nbhkdz.com冰点文库

广东省梅州市2015届高三3月总复习质检(一模)数学理试题 Word版含解析

时间:2017-03-31


2015 年广东省梅州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1. (5 分)设全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,4},B={3,4,5},则图中的阴影 部分表示的集合为( )

A. {5} B. {4} C. {1,2} D. {3,5} 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解答】 : Venn 图表达集合的关系及运算. 计算题. 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUA)∩B,根据集合的运算求解即可. 解:全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={1,2,4},B={3,4,5},

由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(CUA)∩B, ∵CUA={3,5,6}, ∴(CUA)∩B={3,5}. 故选 D. 【点评】 : 本题考查的知识点是 Venn 图表达集合的关系及运算,其中正确理解阴影部分元素 满足的性质是解答本题的关键. 2. (5 分)i 是虚数单位,若 z(i+1)=i,则|z|等于( A. 1 B. C. D. )

【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解答】 : ∴z= ∴|z|= = .

复数求模;复数代数形式的乘除运算. 计算题. 利用复数的代数形式的乘除运算可求得 z,再求模即可. 解:∵z(i+1)=i, = ,

故选 C. 【点评】 : 本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的求模,属于基础题. 3. (5 分)下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是( 3 A. y=x+1 B. y=tanx C. y=log2x D. y=x 【考点】 : 函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】 : 函数的性质及应用. )

【分析】 : 根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可. 【解答】 : 解:A.函数的定义域为 R,若函数为奇函数,则当 x=0 时,y=1≠0,故 A 不是奇 函数. B.y=tanx 是奇函数,在定义域上不是单调函数. C.函数的定义域为(0,+∞) ,则函数为非奇非偶函数. 3 D.y=x 是奇函数,在定义域上单调递增函数,满足条件. . 故选:D 【点评】 : 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断,要求熟练掌握常见函数奇偶性和单调 性的性质,比较基础.

4. (5 分)已知实数 x,y 满足

,则 x+y 的最小值为(



A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【考点】 : 简单线性规划. 【专题】 : 不等式的解法及应用. 【分析】 : 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最大值.

【解答】 : 解:作出不等式

对应的平面区域,

由 z=x+y,得 y=﹣x+z, 平移直线 y=﹣x+z,由图象可知当直线 y=﹣x+z 经过点 A 时,直线 y=﹣x+z 的截距最小,此 时 z 最小. 由 ,得 ,

即 A(1,1) , 此时 z 的最小值为 z=1+1=2, 故选:A.

【点评】 : 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 5. (5 分)对任意非零实数 a,b,若 a?b 的运算法则如图的框图所示,则 4?(lg100)的值 等于( )

A.

B.

C.

D.

【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 图表型;算法和程序框图. 【分析】 : 根据 a?b 的运算原理知,a=4,b=2,通过程序框图知须执行 解. 【解答】 : 解:由题意知,a=4,b=2; 再由程序框图得,4≤2 不成立, 故执行 , = . ,故把值代入求

得到 4?lg100=4?2= 故答案为: .

【点评】 : 本题考查了根据程序框图求值,利用给出的新的运算法则,通过条件结构的条件 判断应该执行那条路径,再代入数值求解,属于基础题. 6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积等于( )

A. 30 B. 12 C. 24 D. 4 【考点】 : 由三视图求面积、体积. 【专题】 : 计算题;空间位置关系与距离. 【分析】 : 三视图复原的几何体是三棱柱去掉一个三棱锥的几何体,结合三视图的数据,求 出体积即可 【解答】 : 解:由三视图知,几何体是某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体,几何体是底 面为边长为 3,4,5 的三角形,高为 5 的三棱柱被平面截得的, 如图所示, 所以几何体的体积为: 故选:C. =24.

【点评】 : 本题考查三视图的识别以及多面体的体积问题.根据三视图得出几何体的形状及 长度关系是解决问题的关键.

7. (5 分)动圆 M 经过双曲线 x ﹣

2

=1 的左焦点且与直线 x=2 相切,则圆心 M 的轨迹方程

是( ) 2 2 2 2 A. y =8x B. y =﹣8x C. y =4x D. y =﹣4x 【考点】 : 双曲线的简单性质. 【专题】 : 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 求出双曲线的左焦点(﹣2,0) ,设 M(x,y) ,动圆的半径为 r,运用直线和圆相 切的条件 d=r,以及圆的半径的定义,列出方程,化简即可得到 M 的轨迹方程. 【解答】 : 解:双曲线 x ﹣
2

=1 的左焦点为(﹣2,0) ,

设 M(x,y) ,动圆的半径为 r, 由动圆 M 与直线 x=2 相切,可得|x﹣2|=r, 又动圆 M 经过双曲线的左焦点, 则 即有 =r, =|x﹣2|,

两边平方,化简可得 y =﹣8x. 故选 B. 【点评】 : 本题考查双曲线的方程和性质,主要考查轨迹方程的求法:直接法,运用直线和 圆相切的条件和圆的定义是解题的关键,考查化简的运算能力,属于基础题. 8. (5 分)在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”,类似的,我们 在平面向量集 D={ | =(x,y) ,x∈R,y∈R}上也可以定义一个称“序”的关系,记为“>>”.定 义如下:对于任意两个向量 =(x1,y1) , =(x2,y2) ,“ >> ”当且仅当“x1>x2”或

2

“x1=x2 且 y1>y2”.按上述定义的关系“>>”,给出如下四个命题: ①若 ②若 ③若 =(1,0) , >> >> , =(0,1) , =(0,0) ,则 >> ,则 >> ; + ; ,则 ? > ? . >> >> ;

,则对于任意 ∈D,

+ >> >>

④对于任意向量 >> , =(0,0) ,若 其中正确命题的个数为( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【考点】 : 进行简单的合情推理. 【专题】 : 推理和证明.

【分析】 : 根据题目中“>>”关系的定义,抓住判断的关键“x1>x2”或“x1=x2 且 y1>y2”,判断 4 个命题是否成立,从而得到本题结论. 【解答】 : 解:由定义:对于任意两个向量 仅当“x1>x2”或“x1=x2 且 y1>y2”. 可知: ①当 =(1,0) , =(0,1) , =(0,0)时, =(x1,y1) , =(x2,y2) ,“ >> ”当且

y1=0,y2=1,0<1, ∴y1<y2, 不符合条件,故 命题①不正确; ②若 >> , >> 时, >> 不成立,

x1≥x2,y1>y2,x2≥x3,y2>y3, ∴x1≥x3,y1>y3. ∴ >> ,

∴命题②正确;

③设 ∵ >> ,







∴x1≥x2,y1>y2, ∴x1+x≥x2+x,y1+y>y2+y, ∴ + >> + ,

∴命题③正确; ④设 , , ,

∵ >> , =(0,0) , ∴x≥0,y>0. ∵ >> ,

∴x1≥x2,y1>y2, ∴x1x≥x2x,y1y>y2y. ∴x1x+y1y>x2x+y2y, ∵ ? =x1x+y1y, ? =x2x+y2y, ∴ ? > ? .

∴命题④正确. 故正确的命题有:②③④.共 3 个. 故选:C. 【点评】 : 本题考查新定义的应用和基本不等关系,本题有一定的新颖性,计算难度不大, 属于基础题. 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 25 分. (一)必做题(9~ 13 题) 9. (5 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=
2



【考点】 : 等比数列的通项公式. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : 根据题意和等比数列的通项公式,列出关于 q 的方程,先求出 q,再求出 a1 的值. 【解答】 : 解:由题意设等比数列{an}的公比为 q,且 q>0, 2 7 3 2 因为且 a3?a9=2a5 ,a2=1,所以 q?q =2(q ) , 2 化简得 q =2,即 q= , 由 a2=a1q=1 得,a1= = ,

故答案为:



【点评】 : 本题考查等比数列的通项公式,以及方程思想,属于基础题. 10. (5 分) 已知 a, b, c 分别是△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边, 若 a=1, b= 则 sinA= . , A+C=2B,

【考点】 : 正弦定理. 【专题】 : 三角函数的求值. 【分析】 : 依题意,易求 B= ,利用正弦定理 = 即可求得答案.

【解答】 : 解:∵△ABC 中,A+B+C=π,A+C=2B, ∴3B=π,B= 又 a=1,b= ∴由正弦定理 故答案为: . 【点评】 : 本题考查正弦定理的应用,求得 B= 是基础,考查运算求解能力,属于中档题. ; , = 得:sinA= = = ,

11. (5 分)以 F1(﹣1,0) 、F2(1,0)为焦点,且经过点 M(1,﹣ )的椭圆的标准方程





【考点】 : 椭圆的标准方程. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 首先设出椭圆的标准方程 式,解方程即可. 【解答】 : 解:设椭圆 E 的方程为 ∵c=1, 2 2 ∴a ﹣b =1①, ∵点(1, )在椭圆 E 上, (a>b>0) . ,然后根据题意,求出 a、b 满足的 2 个关系



②,
2 2

由①、②得:a =4,b =3, ∴椭圆 E 的方程为: .

故答案为:



【点评】 : 本题应用了求椭圆标准方程的常规做法:待定系数法,熟练掌握椭圆的几何性质 是解题的关键,同时考查了学生的基本运算能力与运算技巧.属基础题. 12. (5 分) (2013?四川)二项式(x+y) 的展开式中,含 x y 的项的系数是 10 (用数字 作答) . 【考点】 : 二项式系数的性质. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 利用二项式 (x+y) 的展开式的通项公式 Tr+1=
5 5 5 2 3

x

5﹣r

?y , 结合题意即可求得答案.

r

【解答】 : 解:设二项式(x+y) 的展开式的通项公式为 Tr+1, 则 Tr+1= 令 r=3, 则含 x y 的项的系数是
2 3

x

5﹣r

?y ,

r

=10.

故答案为:10. 【点评】 : 本题考查二项式系数的性质,着重考查二项展开式的通项公式的应用,考查分析 与运算能力,属于中档题. 13. (5 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+a ﹣1,若关于 x 的不等式 f(f(x) )<0 的解集为空集, 则实数 a 的取值范围是 a<﹣2 . 【考点】 : 其他不等式的解法. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 由 f(x)<0 解得 a﹣1<x<a+1,不等式 f(f(x) )<0?a﹣1<f(x)<a+1,原 不等式的解集为空集,得到 a﹣1<f(x)<a+1 解集为空集,那么(a﹣1,a+1)与值域的交 集为空集,求出 a 的范围. 2 2 2 【解答】 : 解:f(x)=x ﹣2ax+a ﹣1=x ﹣2ax+(a﹣1) (a+1)=[x﹣(a﹣1)][x﹣(a+1)] 由 f(x)<0 即[x﹣(a﹣1)][x﹣(a+1)]<0 解得 a﹣1<x<a+1, 那么不等式 f(f(x) )<0?a﹣1<f(x)<a+1 (*) 2 又 f(x)=(x﹣a) ﹣1 当 x=a 时,f(x)取得最小值﹣1
2 2

即函数的值域为[﹣1,+∞) 若原不等式的解集为空集,则(*)的解集为空集, 那么(a﹣1,a+1)与值域的交集为空集 所以 a+1≤﹣1 所以 a≤﹣2. 故答案为:a≤﹣2. 【点评】 : 本题考查了由一元二次不等式的解集求 参数的范围,属于中档题. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 【坐标系与参数方程】 14. (5 分) (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 ﹣4ρsinθ=3 的距离为 1 . 到直线 l:3ρcosθ

【考点】 : 简单曲线的极坐标方程;点到直线的距离公式. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 化点、直线的极坐标为直角坐标,利用点到直线的距离公式,我们可以得到结论. 【解答】 : 解:点 的直角坐标为(0,﹣2)

直线 l:3ρcosθ﹣4ρsinθ=3 的直角坐标方程为:3x﹣4y﹣3=0 利用点到直线的距离公式可得: 故答案为:1 【点评】 : 极坐标中的问题,通常是转化为直角坐标,进行解决,掌握转化公式是解决这类 问题的关键. 【几何证明选讲选做题】 15. (几何证明选做题) 如图, 已知圆中两条弦 AB 与 CD 相交于点 F, E 是 AB 延长线上一点, 且 DF=CF= ,AF:FB:BE=4:2:1,若 CE 与圆相切,则线段 CE 的长为 .

【考点】 : 与圆有关的比例线段. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 设出 AF=4k,BF=2k,BE=k,由 DF?FC=AF?BF 求出 k 的值,利用切割定理求出 CE. 【解答】 : 解:设 AF=4k,BF=2k,BE=k,由 DF?FC=AF?BF,得 2=8k ,即 k= .
2

∴AF=2,BF=1,BE= ,AE= ; 由切割定理得 CE =BE?EA= × = . ∴CE= . .
2

故答案为:

【点评】 : 本题是基础题,考查直线与圆的位置关系,考查计算能力,基本知识掌握的情况, 是常考题型. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知 f(x)=Asin(ωx+φ)+1(x∈R,A>0,ω>0,0<φ< 且图象上的一个最低点为 M( (1)求 f(x)的解析式; (2)已知 f( )= ,α∈[0,π],求 cosα 的值. ,﹣1) . )的周期开为 π,

【考点】 : 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;同角三角函数基本关系的运用;正 弦函数的图象. 【专题】 : 三角函数的图像与性质. 【分析】 : (1)由 f(x)=Asin(ωx+φ)+1 的周期为 π,求出 ω,再由 f(x)图象有一个最 低点 M( (2) 把( f ,﹣1)列式求得 φ,则三角函数的解析式可求; ) = 代入函数解析式, 求得 , 结合 α 的范围求得 cos ( )

的值,然后由两角差的余弦得答案. 【解答】 : 解: (1)由 f(x)=Asin(ωx+φ)+1 的周期为 π, 则有 ,得 ω=2.

∴f(x)=Asin(2x+φ)+1, ∵函数图象有一个最低点 M( ∴A=2,且 则有 解得:φ= ∵0<φ< , φ= , , ,﹣1) ,A>0, ,

∴φ=

, )+1;

∴f(x)=2sin(2x+

(2)由 f( ∵0≤α≤π, ∴ 又 ∴ ∴ =

)= ,得

,得



, , .



【点评】 : 本题考查了利用三角函数的部分图象求函数解析式,考查了同角三角函数基本关 系式的应用,考查了已知三角函数值求其它三角函数的值,是中档题. 17. (12 分)某校从参加某次知识竞赛的同学中,选取 60 名同学将其成绩(百分制) (均为整 数)分成 6 组后,得到部分频率分布直方图(如图) ,观察图形中的信息,回答下列问题. (Ⅰ)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (Ⅱ)从频率分布直方图中,估计本次考试的平均分; (Ⅲ)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70,100]记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,求 X 的分布列和数学期望.

【考点】 : 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;离散型随机变量及其分布列. 【专题】 : 计算题;图表型. 【分析】 : (I)由题意及频率分布直方图,设分数在[70,80)内的频率为 x,建立方程解出 即可; (II)有图及平均数的定义即可求估计本次考试的平均分;

(III)由题意若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70, 100]记 1 分,用 X 表示抽取结束后的总记分,得到 X 的分布列,在有期望的定义即可求得. 【解答】 : 解: (Ⅰ)设分数在[70,80)内的频率为 x,根据频率分布直方图,则有 (0.01+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可得 x=0.3, 所以频率分布直方图如图所示.

(Ⅱ)平均分为: (Ⅲ)学生成绩在[40,70)的有 0.4×60=24 人, 在[70,100]的有 0.6×60=36 人,并且 X 的可能取值是 0,1,2.所以 X 的分布列为: .

∴EX=0×

+1×

+2×

=

= .

【点评】 : 此题考查了学生识图的能力,还考查了统计中的平均数的定义及离散型随机变量 的分布列及期望的定义. 18. (14 分)如图,△ABC 是等腰直角三角形∠ACB=90°,AC=2a,D,E 分别为 AC,AB 的 中点,沿 DE 将△ADE 折起,得到如图所示的四棱锥 A′﹣BCDE (Ⅰ)在棱 A′B 上找一点 F,使 EF∥平面 A′CD; (Ⅱ)当四棱锥 A'﹣BCDE 体积取最大值时,求平面 A′CD 与平面 A′BE 夹角的余弦值.

【考点】 : 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定. 【专题】 : 计算题;证明题;空间角.

【分析】 : (I)取 A'C 的中点 G,连结 DG、EF、GF.运用中位线定理证出四边形 DEFG 是 平行四边形,从而得到 EF∥DG,结合线面平行的判定定理,即可证出 EF∥平面 A'CD.因此 可得当 F 为棱 A'B 的中点时,EF∥平面 A′CD; (II) 在平面 A′CD 内作 A'H⊥CD 于点 H, 利用线面垂直的判定与性质, 证出 A'H⊥底面 BCDE, 从而得到点 H 和 D 重合时,四棱锥 A'﹣BCDE 体积取最大值.然后以 DC、DE、DA'所在直 线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图,给出 A'、B、E 的坐标,从而算出 、

的坐标,利用垂直向量数量积为零建立方程组,解出 =(﹣,1,1)是平面 A'BE 的一 个法向量;同理解出平面 A'CD 的一个法向量 =(0,1,0) .最后利用空间向量的夹角公式 算出 夹角的余弦值,结合图形即可得到四棱锥 A'﹣BCDE 体积取最大值时平面 A′CD 与

平面 A′BE 夹角的余弦值. 【解答】 : 解: (I)当 F 为棱 A'B 的中点时,EF∥平面 A′CD.证明如下: 取 A'C 的中点 G,连结 DG、EF、GF,则 由中位线定理得 DE∥BC、DE= BC,且 F∥BC、GF= BC. ∴DE∥GF 且 DE=GF,可得四边形 DEFG 是平行四边形, ∴EF∥DG ∵EF?平面 A'CD,DG?平面 A'CD,∴EF∥平面 A′CD 因此,当 F 为棱 A'B 的中点时,EF∥平面 A′CD.﹣﹣﹣﹣(4 分) (II)在平面 A′CD 内作 A'H⊥CD 于点 H, ∵DE⊥A'D,DE⊥CD,且 A'D∩CD=D ∴DE⊥平面 A'CD,可得 A'H⊥DE, 又∵DE∩CD=D,∴A'H⊥底面 BCDE,即 A'H 就是四棱锥 A'﹣BCDE 的高. 由 A'H≤AD,得点 H 和 D 重合时,四棱锥 A'﹣BCDE 体积取最大值.﹣﹣(8 分) 分别以 DC、DE、DA'所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系如图, 则 A'(0,0,a) ,B(a,2a,0) ,E(0,a,0) , ∴ =(a,2a,﹣a) , =(0,a,﹣a) ,

设平面 A'BE 的一个法向量为 =(x,y,z) , 由 得

取 y=1,得 x=﹣1,z=1.得到 =(﹣,1,1) , 同理,可求得平面 A'CD 的一个法向量 =(0,1,0) ∴cos = = =

故平面 A'CD 与平面 A'BE 夹角的余弦值为 综上所述, 四棱锥 A'﹣BCDE 体积取最大值时, 平面 A′CD 与平面 A′BE 夹角的余弦值等于 ﹣﹣﹣﹣(12 分)

【点评】 : 本题给出平面图形的折叠,求证线面平行并求四棱锥 A'﹣BCDE 体积取最大值时, 平面 A′CD 与平面 A′BE 夹角的余弦值.着重考查了三角形中位线定理、线面平行的判定定理 和利用空间向量的方法研究平面与平面所成角等知识,属于中档题.

19. (14 分)数列{an}满足 a1= ,an+1= (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;



(Ⅱ)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,证明 Sn<n﹣ln(

) .

【考点】 : 数列与不等式的综合;数列递推式. 【专题】 : 点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】 : (Ⅰ)方法一,对数列递推式变形,证明 是首项为﹣2,公差为﹣1 的等

差数列,从而可求求数列{an}的通项公式; 方法二,计算前几项,猜想通项,再利用数学归纳法进行证明; (Ⅱ)设 F(x)=ln(x+1)﹣x,证明函数 F(x)为(0,+∞)上的减函数,可得 ln(x+1) <x(x>0) ,从而 ,进而可得结论.

【解答】 : (Ⅰ)解:方法一:



所以



…(3 分)

所以

是首项为﹣2,公差为﹣1 的等差数列.

…(4 分)

所以

,所以



…(6 分)

方法二:





,猜测



…(2 分)

下用数学归纳法进行证明. ①当 n=1 时,由题目已知可知 ,命题成立; ,那么 , …(3 分)

②假设当 n=k(k≥1,k∈N)时成立,即 当 n=k+1,

也就是说,当 n=k+1 时命题也成立. 综上所述,数列{an}的通项公式为 .

…(5 分) …(6 分)

(Ⅱ)证明:设 F(x)=ln(x+1)﹣x(x>0) 则 …(8 分)

函数 F(x)为(0,+∞)上的减函数,所以 F(x)<F(0)=0,即 ln(x+1)<x(x>0) 从而 ,…(11 分) ∴Sn<(1﹣ln3+ln2)+(1﹣ln4+ln3)+…+[1﹣ln(n+2)+ln(n+1)]…(13 分) ∴ …(14 分) ,…(10 分)

【点评】 : 本题考查数列递推式,考查数列的通项与求和,考查导数知识的运用,考查学生 分析解决问题的能力,属于中档题. 20. (14 分) 已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点, 过点 A 的直线 l 交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有丨 FA 丨=丨 FD 丨.当点 A 的横坐标为 3 时,△ADF 为正三角形. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E,
2

(ⅰ)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ⅱ)△ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 【考点】 : 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的标准方程. 【专题】 : 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 : (1)根据抛物线的焦半径公式,结合等边三角形的性质,求出的 p 值; (2) (ⅰ)设出点 A 的坐标,求出直线 AB 的方程,利用直线 l1∥l,且 l1 和 C 有且只有一个 公共点 E,求出点 E 的坐标,写出直线 AE 的方程,将方程化为点斜式,可求出定点; (ⅱ) 利用弦长公式求出弦 AB 的长度,再求点 E 到直线 AB 的距离,得到关于面积的函数 关系式,再利用基本不等式求最小值. 【解答】 : 解: (1)当点 A 的横坐标为 3 时,过点 A 作 AG⊥x 轴于 G, A(3, ∴ ) ,F( ,0) , . ,

∵△ADF 为正三角形, ∴ 又∵ ∴ , . ,

∴p=2. 2 ∴C 的方程为 y =4x. 当 D 在焦点 F 的左侧时, 又|FD|=2|FG|=2( ﹣3)=p﹣6, ∵△ADF 为正三角形, ∴3+ =p﹣6,解得 p=18, ∴C 的方程为 y =36x.此时点 D 在 x 轴负半轴,不成立,舍. 2 ∴C 的方程为 y =4x. (2) (ⅰ)设 A(x1,y1) ,|FD|=|AF|=x1+1, ∴D(x1+2,0) , ∴ .
2



由直线 l1∥l 可设直线 l1 方程为



联立方程

,消去 x 得



由 l1 和 C 有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0,∴y1m=﹣2, 这时方程①的解为 ,代入 得 x=m ,∴E(m ,2m) .
2 2

点 A 的坐标可化为

,直线 AE 方程为 y﹣2m=

(x﹣m ) ,

2

















∴直线 AE 过定点(1,0) ; (ⅱ)直线 AB 的方程为 ,即 .

联立方程

,消去 x 得









=



由(ⅰ)点 E 的坐标为

,点 E 到直线 AB 的距离为:

=



∴△ABE 的面积 当且仅当 y1=±2 时等号成立, ∴△ABE 的面积最小值为 16.

=



【点评】 : 本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法,切线方程的求法,定点问题与 最值问题.
2

21. (14 分)已知函数 f(x)=lnx,g(x)= ax ﹣bx,设 h(x)=f(x)﹣g(x) (1)若 g(2)=2,讨论函数 h(x)的单调性; (2)若函数 g(x)是关于 x 的一次函数,且函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2. ①求 b 的取值范围; ②求证:x1x2>e . 【考点】 : 利用导数研究函数的单调性. 【专题】 : 导数的综合应用. 【分析】 : (1)根据 g(2)=2,求出 h(x)的表达式,求函数的导数,即可讨论函数 h(x) 的单调性; (2)根据函数 g(x)是关于 x 的一次函数,确定 a=0,根据函数 h(x)有两个不同的零点 x1,x2.即可得到结论. 【解答】 : 解: (1)∵g(2)=2,∴a﹣b=1,即 b=a﹣1, ∴h(x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣ ax +(a﹣1)x,其定义域为(0,+∞)
2 2

h′(x)=

+(a﹣1)=

=



(Ⅰ)若 a≥0,则函数 h(x)在区间(0,1)上单调增;在区间(1,+∞)上单调减. (Ⅱ)若 a<0,令 h′(x)=0 得

①当 a<﹣1 时,则 +∞)上单调增;在区间(

,则函数 h(x)在区间(0, ,1)上单调减.

)上单调增;在区间(1,

②当 a=﹣1 时,h′(x)<0,则函数 h(x)在区间(0,+∞)单调减. ③当﹣1<a<0 时,则 +∞)上单调增;在区间(1, ,则函数 h (x)在区间(0,1)上单调增;在区间( )上单调减. ,

(2)∵函数 g(x)是关于 x 的一次函数 ∴h(x)=lnx+bx,其定义域为(0,+∞) ①由 h(x)=0 得 ,记 ,则

∴ ∴当 x=e 时

在(0,e)单调减,在(e,+∞)单调增, 取得最小值

又 φ(1)=0,所以 x∈(0,1)时 φ(x)>0,而 x∈(1,+∞)时 φ(x)<0 ∴b 的取值范围是( ,0)

②由题意得 lnx1+bx1=0,lnx2+bx2=0 ∴lnx1x2+b(x1+x2)=0,lnx2﹣lnx1+b(x2﹣x1)=0 ∴ ,不妨设 x1<x2

要证

,只需要证

即证

,设



∴ ∴函数 F(t)在(1,+∞)上单调增,而 F(1)=0, ∴F(t)>0 即 ∴ .

【点评】 : 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系,以及不等式的证明,综合性较强, 运算量较大.


赞助商链接

...2017届高三下学期一检(3月)理科综合试题 Word版含答...

广东省梅州市2017届高三下学期一检(3月)理科综合试题 Word版含答案 - 梅州市高三总复习质检试卷(2017.03) 理科综合试题 可能用到的相对原子质量:H-1 Li-7 C...

广东省梅州市2016届高三3月总复习质检文综历史试卷 Wor...

广东省梅州市2016届高三3月总复习质检文综历史试卷 Word版含答案_高三政史地_政史地_高中教育_教育专区。名校试题,价值高梅州市高三总复习质检试卷(2016.3) 文综...

...总复习质检(5月二模)文综政治试题 Word版含解析

广东省梅州市2018届高三总复习质检(5月二模)文综政治试题 Word版含解析 - 梅州市高三总复习质检试卷( 2018.5)文科综合政治试题 一、选择题:本大题共 35 小题...

...市2016届高三2月总复习质检语文试题 Word版含解析.d...

广东省梅州市2016届高三2月总复习质检语文试题 Word版含解析.doc - 梅州市高三总复习质检试卷(2016.2.)第Ⅰ卷甲一、 阅读题 必考题 现代文阅读(每小题 3 ...

...市2013届高三总复习质检文科综合试题 Word版含答案

广东省梅州市2013届高三总复习质检文科综合试题 Word版含答案 - 试卷类型:A 广东省梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检试文综 试题 本试卷共 12 页,41 小题,...

...届高三总复习质检(5月二模)文综政治试题Word版含答...

广东省梅州市2018届高三总复习质检(5月二模)文综政治试题Word版含答案 - 梅州市高三总复习质检试卷( 2018.5) 文科综合 一、选择题:本大题共 35 小题,每小题...

...届高三总复习质检(5月二模)文综政治试题 Word版含答...

广东省梅州市2018届高三总复习质检(5月二模)文综政治试题 Word版含答案 - 梅州市高三总复习质检试卷( 2018.5) 文科综合 一、选择题:本大题共 35 小题,每小...

...市2013届高三总复习质检理科综合试题 Word版含答案_...

广东省梅州市2013届高三总复习质检理科综合试题 Word版含答案 - 试卷类型: A 广东省梅州市 2013 届高三 3 月总复习质检试理综试题 本试卷共 12 页,36 小题,...

...届高三总复习质检(5月二模)文综历史试题Word版含答...

广东省梅州市2018届高三总复习质检(5月二模)文综历史试题Word版含答案 - 梅州市高三总复习质检试卷( 2018.5) 文科综合 一、选择题:本大题共 35 小题,每小题...

广东省梅州市2016届高三3月总复习质检文综历史试卷 Wor...

广东省梅州市2016届高三3月总复习质检文综历史试卷 Word版含答案.doc - 梅州市高三总复习质检试卷(2016.3) 文综历史试题 24.据统计,在商鞅变法时期,秦国百姓一年...