nbhkdz.com冰点文库

二项分布及其应用

时间:2015-09-05


一轮复习讲义

二项分布及其应用

要点梳理
1.条件概率及其性质

忆一忆知识要点

(1)对于任何两个事件 A 和 B,在已知事件 B 发生的条件下 事件 A 发生的概率,称为事件 B 发生的条件下事件 A 的条
P?AB? 件概率,用符号 P(A|B) 来表示,其公式为 P(A|B)= P?B? .

在古典概型中,若用 n(B)表示事件 B 中基本事件的个数, n?AB? 则 P(A|B)= . n?B? (2)条件概率具有的性质: ①
0≤P(A|B)≤1 ;

②如果 A 和 C 是两互斥事件,则 P(A+C|B)= P(A|B)+ P(C|B) .

要点梳理
2.相互独立事件

忆一忆知识要点

(1)对于事件 A、B,若 A 的发生与 B 的发生互不影响, 则称 A、B是相互独立事件 . (2)若 A 与 B 相互独立,则 P(A|B)= P(A) , P(B) . P(AB)=P(A|B)· P(B)= P(A)· (3)若 A 与 B 相互独立,则 A 与 B , A 与 B, A 与 B 也都 相互独立. (4)若 P(AB)=P(A)P(B),则 A 与 B 相互独立 .

要点梳理
3.二项分布

忆一忆知识要点

(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的, 各次之间 相互独立的一种试验, 在这种试验中每一次试验只有 两 种 结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的 概率都是一样的.
k k C n (2)在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生 k 次的概率为 p - (1-p)n k(k=0,1,2,?,n) (p 为事件 A 发生的概率), 事件 A

k 发生的次数是一个随机变量 X,其分布列为 P(X=k)=Ck np

qn-k,其中 0<p<1,p+q=1,k=0,1,2,?,n,则称 X 服 从参数为 n,p 的 二项分布 ,记为 X~B(n,p) .

[难点正本

疑点清源]

1.“互斥事件”与“相互独立事件”的区别与联系 (1)“互斥”与“相互独立”都是描述的两个事件间的关系. (2)“互斥”强调不可能同时发生,“相互独立”强调一个事 件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. (3)“互斥”的两个事件可以独立,“独立”的两个事件也可 以互斥. 2.条件概率 条件概率通常是指在事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的概 P?AB? 率. 放在总体情况下看: 先求 P(A), P(AB)再求 P(A|B)= . P?B? 关键是求 P(A)和 P(AB).

条件概率
例 1 抛掷红、蓝两颗骰子,设事件 A 为“蓝色骰子的点数为 3 或 6”,事件 B 为“两颗骰子的点数之和大于 8”. (1)求 P(A),P(B),P(AB); (2)当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时,求两颗骰子的点 数之和大于 8 的概率.

(1)从古典概型的角度看,确定基本事件和构成事件的基 本事件.(2)条件概率.
解 2 1 (1)①P(A)= = . 6 3

②∵两个骰子的点数共有 36 个等可能的结果,点数之和大于 8 的结果共 10 个. 10 5 ∴P(B)= = . 36 18
③当蓝色骰子的点数为 3 或 6 时,两颗骰子的点数之和大于 8 5 的结果有 5 个,故 P(AB)= . 36 5 P?AB? 36 5 (2)由(1)知 P(B|A)= = = . 1 12 P?A? 3

探究提高
条件概率的求法: P?AB? (1)利用定义, 分别求 P(A)和 P(AB), 得 P(B|A)= .这是通 P?A? 用的求条件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式,先求事件 A 包含的基本事件数 n(A),再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数, n?AB? 即 n(AB),得 P(B|A)= . n?A?

变式训练 1
1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个 红球,现随机地从 1 号箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号 箱随机取出一球,问: (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下,从 2 号箱取出红球的 概率是多少? (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少? 解 记事件 A:最后从 2 号箱中取出的是红球;
事件 B:从 1 号箱中取出的是红球. 4 2 1 P(B)= = ,P( B )=1-P(B)= , 3 2+4 3

3+1 4 (1)P(A|B)= = . 8+1 9

3 1 (2)∵P(A| B )= = , 8+1 3 ∴P(A)=P(AB)+P(A B ) =P(A|B)P(B)+P(A| B )P( B ) 4 2 1 1 11 = × + × = . 9 3 3 3 27

相互独立事件的概率
例 2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命 1 1 中率分别为 与 p,且乙投球 2 次均未命中的概率为 . 2 16 (1)求乙投球的命中率 p; (2)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (3)若甲、乙两人各投球 2 次,求共命中 2 次的概率.

(1)利用列方程求 p;(2)可用直接法也可用间接法;(3)要分 类讨论甲、乙各命中的次数.



(1)方法一

设“甲投一次球命中”为事件 A, “乙投一次
2 2

球命中”为事件 B.
1 由题意得(1-P(B)) =(1-p) = , 16 3 5 解得 p= 或 p= (舍去), 4 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4 方法二 设 “甲投一次球命中”为事件 A,“乙投一次球命 中”为事件 B.
1 由题意得:P( B )P( B )= , 16 1 1 于是 P( B )= 或 P( B )=- (舍去). 4 4

3 故 p=1-P( B )= . 4 3 所以乙投球的命中率为 . 4
1 1 (2)方法一 由题设知,P(A)= ,P( A )= . 2 2 故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 3 1-P( A · A )= . 4 1 1 方法二 由题设知,P(A)= ,P( A )= . 2 2
故甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率为 3 1 C2P(A)P( A )+P(A)P(A)= . 4

1 1 (3)由题设和(1)知,P(A)= ,P( A )= , 2 2 3 1 P(B)= ,P( B )= . 4 4
甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各 中一次;甲中 2 次,乙 2 次均不中;甲 2 次均不中,乙中 2 次.
1 概率分别为:C1 2P(A)P( A )C2P(B)P( B )=

3 , 16

1 P(A)P(A)P( B )P( B )= , 64 9 P( A )P( A )P(B)P(B)= . 64

所以甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次的概率为 3 1 9 11 + + = . 16 64 64 32

探究提高
(1)相互独立事件是指两个试验中,两事件发生的概率互不 影响;相互对立事件是指同一次试验中,两个事件不会同时 发生; (2)求用“至少”表述的事件的概率时, 先求其对立事件的概 率往往比较简单.

变式训练 2
设甲、乙两射手独立地射击同一目标,他们击中目标的概率分 别为 0.8、0.9,求: (1)两人都击中目标的概率; (2)两人中恰有 1 人击中目标的概率; (3)在一次射击中,目标被击中的概率; (4)两人中,至多有 1 人击中目标的概率.
解 设事件 A={甲射击一次,击中目标},事件 B={乙射击一

次,击中目标},A 与 B 相互独立. 则 P(A)=0.8,P(B)=0.9,

(1)两人都击中目标的事件为 AB, ∴P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72, 即两人都击中目标的概率为 0.72.

(2)设事件 C={两人中恰有 1 人击中目标}, 则 C=A B +B A ∴A B 与 B A 互斥,且 A 与 B 独立, ∴P(C)=P(A B +B A )
=P(A B )+P(B A ) =P(A)P( B )+P(B)P( A ) =P(A)[1-P(B)]+P(B)[1-P(A)] =0.8×0.1+0.9×0.2=0.26, 即两人中恰有 1 人击中目标的概率为 0.26.

(3)设 D={目标被击中}={两人中至少有 1 人击中目标}, 本问有三种解题思路:
方法一 ∵D=A B +B A +AB,且 A 与 B ,B 与 A ,A 与 B 相互独立,A B 、B A 、AB 彼此互斥, ∴P(D)=P(A B +B A +AB) =P(A B )+P(B A )+P(AB) =P(A)P( B )+P(B)P( A )+P(A)P(B) =P(A)[1-P(B)]+P(B)[1-P(A)]+P(A)P(B) =0.8×0.1+0.9×0.2+0.8×0.9=0.98, 即目标被击中的概率是 0.98.

方法二

利用求对立事件概率的方法.

两人中至少有 1 人击中的对立事件为两个都未击中,
所以两人中至少有 1 个击中的概率为 P(D)=1-P( A B )=1-P( A )P( B ) =1-0.2×0.1=0.98. 即目标被击中的概率是 0.98.

方法三 ∵D=A+B,且 A 与 B 独立. ∴P(D)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.8+0.9-0.8×0.9=0.98. 故目标被击中的概率是 0.98.

(4)设 E={至多有 1 人击中目标}, ∵E=A B +B A + A B , 且 A 与 B 、B 与 A 、 A 与 B 独立, A B 、B A 、 A B 彼此互斥,

∴P(E)=P(A B +B A + A B ) =P(A B )+P(B A )+P( A B ) =P(A)P( B )+P(B)P( A )+P( A )P( B ) =0.8×0.1+0.9×0.2+0.1×0.2=0.28.
故至多有 1 人击中目标的概率为 0.28.

独立重复试验与二项分布
2 例 3 某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结 3 果互不影响. (1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另 外 2 次未击中目标的概率; (3)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分, 未击中目标得 0 分.在 3 次射击中,若有 2 次连续击中, 而另外一次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则 额外加 3 分. 记 ξ 为射手射击 3 次后的总分数,求 ξ 的概 率分布表.

(1)击中目标次数

? 2? X~B?5,3?;(2)用 ? ?

Ai(i=1,2,3,4,5)表示事件

“第 i 次射击击中目标”,则 Ai 相互独立,再用 Ai 表示出所 求事件后,由概率加法公式和概率乘法公式求解; (3)确定出 总得分数 ξ 的所有可能取值及相应的概率值后列表.
解 (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X~ ? 2? B?5,3?.在 5 次射击中,恰有 2 次击中目标的概率为 ? ? ?2? ? 2?3 40 2 2 P(X=2)=C5×?3? ×?1-3? = . 243 ? ? ? ?

(2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5),“射手 在 5 次射击中有 3 次连续击中目标, 另外 2 次未击中目标”为 事件 A,则 P(A)=P(A1A2A3 A 4 A 5)+P( A 1A2A3A4 A 5) +P( A 1 A 2A3A4A5) ?2? ?1? 1 ?2?3 1 ?1?2 ?2?3 8 3 2 =?3? ×?3? + ×?3? × +?3? ×?3? = . 3 ? ? 3 ? ? ? ? 81 ? ? ? ? (3)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3).
由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6. ?1? 1 3 ? ? P(ξ=0)=P( A 1 A 2 A 3)= 3 = ; 27 ? ? P(ξ=1)=P(A1 A 2 A 3)+P( A 1A2 A 3)+P( A 1 A 2A3) 2 ?1?2 1 2 1 ?1?2 2 2 = ×?3? + × × +?3? × = ; 3 ? ? 3 3 3 ? ? 3 9

2 1 2 4 P(ξ=2)=P(A1 A 2A3)= × × = ; 3 3 3 27
P(ξ=3)=P(A1A2 A 3)+P( A 1A2A3) ?2? 1 1 ?2?2 8 2 =?3? × + ×?3? = ; 3 3 ? ? 27 ? ? ?2? 8 3 P(ξ=6)=P(A1A2A3)=?3? = . 27 ? ?
所以 ξ 的概率分布表是 ξ P 0 1 27 1 2 9 2 4 27 3 8 27 6 8 27

探究提高
(1)独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独 立地进行的一种试验.在这种试验中,每一次试验只有两种 结果,即某事件要么发生,要么不发生,并且任何一次试验 中发生的概率都是一样的. (2)二项分布满足的条件 ①每次试验中,事件发生的概率是相同的. ②各次试验中的事件是相互独立的. ③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生. ④随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数.

变式训练 3 甲、乙两人进行投篮比赛,两人各投 3 球,谁投进的球数多谁 4 1 获胜, 已知每次投篮甲投进的概率为 , 乙投进的概率为 , 求: 5 2
(1)甲投进 2 球且乙投进 1 球的概率; (2)在甲第一次投篮未投进的条件下,甲最终获胜的概率.
解 (1)甲投进 2 球的概率为 ? ? 48 2 ?4?2 1 C3· ·= , 5 ? ? 5 125

乙投进 1 球的概率为 ? ? 3 1 ?1?2 1 C3· ·= , ?2? 2 8

甲投进 2 球且乙投进 1 球的概率为 48 3 18 × = . 125 8 125
(2)在甲第一次投篮未进的条件下,甲获胜指甲后两投两进且乙三 投一进或零进(记为 A),或甲后两投一进且乙三投零进(记为 B),
2 ?4?2 ? 1 ?1?1 ?1?2 0?1?3? P(A)=C2· · C3· · +C3

? ? ? ?5? ?

? ? ? ? ?2? ?2?

? ? ? ?2? ?

16 1 8 = × = , 25 2 25

141 0 ?1?3 P(B)=C2··· C3·

? ?

9 故所求概率为 P(A+B)=P(A)+P(B)= . 25

55 ?2? 8 1 1 = × = , 25 8 25

方法与技巧
1.古典概型中,A 发生的条件下 B 发生的条件概率公式为 P?AB? n?AB? P(B|A)= = ,其中,在实际应用中 P(B|A)= P?A? n?A? n?AB? 是一种重要的求条件概率的方法. n?A? 2. 运用公式 P(AB)=P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件, 只有当事件 A、B 相互独立时,公式才成立. 3.在 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发生 k 次的概率为
k k P(X=k)=Cn p (1-p)n k,k=0,1,2,?,n,其中 p 是一次


k k 试验中该事件发生的概率.实际上,Cn p (1-p)n-k 正好是

二项式[(1-p)+p]n 的展开式中的第 k+1 项.

失误与防范
1.独立重复试验中,每一次试验只有两种结果,即某事件 要么发生,要么不发生,并且任何一次试验中某事件发 生的概率相等.注意恰好与至多 (少)的关系,灵活运用 对立事件. 2.二项分布要注意确定成功概率.


二项分布及其应用_图文.ppt

二项分布及其应用 - 本大节主要学了哪些内容? 1,条件概率 2,事件的相互独立

二项分布及其应用_图文.ppt

二项分布及其应用 - 二项分布及其应用 内容提纲 二项分布的概念及应用条件 二项

高三数学二项分布及其应用.doc

高三数学二项分布及其应用 - 高中数学总复习题组法教学案编写体例 §12.6 二项分布及其应用 新课标要求 理解 n 次独立重复试验的模型及二项分布,能进行一些与 ...

2.2二项分布及其应用--(7课时)_图文.ppt

2.2二项分布及其应用--(7课时)_数学_高中教育_教育专区。2.2 二项分布及其应用条件概率 2.2.1 问题提出 ? 1 ? 5730 p?? ? ?2? t 1.对于古典概型...

二项分布及其应用_图文.ppt

二项分布及其应用 - 二项分布及其应用 1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念

二项分布及其应用(教案).doc

二项分布及其应用(教案)_数学_高中教育_教育专区。二项分布及其应用 20130

二项分布及其应用.doc

二项分布及其应用 - 学案 67 二项分布及其应用 导学目标: 1.了解条件概率

二项分布及其应用题型总结.doc

二项分布及其应用题型总结 - 二项分布专题训练 一.选择题 1. 甲、 乙两人独

二项分布及其应用_图文.ppt

二项分布及其应用 - 二项分布及其应用 Binomial Distributio

二项分布及其应用20171014_图文.ppt

二项分布及其应用20171014 - 二项分布及其应用 内容提纲 ? ? ? ?

二项分布及其应用.doc

二项分布及其应用 - 个性化教案 二项分布及其应用 适用学科 适用区域 知识点

_二项分布及其应用.doc

_二项分布及其应用 - 二项分布及其应用 知识梳理 1.条件概率及其性质 P?A

二项分布及其应用_图文.ppt

二项分布及其应用 - 2.2 二项分布及其应用 条件概率 2.2.1 问题提出

1223二项分布及其应用(精)_图文.ppt

1223二项分布及其应用(精) - 第4课时 二项分布及其应用 1.条件概率的定

58.二项分布及其应用.doc

58.二项分布及其应用 - 数学导学案 班姓 级: 名: 高婷婷 课题: 条件概率 二项分布及其应用 编号: 58 时间: 第 2 周 命制人: 条件概率 二项分布及其...

高三二项分布及其应用(理)_图文.ppt

高三二项分布及其应用(理) - 第 十二 章 第七节 二项分布及其应用(理) 第

二项分布及其应用(1) - 副本.doc

二项分布及其应用(1) - 副本 - 二项分布及其应用(1) 教学目标 1.了解

《二项分布及其应用》教学设计.doc

二项分布及其应用》教学设计 - 《二项分布及其应用》教学设计(2) 教学目标:

二项分布及其应用_图文.ppt

二项分布及其应用 - 一轮复习讲义 二项分布及其应用 要点梳理 1.条件概率及其

12.4二项分布及其应用.doc

12.4二项分布及其应用 - 高三数学第一轮复习课课清练习含答案... 12.4二项分布及其应用_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学第一轮复习课课清练习含答案...