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2011年全国高中数学联赛江苏赛区复赛一试参考答案与评分细则

时间:2012-05-27

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2011 年全国高中数学联赛江苏赛区

复赛参考答案与评分细则

一试

一、填空题(本题满分 64 分,每小题 8 分)

1.已知集合 M={x||x-1|<3},N={x|(12)x<1,x∈Z},则 M∩N 的子集的个数是



答案:8.

2.已知函数 f(x)= x2+x2x+4,则 f(x)的值域为



答案:[-2 3 3,1).

3.在△ABC 中,已知 AB=2 3,BC= 7+1,AC= 7-1,则 AB 边上高的长度





答案:2 5 6.

4.设 ai∈{0,1,2,…,9},其中 i=1,2,3,4,则排列 a1,a2,a3,a4 中,至少有

两个 9 相邻的排列的个数为



答案:280. 5.已知 A、B、C 是椭圆2x52 +1y62 =1 上的三点,点 F(3,0),若? FA +? FB +? FC =0,则|? FA |

+|? FB |+|? FC |=



答案:458.

ìab,ab≤a2+44b2, ?í 6.设 a、b 为正实数,记 M= a2+44b2,ab>a2+44b2,则 M 的最大值是



答案:1.

7.已知 a2(b+c)=b2(a+c)=2011 且 a≠b,则 abc=



答案:-2011.

8.若直线系 C:xcost+(y+1)sint=2 中的三条直线围成正三角形区域 D,则区域 D 的面积





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答案:4 3 3或 12 3.(得到一个答案给满分)

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二、解答题(本题满分 16 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn.如果 a1=12,an=-5SnSn-1 (n≥2),求数列{an}的通项
公式 an. 解:设 n≥2.

因为 an=Sn-Sn-1,所以 Sn-Sn-1=-5SnSn-1.

………………………………2 分

先证明 Sn≠0(n≥1).

①S1=a1=12≠0.

②假设 Sn-1≠0.

如果 Sn=0,则由 Sn-Sn-1=-5SnSn-1 知 Sn-1=0,矛盾.

由归纳法原理,知对一切 n≥1,都有 Sn≠0.

………………………………6 分

将等式 Sn-Sn-1=-5SnSn-1 两边除以 SnSn-1,得

S1n- S1n-1=5,

所以{S1n}是首项为 2,公差为 5 的等差数列.

………………………………9 分

因此S1n=2+5(n-1)=5n-3,

从而 Sn=5n1-3,n≥1.

………………………………12 分

于是 an=Sn-Sn-1=5n1-3-5n1-8=-(5n-3)5(5n-8),n≥2,

ì12,

n=1,

?í 即 an= -(5n-3)5(5n-8),n≥2.

………………………………16 分

三、解答题(本题满分 20 分) 设 M 是椭圆 C:4x82 +1y62 =1 上的一点,P、Q、T 分别为点 M 关于 y 轴、原点、x 轴的
对称点,N 为椭圆 C 上异于 M 的点,且 MN⊥MQ,QN 与 PT 的交点为 E,当 M 沿椭圆 C 运动时,求动点 E 的轨迹方程.
解:设 M(x1,y1)为椭圆 C 上的任意一点(x1y1≠0),N(x2,y2),动点 E 的坐标为(x,y),
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则 P (-x1,y1),Q (-x1,-y1),T(x1,-y1).

所以x4182+y1162=1,……①

x4282+y1262=1. ……②

Http://www.fhedu.cn …………………………3 分

①-②,得

(x1-x24)(8x1+x2)+(y1-y21)(6y1+y2)=0.

所以((yx11- -yx22))(( yx11+ +yx22))=-13,从而 kMN·kQN=-13.

…………………………8 分

因为 MN⊥MQ,所以 kMN·kQM=-1.

又 kQM=yx11,所以 kMN=-xy11,从而 kQN=3yx11. 因此直线 QN 的方程为 y=3yx11(x+x1)-y1.

…………………………12 分

因为直线 PT 的方程为 y=-yx11x,

?íì ?íì 由

yy= =3-yx11yx(11xx+,x1)-y1,解得

x=12x1, y=-12y1,

所以 x1=2x,y1=-2y.

…………………………16 分

因为点(x1,y1)在椭圆 C:4x82 +1y62 =1 上,所以x4182+y1162=1,

所以44x82+41y62=1,即

x2 12

+

y2 4

= 1(xy

? 0) ,此即为所求点 E

的轨迹方程.

…………………………20 分

四、解答题(本题满分 20 分) 三次函数 f(x)=x3+ax2+bx+c 的图像如图所示,直线 BD∥AC,且直线 BD 与函数 f(x)
的图像切于点 B、交于点 D,直线 AC 与函数 f(x)的图像切于 C、交于点 A.设 xA,xB,xC, xD 分别为点 A、B、C、D 的横坐标,求证:(xA-xB)∶(xB-xC)∶(xC-xD)=1∶2∶1.

y

D

B

O

x

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C
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A

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解:设函数 f(x)在点 B(xB,f(xB))的展开式为 f(x)=(x-xB)3+a1(x-xB)2+b1(x-xB)+f(xB), ①
则 f′(x)=3(x-xB)2+2a1(x-xB)+b1,

所以 f′(xB)=b1,

…………………………4 分

所以切线 BD 的方程为

y=b1(x-xB)+f(xB).



由①、②解得 x=xB,或 x=xB-a1,所以 xD=xB-a1.………………………8 分

又设函数 f(x)在点 C(xC,f(xC))的展开式为 f(x)=(x-xC)3+a2(x-xC)2+b2(x-xC)+f(xC),
则 f′(x)=3(x-xC)2+2a2(x-xC)+b2,

所以 f′(xC)=b2,xA=xC-a2.

…………………………12 分

又因 BD∥AC,所以 f′(xB)=f′?(xC)=b1=b2,

所以 3(xC-xB)2+2a1(xC-xB)=0.

又 xC≠xB,故有 3(xC-xB)+2a1=0,即 xC=xB-23a1.

同理,xB=xC-23a2,所以 a1=-a2.

…………………………16 分

所以 xA-xB=xC-a2-xB=xB-23a1+a1-xB=13a1,

又 xD=xB-a1,xC=xB-23a1,所以 xC-xD=13a1.

综上所述得:(xA-xB)∶(xB-xC)∶(xC-xD)=1∶2∶1.………………………20 分

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