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人教A版高中数学必修二课件2.2.1-2.2.2直线与平面、平面与平面平行的判定1_图文

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高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)

2.2.1直线与平面平行的判定 2.2.2平面与平面平行的判定

? 1.理解直线与平面平行、平面与平面 平行的判定定理的含义.
? 2.会用图形语言、文字语言、符号语 言准确描述直线与平面平行、平面与平 面平行的判定定理,并知道其地位和作 用.
? 3.能运用直线与平面平行的判定定理、 平面与平面平行的判定定理证明一些空 间线面关系的简单问题.

? 这是一对明清时期的红木柜子,做工相当 精细,展示了当时我国高超的家具制作水 平.专家在评价这种柜子的做工时,通常 会考察两个方面:上下两底面是否平行; 在拉开柜子门的过程中,柜子门的边框和 柜子的表面是否平行.那么,你是否考虑 过,在数学上线面平行与面面平行是如何 判断的.本节,我们就一起研究一下.

? 1.直线与平面平行的判定

类型

文字语言

图形语言 符号语言

直线与 平
面平行

如果平面外的
一条直线与 的一条直线这个平平行面,内

则该直线与平面

平行

_________

_

若l?α,a?α,
l∥a,则l∥α

2.平面与平面平行的判定

类型 文字语言

一个平面内的

平面与
平面平 行

两相条交直线
与中另一个平面 平行,则这两 个平面平行

图形语言
_________ __

符号语言
a?α,b?α,
a∩b=P,a∥β, b∥β,则α∥β

? 探究1:命题“a∥b,a∥α,则b∥α”是
真命题吗?
? 提示:假命题,有可能b?α.

? 探究2:过平面外一点作直线与已知平面平 行,这样的直线能作几条?能做多少个平 面与已知平面平行呢?
? 提示:过平面外一点可作无数条直线与已 知平面平行,而过平面外一点只能做一个 平面与已知平面平行.

? 典例求证:经过平面外一点A,有且只有 一个平面与已知平面平行.
? 【错解】 过A点引两条直线a,b使a∥α, b∥α,
? ∵a∩b=A,∴a,b两条直线确定一个平 面β.
? 且β∥α,∴过A点存在平面β使β∥α.

? 【错因分析】 “有且只有”要理解准确, 首先要证明平面是存在的,其次要证是 惟一的,缺一不可,上面解法只证明了 存在性,没证明惟一.

? 【正解】 过点A引两直线a、b使a∥α,b∥α, ? ∵a∩b=A,∴a、b两直线确定一个平面β且β∥α, ? 即过点A存在平面β∥α. ? 假设过点A还存在一平面γ使得γ∥α. ? 则由平行平面的传递性可推得γ∥β,
? 这与A∈γ,且A∈β相矛盾, ? 故这样的平面惟一存在.

? 易错补练 已知a、b是两条异面直线,求 证:过b有且只有一个平面与a平行.
? 证明:存在性:在直线b上任取一点A,过A
作直线a′∥a,则a′与b相交,它们确定一个
平面,记为α.
? ∵a∥a′,a′?α,a?α(若a?α,则与a、b异
面相矛盾),
? ∴a∥α.因此过b存在一个平面α与a平行.

? 惟一性:如果平面β也是过b且与a平行的平 面,
? 过a和A点作一平面γ, ? 设γ∩β=a′′.则a′′过A且平行于a, ? ∵a′也是过A且平行于a,∴a′′与a′重合. ? 即平面β也是由b和a′所确定的平面.∴β与α
重合.
? 综上所述,过b有且只有一个平面与直线a 平行.

? 1.用判定定理判断直线a和平面α平行时, 必须具备三个条件:①直线a在平面α外, 即a?α;②直线b在平面α内,即b?α;③
两直线a,b平行,即a∥b.

? 这三个条件缺一不可,如缺条件③,直 线a就不一定和平面α平行,它们的位置 关系分两种:直线a平行平面α,直线a 和平面a相交.

? 2.直线与平面的判定定理
? 该定理的作用:证明线面平行转化为证明 线线平行.
? 应用时,只需在平面内找到一条直线与已 知直线平行即可.

? 3.平面与平面平行的判定定理告诉我们, 可以通过直线与平面平行来证明平面与平
面平行.通常我们将其记为:线面平行, 则面面平行.因此处理面面平行(即空间问 题)转化为处理线面平行,进一步转化为处 理线线问题(即平面问题)来解决,以后证明 平面与平面平行,只要在一个平面内找到 两条相交直线和另一个平面平行即可.

? 4.一个平面内有两条(或无数条)直线平行 于另一个平面,则这两个平面平行或相交, 其原因是这两条直线还可能不相交,不满 足平面与平面平行的判定定理的条件之一 必须是一个平面内的两条相交直线.

? 5.判定两个平面平行的方法有:
? (1)根据定义:如果两个平面没有公共点, 那么这两个平面平行,而判断这两个平面 没有公共点,通常用反证法.
? (2)利用判定定理.
? (3)平行于同一个平面的两个平面互相平 行.

? 两平面平行问题通常转化为线面平行, 而线面平行又可转化为线线平行,所以 要注意转化思想的应用.

? 1.下列说法中正确的是( )
? ①若直线a∥b,b?平面α,则a∥α ? ②若a∥α,b?α,则a∥b ? ③若直线a∥b,a∥平面α,则b∥α ? ④若直线a∥α,b∥α,则a∥b

? A.①④

B.①③

? C.②D.无一正确

? 解析:对于①,a可能在α内;对于②,a与
b平行或异面;对于③,b?α或b∥α;对于
④,a与b可能平行,可能相交,也可能异 面.

? 答案:D

? 2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下面四 条直线中与平面AB1C平行的直线是( )
? A.DD1B.A1D1 ? C.C1D1D.A1C1

? 解析:由于A1C1∥AC,根据直线与平面 平行的判定定理知,A1C1∥平面AB1C.
? 答案:D

? 3.经过平面α外两点,作与α平行的平面, 则这样的平面可以作( )
? A.1个或2个B.0个或1个
? C.1个D.0个

? 解析:当两点的连线与α相交时,满足条件 的平面不存在;当两点的连线与α平行时, 满足条件的平面有且只有一个.
? 答案:B

? 4.已知空间四边形ABCD,P,Q分别是 △ABC和△BCD的重心.
? 求证:PQ∥平面ACD.

? 证明:欲证线面平行,须证线线平行,即 要证明PQ与平面ACD中的某条直线平行,
根据条件,此直线为AD,如图所示.

? 取BC的中点E.
? ∵P是△ABC的重心,连结AE,∴AE∶PE =3∶1.连结DE.
? 又∵Q为△BCD的重心,∴DE∶QE=3∶1,
? ∴在△AED中,PQ∥AD.
? 又∵AD?平面ACD,PQ?平面ACD,
∴PQ∥平面ACD.

? 5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,M、N、P分别是C1C、B1C1、D1C1的中
点.求证:平面MNP∥平面A1BD.

? 证明:如图,连接B1C.

? ∵CD綊A1B1,
? ∴四边形A1B1CD是平行四边形.
? ∴B1C∥A1D. ? 又M、N是C1C、B1C1的中点,∴MN∥B1C. ? ∴MN∥A1D1

? ∴MN∥平面A1BD. ? 同理,可证PM∥平面A1BD.
? 又MN?平面MNP,PM?平面MNP, MN∩PM=M,
? ∴平面MNP∥平面A1BD.


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