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人教版高二数学必修5课件:2.3等差数列的前n项和(一)_图文

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§ 明目标、知重点 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2. 经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验 从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思. 3.熟练掌握等差数列的五个量 a1,d,n,an,Sn的关系,能 够由其中三个求另外两个. 探要点·究所然 情境导学 “数学王子”高斯是德国数学家.在高斯10岁时,老师出了一道 数学题为1到100的所有整数的和为多少?很快高斯便得出答案 为5 050.老师大吃一惊,而更使人吃惊的是高斯的算法,高斯 的算法是老师未曾教过的方法,那么这是一个什么样的方法呢? 它用于解决什么类型的问题呢?这种方法叫倒序相加法,是等 差数列求和的一种重要方法,本节我们就来研究它. 自主学习: 预习教材第 42 页~第 44 页。 1.数列 {an } 的前 n 项和的概念:用 Sn 表示,即 Sn = 2.等差数列 {an } 中, 若 m ? n ? p ? q ( m, n, p, q 为常数)则有: 一般地, a1 ? an ? = ...... (1.)设 Sn 则 ? 1 ? 2 ? 3 ? ?? 99 ? 100 [来源:学优 高考网g k s tk] Sn ? 100 ? 99 ? 98 ? ?2 ? 1 所以,2 S n ? 思考 人们从 “ 高斯的算法 ” 受到启示,创造了“ 倒序相加法 ” ,即 设S=1+2+3+…+99+100,把加数倒序写一遍:S=100+99+ 98+…+2+1.两式相加有2S=(1+100)+(2+99)+…+(99+2)+ (100+1)=100×101,∴S=50×101=5050.你能利用此种方法求1 +2+3+…+n等于多少吗? 答 设Sn=1+2+3+…+(n-1)+n, 又Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1, ∴2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+[(n-1)+2]+(n+1), n?n+1? ∴2Sn=n(n+1),∴Sn= . 2 2).设等差数列 ?an ? , S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 ? an 则 S n ? an ? an?1 ? ?a3 ? a2 ? a1 所以,2 S n ? 即, S n ? 因为 an ? a1 ? (n ? 1)d ,所以, S n ? [来源:学优 高考网 ] .等差数列前n项和公式 (1)若{an}是等差数列,则Sn可以用首项a1和末项an表示为Sn n?a1+an? = ; 2 (2)若首项为a1,公差为d,则Sn可以表示为 1 Sn= na1+2n (n-1)d . 例 1.已知等差数列{an } 中, (1) a1 ? 75 , a7 ? 105 , 求 S7 ; (2) a1 ? ?10 , d ? 4 , Sn ? 54 ,求 n ; (3) S5 ? 25 , S10 ? 100 ,求 a1 及 d 。 例2 已知一个等差数列 {an}前 10 项的和是310 ,前 20项的 和是1 220,由这些条件能确定这个等差数列的前 n项和的 公式吗? 解 由题意知 S10=310,S20=1 220, n?n-1? 将它们代入公式 Sn=na1+ d 2 ? ? ?10a1+45d=310, ?a1=4, 得到? 解方程得? ? ? ?20a1+190d=1 220. ?d=6. n?n-1? ∴Sn=n×4+ 2 ×6=3n2+n. 10?a1+a10? 另解:S10= =310?a1+a10=62 2 20?a1+a20? S20= =1 220?a1+a20=122 2 ① ② ②-①得:a20-a10=60, ∴10d=60,∴d=6,a1=4. n?n-1? Sn=na1+ 2 d=3n2+n. 例4 2000 年 11 月 14 日教育部下发了《关于在中小学实施 “校校通”的工程通知》.某市据此提出了实施“校校通” 工程的总目标:从 2001 年起用 10 年的时间,在全市中小学 建成不同标准的校园网 .据测算,2001年该市用于“校校通” 工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施,计划每年 投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来 10年内,该市在“校校通”工程中的总投入是多少? 解 依题意得,从2001~2010年,该市每年投入“校校通” 工程的经费都比上一年增加50万元,所以可以建立一个等 差数列{an},表示从2001年起各年投入的资金,其中,a1= 500,d=50. 那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为 10×?10-1? S10=10×500+ ×50=7 250(万元). 2 答 从2001~2010年,该市在“校校通”工程中的总投入 是7 250万元. 反思与感悟 (1)在解决与等差数列前n项和有关的问题时, 要注意方程思想和整体思想的运用; (2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1,d,n,an,Sn, 知其三能求其二. 例3 (1)等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,求 数列{an}的前3m项的和S3m; 解 (1) 方法一 在等差数列中, Sm , S2m - Sm , S3m - S2m 成 等差数列.∴30,70,S3m-100成等差数列. ∴2×70=30+(S3m-100),∴S3m=210. 3.本节基本思想:方程思想,函数思想,整体思想,分类 讨论思想.

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