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【超级经典】三角函数知识点与题型总结

时间:2014-06-28


成都戴氏教育温江校区
学 生: 老 师: 年 级: 科 目: 时 间: 章 节:1 三角函数知识点与典型例题

【考试大纲】
高考中本部分所占分值在 17~22 分,主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察 内容按综合难度分,主要有以下几个层次: 第一层次: 通过诱导公式和倍角公式的简单运用, 解决有关三角函数基本性质的问题。 如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆 用、切弦互化等。 第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、 有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。

【方法技巧】
1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ +sin2θ =tanx·cotx=tan45°等。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;

???
配凑角:α =(α +β )-β ,β =
2

???

2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。
2 2 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a ? b sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、

b b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? = a 确定。

2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形 式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性, 利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。

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【典型例题】
y ? cos(

?

1、将函数

1 x? ) 3 2 的图象作怎样的变换可以得到函数 y ? cos x 的图象?

2、已知关于 x 的方程

2 x2 ?

?

3 ?1 x ? m ? 0

?

的两根为 sin ? 和 cos ? :

1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? 1 ? sin ? ? cos ? (1)求 的值;

(2)求 m 的值.

3、已知

sin x ? sin y ?

1 2 3 ,求 ? ? sin y ? cos x 的最值.

cos ? ? sin ? 2 2 4、 .已知 tan? ? 2 ,求(1) cos ? ? sin ? ; (2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值.

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5、求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) 的值域。
2

cos α),x ? a ? (t 2 ? 3)b, 6、已知向量 a ? (2cos α,2 sin α),b= (? sin α,

y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 ,
(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式;
, 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值。 (2)若 t ? [?1

? 3 1 7、已知 sinα = 5 ,α ∈( 2 ,π ) ,tan(π -β )= 2 ,
求 tan(α -2β )的值.

1 3 8、已知函数 y= 2 cos2x+ 2 sinxcosx+1,x∈R.
(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?

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