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平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(公开课教学设计)

时间:2018-07-01


2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
一、教学目标 1、掌握平面向量数量积的坐标表示 2、会用数量积的坐标表示向量的长度、角度以及垂 二、教学重点:平面向量数量积的坐标表示及几个公式 教学难点:用坐标法处理长度、角度、垂直问题 三、教学过程: 一、复习引入: 1、数量积的定义 2、2.两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量. 1? e?a = a?e =|a|cos?; 3? 2?

a?b ? a?b = 0

当 a 与 b 同向时,?b = |a||b|; a 与 b 反向时, ?b = ?|a||b|. a 当 a

特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a 4? cos? =
a ?b ;5?|a?b| ≤ |a||b| | a || b |

3.平面向量数量积的运算律 交换律:a ? b = b ? a 数乘结合律:( ? a)?b = ? (a?b) = a?( ? b) 分配律:(a + b)?c = a?c + b?c

二、讲解新课: 1、平面两向量数量积的坐标表示 向量的坐标表示为我们解决有关向量的加、减、乘方运算带来方便, 那么坐标表示对数量积运算又带来哪些变化? 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,试用 a 和 b 的坐标表示 a ? b . 设 i 是 x 轴上的单位向量, j 是 y 轴上的单位向量,那么 a ? x1i ? y1 j ,
b ? x2 i ? y 2 j

所以 a ? b ? ( x1i ? y1 j )(x2i ? y2 j ) ? x1 x2i 2 ? x1 y2i ? j ? x2 y1i ? j ? y1 y2 j 2 又 i ? i ? 1 , j ? j ? 1 , i ? j ? j ? i ? 0 ,所以 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 这就是说:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即
a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

由 a ? b ? a b cos? 出发, a , b 可以用坐标表示,那么 a , b 能否用坐 标表示呢? cos ? 呢? 2、 平面内两点间的距离公式 一、 设 a ? ( x, y) ,则 | a |2 ? x 2 ? y 2 或 | a |? x 2 ? y 2 . (2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、
( x2 , y2 ) ,那么 | a |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)

? ?

? ?

?

?

?

?

3、向量垂直的判定 设
a ? ( x1 , y1 )



b ? ( x2 , y 2 )





a?b

? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

4、两向量夹角的余弦( 0 ? ? ? ? ) cos? = 三、例题讲解 例 1 设 a = (-3, 4),b = (5, 2),求 a·b 及 a、b 间的夹角θ 例 2 已知 A(1, 2),B(2, 3),CI(?2, 5),试判断△ABC 的形状, 并给出证明. 例 3 设 a ? 12, b ? 9 , a ?b ? 54 2 ,求夹角 四、巩固练习 完成导学案 1、2、3 五、课堂小结 完成表格 字母表示
? ? a ?b
a ?b ? | a |?| b |
x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2
2

2

?

?

? ?

坐标表示

? a
cos ?

六、布置作业

1、学考对接对应练习 1、2、3 2、巩固提高 1、4、6 七、教学反思 本节课知识目标非常明确,即关于平面向量数量积的坐标表示以 及用坐标法来研究向量的夹角,模等问题.为了实现此目标,我首先和 同学们一起回顾了平面向量基本定理,向量运算的一些性质,这为数 量积坐标运算的推导作好了铺垫.知识目标达成后,设置了一些习题 例题,有梯度,针对性很强.应该说,通过本节课的教学,学生的知识目 标达成是非常好的.


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