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3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域(一)

时间:2012-06-05


3.3.1二元一次不等式(组) 与平面区域(一)

一.引例
一家银行的信贷部计划年初投入2500 万元用于企业和个人贷款,希望这笔贷款 至少可带来3万元的收益,其中从企业贷 款中获益12%,从个人贷款中获益10%. 那么,信贷部应如何分配资金呢?

, ? x ? y ? 25000000 ?12x ? 10 y ? 3000000 ? ? x ? 0, ? ? y?0 ?

二.讲授新课
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值 构成有序数对(x,y),所有这样的有序数对 (x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组) 的解集.有序数对可以看成直角坐标平面 内点的坐标.于是,二元一次不等式(组) 的解集就可以看成直角坐标系内的点构 成的集合.

问题1:在平面直角坐标系中,方程 x – y = 6 的解集表示什么图形? 问题2:在平面直角坐标系中,不等式x – y< 6 的解集表示什么图形? (1)尝试 (2)观察并讨论 问题3:不等式x – y>6的解集表示什么图形?

(3)结论

二元一次不等式表示平面区域
结论: (1)二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有 点组成的平面区域.不包括边界,直线以虚线 表示. (2)不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域. 包 括边界,直线以实线表示. (3)不等式 Ax+By+C<0表示的是另一侧的平 面区域.

三.例题

例1:画出不等式x+4y<4表示的平面区域.
一般地,如何画出Ax+By+C>0表示的平面区域? 由于对直线同一侧的所有点(x,y),把它代入 Ax+By+C,所得实数的符号都相同,所以只 需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ,从 Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表 示哪一侧的区域。
平面区域的确定常采用“直线定界,特殊点定域”的方法。

一般在C≠0时,取原点作为特殊点。

变式:画出不等式x+4y≤4表示的平面区域.
应该注意的几个问题:

1、若不等号为“>”或“<”,则边界应画 成虚线,若不等号为“≤”或“≥”, 应画 成实线。 2、画图时应非常准确,否则将得不到正 确结果。

三.例题

例2: 用平面区域表示不等式组

? y ? ?3 x ? 12, 的解集。 ? ?x ? 2 y ?y ? 8 ?

练习:

1.画出下列不等式表示的平面区域:
(1)2x+3y-6>0 (2)4x-3y≤12

2.将下列图中的平面区域(阴影部分)用不等 式出来 ( 图 (1) 中的区域不包含 y 轴 ) y y y
2x+y=4 o x

x+y=0
o x

o

x

(1)

x>0

x +y≥0
(2)

2x+y<4

(3)

3.(05浙江)设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则A所表示的平面区域 (不含边界的阴影部分)是( )

4. 已知点A(1,2)和B(1,1)在直线 y -3x - m = 0 的异侧,求m的取值范围. 5. 画出不等式(x +2y -1)(x - y +3)>0表示的 平面区域. 6.求由三直线x - y = 0;x + 2y - 4 = 0及y +2 = 0 所围成的平面区域(包括边界)所表示的 不等式.

课堂小结
1. 懂得画出二元一次不等式Ax+By

+C>0(<0)在平面区域中表示的图
形;(直线定界,特殊点定域) 2. 注意如何表示边界.

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