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高中数学第一章导数及其应用1.6微积分基本定理课件_图文

时间:

1.6 微积分基本定理

自主学习 新知突破

1.直观了解并掌握微积分基本定理的含义.
2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.

已知函数f(x)=2x+1,F(x)=x2+x,
[问题1] f(x)和F(x)有何关系? [提示1] F′(x)=f(x).
[问题 2] [提示2]
?2 利用定积分的几何意义求? ?0 ?2 由定积分的几何意义得? ?0

(2x+1)dx 的值.

(2x+1)dx=6.

[问题3] 求F(2)-F(0)的值.

[提示3] F(2)-F(0)=4+2=6.
[问题4] 你得出什么结论?
[提示4]
?2 ? f(x)dx=F(2)-F(0),且F′(x)=f(x). ?0

微积分基本定理
连续 函数,并且 内 如果f(x)是区间[a,b]上的_______
容 F′(x)=_______ f(x) ,那么 f(x)dx=____________ F(b)-F(a)
a
?b ? ? ?

符 号

?b ? ? ?a

?b F(b)-F(a) f?x?dx=F?x?? = __________ a ?

定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,在x轴下方的面积为S
下.

则 (1)当曲边梯形的面积在x轴上方时,如图①,则
?b ? ? ?a

f(x)dx=

S上 . ______

(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图②,则 f(x)dx=

?b ? ? ?a

-S下 . __________
(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,如
?b ? ? ?a ?b ? ? ?a

S上-S下 ,若 S 图③,则 f(x)dx = __________ 0 ________.



=S



,则 f(x)dx =

对微积分基本定理的理解 (1)微积分基本定理表明,计算定积分
?b ? ? ?a

f(x)dx的关键是找

到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),通常,我们可以运用基本初等 函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F(x). (2)牛顿-莱布尼兹公式指出了求连续函数定积分的一般 方法,把求定积分的问题,转化成求原函数(F(x)叫做f(x)的原 函数)的问题,揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也 提供计算定积分的一种有效方法.

1.下列值等于 1 的是( A. xdx C. 1dx
0
?1 ? ? ? ?1 ? ? ?0

) B. (x+1)dx 1 D. 2dx 0
?1 ? ? ? ?1 ? ? ?0

解析:
?1 ? ? ?0

?1 ? ? ?0

1 ?1 2 ? 1 21 1 ? 3 ? 1 ? ? ? | | xdx=2x 0=2;? (x+1)dx= 2x +x 0=2; 0 ? ?

?1 1 1 1 ? 1 1 ? | 1dx=x 0=1;? 2dx=2x| 0=2. 0

答案:

C

2. A.π

(1+cos x)dx 等于( B.2

)

C.π-2
解析:

D.π+2

? π?? ?π π? ? π =?2+sin2?-?-2+sin?-2??=π+2. ? ?? ? ? ?

答案:

D

1? 3.若 2x+x ?dx=3+ln 2,则a的值是________. ? ?

?a? ? ? ? ?1

解析:

?a? ? ? ? ?1

1? 2x+x ?dx=(x2+ln x)| a 1 ? ?

=(a2+ln a)-(1+ln 1)=(a2-1)+ln a=3+ln 2. ?a2-1=3, ? ∴?a>1, ?a=2, ?
答案: 2

∴a=2.

4.已知

2 ? ?x , f(x)=? ? ?cos x-1,

?1 x≤0, 试求? f(x)dx. ? - 1 x>0,

解析:

?1 ?1 ? f(x)dx=?0-1x2dx+? ? (cos ? ? ?-1 0

x-1)dx

1 30 2 1 =3x | -1+(sin x-x)| 0=sin 1-3.

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求简单函数的定积分
求下列定积分:
(1) (3x2+x-1)dx; (2) (cos x+sin x)dx; (3)
?0 ? ? ?-π ?2π ? ? ?π ?2 ? ? ?0

(ex-cos x)dx.

[思路点拨] 本定理求解.

先求被积函数的原函数,然后利用微积分基

? 3 1 2 ? (1)∵?x +2x -x?′=3x2+x-1, ? ?

∴ (3x

?2 ? ? ?0

2

? 3 1 2 ? +x-1)dx=?x +2x -x?| 2 0 ? ?

? 3 1 2 ? 2 -2?-0=8. =?2 +2· ? ?

(2)∵(sin x-cos x)′=cos x+sin x, ∴ (cos x+sin x)dx=(sin x-cos x)| 2π π =(sin 2π-cos 2π)-(sin π-cos π) =(0-1)-[0-(-1)] =-1-1=-2.
?2π ? ? ?π

(3)∵(ex-sin x)′=ex-cos x, ∴
?0 ? ? ?-π

(ex-cos x)dx=(ex-sin x)| 0 -π


=(e0-sin 0)-[e π-sin(-π)] =1-e-π.

求简单的定积分关键注意两点: (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被 积函数的原函数,当原函数不易求时,可将被积函数适当变形 后再求解;

(2)精确定位积分区间,分清积分下限与积分上限.

1.求下列定积分. (1) (2) (3)
?1 ? xndx; ?0
?3 ? ? ?2 ?3? ? ? ? ?1?

(2-x2)(3-x)dx; 1? 2 x+ ? 6xdx. x? ?
1 n+1 1 n 0 (1) x dx= x |0 n+1
?1 ?

?

解析:

1 1 1 n+1 n+1 = ×1 - ×0 = . n+1 n+1 n+1

(2) =

?3 ? ? ?2

(2-x2)(3-x)dx

?3 ? ? ?2

(6-2x-3x2+x3)dx

? 1 4? 3 2 3 =?6x-x -x +4x ?| 2 ? ? ? ? ? ? 1 1 2 3 4 2 3 4 =?6×3-3 -3 +4×3 ?-?6×2-2 -2 +4×2 ? ? ? ? ?

9 =4-4=-1.75.

(3) =

?3? ? ? ? ?1?

?

?3? ? 1? 1 ? ?2 ?x+ +2?6xdx x+ ? 6xdx=? ? x x? 1? ?

?3 ? ? ?1

(6x2+6+12x)dx

=(2x3+6x+6x2)| 3 1 =(54+18+54)-(2+6+6) =112.

求复杂函数的定积分
?x2,-1≤x≤1 ? (1)先作出函数 f(x)=?x,1≤x≤3 ?3,3≤x≤5 ? 再求
?3 ? ? ?0 ?5 ? ? ? -1

的图象,

f(x)dx;

(2) |x2-4|dx.

[思路点拨]

所求两个定积分的原函数都无法一眼看出,

可以先把被积函数化简后,应用定积分的性质转化为易求原函 数的定积分再求解.

解析:

(1)图象如图所示,

?5 ? ? ? -1

?3 ?5 ?1 1 31 1 23 ? ? 2 5 ? ? 3dx= x | - + x | +3x| f(x)dx=? x dx+? x d x + 1 3 ? ? 3 2 1 -1 1 3

2 2 =3+4+6=103.

2 ? ?x -4, (2)f(x)=? 2 ? ?4-x ,
?3 ? ? ?0

x≥2或x≤-2, -2<x<2,
2
?3 ? ? ?2

∴ |x -4|dx= (4-x )dx+ (x2-4)dx
? ? 1 3? 2 ?1 3 =?4x-3x ?| 0+?3x -4x?| 3 2 ? ? ? ? ? ? ?1 3 ? ?1 ? 1 3 3 3 -4×3?-?3×2 -4×2? =?4×2-3×2 ?-0+?3· ? ? ? ? ? ?

2

?2 ? ? ?0

23 =3.

求复杂函数定积分的方法: (1)掌握基本初等函数的导数及导数的运算法则,正确求解 被积函数的原函数.当原函数不易求解时,可以先把原函数变 形.

(2)合理应用定积分的性质,把复杂函数的定积分转化为简
单函数的定积分再求. (3)准确确定积分区间,分清积分的上下限.

2.计算定积分

?0 ? ? ?-4

|x+3|dx.

解析: 所以
?0 ? ? ? -4

因为

? ?-x-3,x<-3, f(x)=|x+3|=? ? ?x+3,x≥-3,

|x+3|dx

?-3 ?0-3(x+3)dx =? ?-4(-x-3)dx+? ? 1 2 ? - ?1 2 ? 3 =?-2x -3x?| -4+?2x +3x?| 0 -3=5. ? ? ? ?

定积分的应用
已知
? ?2x+1,x∈[-2,2], f(x) = ? 2 ? ?1+x ,x∈?2,4],

求使 f(x)dx =

?3 ? ? ?k

40 3 恒成立的 k 值.

[思路点拨]

(1)当k∈(2,3]时,
?3 ? ? ?k

f(x)dx=

?3 ? ? ?k

(1+x

2

? 1 3? 3 )dx=?x+3x ?| k ? ?

? 1 3? 1 3 =3+3×3 -?k+3k ? ? ?

40 =3,

4分

整理得k3+3k+4=0, 即k3+k2-k2+3k+4=0, ∴(k+1)(k2-k+4)=0, ∴k=-1. 而k∈(2,3],∴k=-1舍去. 5分

(2)当 k∈[-2,2]时,
?3 ? ? ?k

f(x)dx=
2

?2 ? ? ?k

(2x+1)dx+
? ? ? ?

?3 ? ? ?2

(1+x2)dx

=( x

1 3 3 2 ? | +x) k + x+ x ?| 2 3
2

=(2 +2)-(k

2

? ? ? ? 1 1 3 3 +k)+?3+3×3 ?-?2+3×2 ? ? ? ? ?

40 40 2 = 3 -(k +k)= 3 , ∴k2+k=0, 解得 k=0 或 k=-1, 综上所述,k=0 或 k=-1.

8分

10 分 12 分

定积分的应用体现了定积分与函数的内在联 系,可以通过定积分构造新的函数,进而对这一函数进行性 质、最值等方面的考查,解题过程中注意体会转化思想的应 用.

3.已知f(a)= (2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.
?1 ? ? ?

?1 ? ? ?0

解析:

因为 (2ax -a
0

2

2

?2 3 1 2 2? x)dx=?3ax -2a x ?| 1 0 ? ?

2 1 2 =3a-2a ,

2 1 2 所以f(a)=3a-2a 4? 2 1? 2 4 =-2?a -3a+9?+9 ? ? 1? 2?2 2 =-2?a-3? +9. ? ? 2 2 所以当a=3时,f(a)的最大值为9.

◎计算定积分 (2t+3)dx.

?2 ? ? ?1

【错解】 6.

?2 ? ? ?1

2 (2t+3)dx=(t2+3t) | 2 = (2 +3×2)-(1+3)= 1

【错因】

错解在求被积函数的原函数时,错把积分变量

看作是t,而实际上是x.
【正解】
?2 ? ? ?1

(2t+3)dx=(2t+3)x| 2 1=2t+3.


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