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对数与对数运算学生版

时间:2015-09-15


2.2.1 对数与对数运算 1.对数的概念 (1)定义: 一般地, 如果 ax=N(a>0, 且 a≠1), 那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数, 记作 x=logaN, 其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 释疑点 在对数 logaN 中规定 a>0,且 a≠1,N>0 的原因 (1)若 a<0,则 N 为某些数值时,x 不存在,如式子(-3)x=4 没有实数解,所以 log(-3)4 不存 在,因此规定 a 不能小于 0; (2)若 a=0,且 N≠0 时,logaN 不存在;N=0 时,loga0 有无数个值,不能确定,因此规定 a ≠0,N≠0; (3)若 a=1,且 N≠1 时,x 不存在;而 a=1,N=1 时,x 可以为任何实数,不能确定,因此 规定 a≠1; (4)由 ax=N,a>0 知 N 恒大于 0. (2)特殊对数 名称 记法 说明 常用对数 lg N 以 10 为底的对数,并把 log10N 记为 lg N 以 e(e=2.718 28?)为底的对数称为自然对数,并 自然对数 ln N 把 logeN 记为 ln N (3)对数的性质 根据对数的概念,对数 logaN(a>0,且 a≠1)具有以下性质: 性质 说明 当 a>0,且 a≠1 时,ax>0,即 N= 零和负数没有对数,即 N>0 ax>0,所以对数 logaN 只有在 N>0 时才有意义 0 1 的对数等于 0,即 loga1=0 因为 a =1, 由对数的定义得 0=loga1 1 底的对数等于 1,即 logaa=1 因为 a =a, 由对数的定义得 1=logaa (4)对数与指数的互化关系 当 a>0,且 a≠1 时.如图所示:

比如:43=64 ? 3=log464;log525=2 ? 52=25;以前无法解的方程 2x=3,学习了对数后就 可以解得 x=log23. 谈重点 对指数与对数的互化关系的理解 (1)由指数式 ab=N 可以写成 logaN=b(a>0,且 a ≠1),这是指数式与对数式互化的依据.从对数定义可知,对数式与指数式是同一种数量关系的两 种不同表达形式.其关系如下表: 式子 指数式 ax=N 对数式 logaN= 名称 意义

a
底数 底数

x
指数 对数

N
幂 真数

a 的 x 次幂等于 N
以 a 为底 N 的对数等于 x

x

(2)根据指数与对数的互化关系,可以得到恒等式 a loga N=N . 指数与对数的互化是解决指数式和对数式有关问题的有效手段. 【例 1-1】下列指数式与对数式的互化中,不正确的一组是( ) 0 A.10 =1 与 lg 1=0 1 ? 1 1 1 B. 27 3 ? 与 log 27 = ? 3 3 3
1

C.log39=2 与 9 2 =3 D.log55=1 与 51=5 【例 1-2】完成下表指数式与对数式的转换. 题号 指数式 对数式 3 (1) 10 =1 000 (2) log210=x 3 (3) e =x 【例 1-3】求下列各式中 x 的值: (1)log2(log5x)=0;(2)log3(lg x)=1; 3 (3)logx27= ;(4)x=log84. 4

2.对数的运算性质 (1)对数的运算性质 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: ①loga(M·N)=logaM+logaN; M ② log a =logaM-logaN; N ③logaMn=nlogaM(n ? R). 谈重点 对对数的运算性质的理解 (1)对应每一条运算性质,都要注意只有当式子中所有的 对数符号都有意义时,等式才成立,如 log2[(-3)·(-5)]=log2(-3)+log2(-5)是错误的. (2)巧记对数的运算性质:①两个正数的积的对数等于这两个正数的对数的积;②两个正数的 商的对数等于这两个正数的对数的差;③正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数. (2)对数的运算法则与指数的运算法则的联系 式 ab=N logaN=b 子 loga(MN)=logaM+ am·an=am+n 运 logaN 算 m M a m-n =logaM-logaN log 性 = a a n N a 质 (am)n=amn logaMn=nlogaM 谈重点 对数运算性质推导的基本方法 利用对数的定义将对数问题转化为指数问题,再利用幂的运算性质,进行转化变形,然后把它 还原为对数问题.如“loga(MN)=logaM+logaN”的推导:设 logaM=m,logaN=n,则 am=M,an=N, 于是 MN=am·an=am+n,因此 loga(MN)=logaM+logaN=m+n.

【例 2-1】若 a>0,且 a≠1,x>y>0,n ? N*,则下列各式: ①logax·logay=loga(x+y);②logax-logay=loga(x-y); log a x x ③loga(xy)=logax·logay;④ ? log a ; log a y y 1 ⑤(logax)n=logaxn;⑥ log a x ? ? log a ; x log a x ⑦ ? log a n x . n 其中式子成立的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【例 2-2】计算:(1)2log122+log123;(2)lg 500-lg 5; (3)已知 lg 2=0.301 0,lg 3=0.477 1,求 lg 45 .

析规律 对数的运算性质的作用 (1)利用对数的运算性质,可以把乘、除、乘方、开方的运 算转化为对数的加、减、乘、除运算,反之亦然,这种运算的互化可简化计算;(2)由于 lg 2+lg 5=lg 10=1,所以 lg 5=1-lg 2,这是在对数运算中经常用到的结论. 3.换底公式 log c b (1)公式 logab= (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1,b>0). log c a (2)公式推导: log c b x 设 ? x ,则 logcb=xlogca=logca , log c a log c b ∴b=ax.∴x=logab.∴ =logab. log c a (3)公式的作用 lg N 换底公式的作用在于把以 a 为底的对数,换成了以 c 为底的对数,特别有: log a N ? , lg a ln N ,利用它及常用对数表、自然对数表便可求任一个对数的值. log a N ? ln a n (4)换底公式的三个推论:① log am N n ? log a N (a,N>0,且 a≠1,m≠0,m,n? R);②logab m 1 = (a,b>0,且 a,b≠1);③logab·logbc·logcd=logad(a,b,c>0,且 a,b,c≠1,d log b a >0). log a N n n log a N n log b b 1 n ? ? log a N .②logab= 证明:①logamN = . ? m log a a m m log b a log b a

③logab·logbc·logcd= 【例 3-1】 A.
2 3

lg b lg c lg d lg d =logad. ? ? ? lg a lg b lg c lg a

log8 9 的值是( ) log 2 3 3 B. C.1 2

D.2 )

【例 3-2】若 log34·log48·log8m=log416,则 m 等于( 1 A. B.9 C.18 D.27 2

4.对数定义中隐含条件的应用 根据对数的定义,对数符号 logaN 中实数 a 和 N 满足的条件是底数 a 是不等于 1 的正实数,真 ? N >0, ? 数 N 是正实数,即 ?a >0, ?a ? 1, ? 因此讨论对数问题时,首先要注意对数的底数和真数满足的隐含条件. 对数概念比较难理解,对数符号初学时不太好掌握,学习时要抓住对数与指数相互联系,深刻 理解对数与指数之间的关系,将有助于掌握对数的概念. 【例 4-1】已知对数 log(1-a)(a+2)有意义,则实数 a 的取值范围是__________. 【例 4-2】若 log(1-x)(1+x)2=1,则 x=__________. 5.对数的化简、求值问题 应用对数的定义、有关性质及运算法则等可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、 减、乘、除运算,反之亦然,这种运算的互化可简化计算过程,加快计算速度. (1)同底数的对数式的化简、求值 一是“拆” ,将积、商的对数拆成对数的和、差. 9 如 log 3 +log35=log39-log35+log35=log39=2. 5 二是“收” ,将同底数的对数和、差合成积、商的对数. 9 ?9 ? 如, log 3 +log35= log 3 ? ? 5 ? =log39=2. 5 ?5 ? 三是“拆”与“收”相结合. (2)不同底数的对数式的化简、求值 常用方法是利用换底公式,转化为同底数的对数式,进而进行化简,化简后再将底数统一进行 计算.也可以在方向还不清楚的情况下,统一将不同的底换为常用对数等,再进行化简、求值. 对数式的化简、求值,要灵活运用对数的性质、运算性质、换底公式和一些常见的结论,如 loga1=0,logaa=1,alogaN=N,lg 2+lg 5=1,logab·logba=1 等.

【例 5-1】化简求值: log 5 2 ? log 49 81 1 (1)4lg 2+3lg 5- lg ;(2) ; 1 5 3 log 25 ? log 7 4 3 32 (3)2log32- log 3 +log38- 5log5 3 ;(4)log2(1+ 2 + 3 )+log2(1+ 2 - 3 ). 9

【例 5-2】计算:(log43+log83)(log32+log92)- log 1 4 32 .
2

6.条件求值问题 对于带有附加条件的与对数式有关的求值问题, 如果附加条件比较复杂, 则需先对其进行变形、 化简,并充分利用其最简结果解决问题. 23 x ? 2?3 x 1 例如:设 x=log23,求 x 的值时,我们可由 x=log23,求出 2x=3,2-x= ,然后将它 ?x 2 ?2 3 3 ?1? 33 ? ? ? 3x ?3 x 3x ?3 x 2 ?2 2 ?2 ? 3 ? ? 91 . ? 们代入 x ,可得 x ?x ?x 1 2 ?2 9 2 ?2 3? 3 2 1 【例 6】已知 3a=4b=36,求 ? 的值. a b

析规律 与对数式有关的求值问题的解决方法 (1)注意指数式与对数式的互化,有些需要将 对数式化为指数式, 而有些需要将指数式化为对数式; (2)注意换底公式与对数的运算性质的应用, 解题时应全方位、多角度地思考,注意已知条件和所求式子的前后照应. 7.利用已知对数表示其他对数 (1)换底公式的作用是将不同底的对数式转化成同底的对数式,将一般对数转化成自然对数或 常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. (2)用对数 logax 和 logby 等表示其他对数时,首先仔细观察 a,b 和所要表示的对数底数的关 系,利用换底公式把所要表示的对数底数换为 a,b.解决此类题目时,通常用到对数的运算性质 和换底公式.

对数的运算性质总结: 如果 a>0,且 a≠1,M>0,N>0,那么: loga(M·N)=logaM+logaN; M =logaM-logaN; log a N logaMn=nlogaM(n ? R). log c b 换底公式:logab= (a>0,且 a≠1;c>0,且 c≠1;b>0). log c a (3)题目中有指数式和对数式时,要注意将指数式与对数式进行互化,统一成一种形式. 【例 7-1】已知 lg 2=a,lg 3=b,则 log36=( ) a?b a?b a b A. B. C. D. a b a?b a?b 【例 7-2】已知 log189=a,18b=5,求 log3645(用 a,b 表示).

8.与对数有关的方程的求解问题 关于对数的方程有三类: 第一类是形如关于 x 的方程 logaf(x)=b,通常将其化为指数式 f(x)=ab,这样解关于 x 的方 15 ? 2 ? 程 f(x) = ab 即可,最后要注意验根.例如:解方程 log 64 ? x ? ? ? ? ,将其化为指数式为 16 ? 3 ?
2 2 2 ? ? ? 15 1 15 1 ? 64 3 ,又 64 3 ? (43 ) 3 ? 4?2 ? ,则 x ? ? ,所以 x=1,经检验 x=1 是原方程的根. 16 16 16 16 第二类是形如关于 x 的方程 logf(x)n=b,通常将其化为指数式 fb(x)=n,这样解关于 x 的方程 fb(x)=n 即可,最后要注意验根.例如,解方程 log(1-x)4=2,将其化为指数式为(1-x)2=4,解得 x=3 或 x=-1,经检验 x=3 是增根,原方程的根是 x=-1. 第三类是形如关于 x 的方程 f(logax)=0,通常利用换元法,设 logax=t,转化为解方程 f(t) =0 得 t=p 的值,再解方程 logax=p,化为指数式则 x=ap,最后要注意验根. x 【例 8-1】已知 lg x+lg y=2lg(x-2y),求 log 2 的值. y

x?

【例 8-2】解方程 lg2x-lg x2-3=0.

9.对数运算的实际应用 对数运算在实际生产和科学技术中运用广泛, 其运用问题大致可分为两类: 一类是已知对数应 用模型(公式),在此基础上进行一些实际求值.计算时要注意利用“指、对互化”把对数式化成指 数式. 另一类是先建立指数函数应用模型, 再进行指数求值, 此时往往将等式两边进行取对数运算.

【例 9】抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内的空气少于原来的 0.1%,则至少要抽 几次?(lg 2≈0.301 0)


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