. 如右图,圆柱的轴截面 ABCD 为正方形, O 、 O 分别为上、 下底面的圆心, E 为上底面圆周上一点,已知 ∠DO E = 60 ,圆 柱侧面积等于 16π . (1)求圆柱的体积 V ; (2)求异面直线 BE 与 DO 所成角 θ 的大小.
' o '

19. (满分 16 分)本题有 2 小题,第 1 小题 8 分,第 2 小题 8 分. 在数列 {an } 中, a1 = 5 , an +1 = 3an ? 4n + 2 ,其中 n ∈ N .
*

(1)设 bn = an ? 2n ,证明数列 {bn } 是等比数列; (2)记数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,试比较 S n 与 n + 2011 的大小.
2

20. (满分 18 分)本题有 2 小题,第 1 小题 9 分,第 2 小题 9 分. 在 ?ABC 中, A 、 B 为定点,C 为动点,记 ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、c , 已知 c = 2 , ab cos
2

C = 1. 2

(1)证明:动点 C 一定在某个椭圆上,并求出该椭圆的标准方程; (2) 设点 O 为坐标原点, 过点 B 作直线 l 与 (1) 中的椭圆交于 M ,N 两点, OM ⊥ ON , 若 求直线 l 的方程.

高三数学(文科)期中练习卷评分标准与参考答案(2011.4) 3π π 2 一、1. 2i ; 2. [ 2kπ ? ,2kπ + ], k ∈ Z ; 3.18; 4. y = ?8 x ; 4 4 3 ; 7.8; 8. (?∞,0) ; 5.①③; 6. 2 11 9. ; 10. (3,+∞) ; 11. ( 2, +∞ ) . 18
二、12. C; 13.B;
?1 ?1

14.C;
x

15.D.

三、16.解: (1) f (2)由 2 f ( x ) ≤ f

( x) = log 2 (2 ? 1) , x ∈ (0,+∞) . ………………………………5 分

( x + log 2 5) ,得

x + log 2 5 > 0 ,且 2 log 2 (2 x + 1) ≤ log 2 (2 x + log 2 5 ? 1) , ∴ (2 x ) 2 ? 3 × 2 2 + 2 ≤ 0 , ………………………………………………………………5 分 ∴1 ≤ 2 x ≤ 2 , ? 0 ≤ x ≤ 1 综上,得 0 ≤ x ≤ 1 . ………………………………………………………………2 分 17.解: (1)该分公司一年的利润 L (万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式为: L = ( x ? a ? 2)(12 ? x) , x ∈ [7,9] .………………………………………………………6 分 a + 14 (2)当 2 ≤ a < 4 时,此时, 8 ≤ < 9, 2 a + 14 (10 ? a ) 2 所以,当 x = 时, L 的最大值 Q ( a ) = , ………………………………3 分 2 4 a + 14 当 4 ≤ a ≤ 6 时,此时, 9 ≤ ≤ 10 , 2 所以,当 x = 9 时, L 的最大值 Q ( a ) = 3(7 ? a ) .…………………………………………3 分 a + 14 答:若 2 ≤ a < 4 ,则当每件产品售价为 元时,该分公司一年的利润 L 最大,最大值 2 (10 ? a ) 2 Q(a) = ;若 4 ≤ a ≤ 6 ,则当每件产品售价为 9 元时,该分公司一年的利润 L 最 4 大,最大值 Q ( a ) = 3(7 ? a ) . ………………………………………………………2 分 18.解: (1)设圆柱的底面半径为 r ,由题意,得 2 π r × 2 r = 16 π 解得: r = 2 .…………………………………………………5 分 ∴ V = π r 2 × 2 r = 16 π . ……………………………2 分 ' ' (2)连接 O B ,由于 O B // DO , ' 所以, ∠EBO 即为 BE 与 DO 所成角 θ , …………………1 分 过点 E 作圆柱的母线交下底面于点 F ,连接 FB , FO , ' 由圆柱的性质,得 ?EFB 为直角三角形,四边形 EO OF 为矩形, BO ' = DO = 2 5 ,由 ∠DO ' E = 60 o ,由等角定理,得 ∠AOF = 60 o o 所以, ∠BOF = 120 可解得, BF = 2 3 …………………………………………………………………………2 分
在 Rt?EFB 中, BE =

EF 2 + FB 2 = 2 7 ………………………………………………2 分
2 2

BE 2 + BO ' ? EO ' 11 35 11 35 由余弦定理, cos θ = = . ∴θ = arccos . ………3 分 ' 70 70 2 × BO × EO

19.解: (1)由 an +1 = 3an ? 4n + 2 得 an +1 ? 2( n + 1) = 3( an ? 2n) , …………………3 分 又 a1 ? 2 = 1 ≠ 0 , an ? 2n ≠ 0 ,得

an +1 ? 2(n + 1) = 3 , ………………………………3 分 an ? 2 n

所以,数列 {an ? 2n} 是首项为 3,公比为 3 的等比数列, ………………………………2 分 (2) an ? 2n = 3 ? an = 2n + 3 ,
n n

3 n (3 ? 1) + n(n + 1) ,…………………………………………………………………2 分 2 3 3 2 4025 S n ? n 2 ? 2011 = (3 n ? 1) + n(n + 1) ? n 2 ? 2011 = (3 n + n ? ) …………1 分 2 2 3 3 2 x 设函数 f ( x ) = 3 + x , 3 2 2 x 由于 y = 3 x 和 y = x 都是 R 上的增函数,所以 f ( x ) = 3 + x 是 R 上的增函数.…1 分 3 3 4025 6575 4025 > 又由于 f (6) = 733 < , f ( 7) = , 3 3 3 4025 2 所以,当 n ∈ {1,2,3,4,5,6} 时, f ( n) ≤ f (6) < ,此时, S n < n + 2011 ;………2 分 3 4025 * 2 所以,当 n ∈ N 且 n ≥ 7 时, f ( n) ≥ f (7) > ,此时, S n > n + 2011 .………2 分 3 2 2 2 20.解: (1)在 △PAB 中,由余弦定理,有 2 = a + b ? 2ab cos C , ……………1 分 C | a + b |= 4 + 2ab(1 + cos C ) = 2 1 + ab cos 2 = 2 2 > 2 , …………………………3 分 2 所以,点 P 的轨迹 C 是以 A,B 为焦点,长轴长 2a = 2 2 的椭圆.…… ………………1 分 如图,以 A 、 B 所在的直线为 x 轴,以 A 、 B 的中点为坐标原点建立直角坐标系. 则, A( ?1, 和 B (1, . 0) 0) Sn =
x2 + y 2 = 1 .………………………………………………………4 分 2 (2)设 M ( x1,y1 ) , N ( x2,y2 ) ①当 MN 垂直于 x 轴时, MN 的方程为 x = 1 ,不符题意.………………………………1 分 ②当 MN 不垂直于 x 轴时,设 MN 的方程为 y = k ( x ? 1) .
椭圆 C 的标准方程为:

? x2 2 ? + y = 1, 由? 2 得:[1 + 2k 2 ] x 2 ? 4k 2 x + 2( k 2 ? 1) = 0 ,………………………………2 分 ? y = k ( x ? 1) ? 4k 2 2(k 2 ? 1) 所以 x1 + x 2 = , x1 ? x 2 = . 1 + 2k 2 1 + 2k 2 ?k2 2 2 于是: y1 ? y 2 = k ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) = k [ x1 x 2 ? ( x1 + x 2 ) + 1] = . ……………2 分 1 + 2k 2 因为 OM ⊥ ON ,所以 OM ? ON = 0 , k2 ?2 所以 x1 ? x 2 + y1 ? y 2 = = 0 , ………………………………………………………2 分 1 + 2k 2 所以, k = ± 2 , ……………………………………………………………………1 分 所以,直线 l 的方程为: y = ± 2 ( x ? 1). ……………………………………………………1 分


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