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数学-清江中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题

时间:2018-01-05


江苏省清江中学 2015—2016 学年度第一学期期末考试
高 一 数 学 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上)
2 1. 设集合 M ? ?0,1, 2? , N ? x | x ? 3 x ? 2 ? 0 ,则 M ? N ?

?

?

.

2. 计算:

1 27 ? 6 sin 60 ? ? ( ) ?1 ? ( 2 ? 2) 0 = 2



? 的最小正周期为 3. 函数 y ? sin x ? sin x ?
3
2

?

?

.

4.设扇形的半径长为 4cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是__________.
2 4 2 5. 若 sin ? ? sin ? ? 1,则 cos ? ? cos ? = ——.

6. 已知 a ? 3 , b ? 5 ,且 a ? b ? 12 ,则向量 a 在 b 方向上的投影为 7. 若函数 f ( x) ? (k ? 2) x2 ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是 8.当 0 ? x ? 2? 时,则不等式: sin x ? cos x ? 0 的解集是 9. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? ? ) (其中 .

. .

x ? R ,? ? 0 ,

( ? ? ? ? ? ? )的部分图象如图所示,则函数 f ( x) 的解析式 是 .

→ → → ? 10. 设点 O 是面积为 4 的△ABC 内部一点,且有OA+OB+2OC= 0 , 则△AOC 的面积为________.

11.将函数 f ( x) ? sin( 3 x ? 则 m 的最小值是

?
4

) 图像向左平移 m ( m ? 0 )个单位后所对应的函数是偶函数,
.
2

12.若关于 x 的一元二次方程 x ? 11x ? a ? 30 ? 0 的两根均大于 5,则实数 a 的取值范围 是 .

1

13.已知函数 y ? ln( x ? 1) ? 2 x ? 9 存在唯一零点 x0 ,则大于 x0 最小整数为 14.设函数 f ? x ? ? ?

.

?2

x?0 ,若 f(-4)=f (0),f(-2)=-2,则关于 x 的方 ? x ? bx ? c x ? 0
2

程 f(x)=x 的解的个数为________个. 二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.(本小题满分 14 分) 已知 M ? ?x | ?2 ? x ? 5? , N ? ?x | a ?1 ? x ? 2a ?1 ?. (Ⅰ)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若 M ? N ,求实数 a 的取值范围.

16. (本小题满分 14 分) 2cos10°-sin20° 求值:(1) . cos20° 8 21 (2) 已知 α ,β 为锐角,sinα = ,cos(α -β )= ,求 cosβ 的值. 17 29

17. (本小题满分 14 分) 已知: a 、 b 、 c 同一平面内的三个向量,其中 a ? (1, 2) (1)若 | c |? 2 5 ,且 c / / a ,求 c 的坐标; (2)若 | b |?

?

?

?

?

?
?

?

?

?

? ? ? ? ? ? 5 ,且 a ? 2b 与 2a ? b 垂直,求 a 与 b 的夹角 ? . 2

2

18. (本小题满分 16 分) 已知函数 g ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ? cos(

4? ? 2 x), x ? R 3

(1)求函数 g ( x) 的最小正周期及单减区间; (2)若将函数 g ( x) 先左平移 当 x ? ??

7? 个单位,再将其纵坐标伸长到原来的 2 倍得到函数 f ( x) , 6

? 3? ? ? ? , ? 时, f ( x) 的值域恰好为 ? ? ?2 2, 4 ? ,求 的取值范围; ? 8 ? ?

19. (本小题满分 16 分) 某医药研究所研发了一种新药,如果成年人按规定的计量服用,据监测:服药后每毫升 血液中的含药量 y (微克)与时间 t (时)之间近似满足如图所示的曲线。 (1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y ? f (t ) ; (2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时,治疗疾病有效。试求服药一 次治疗疾病的有效时间。 y(微克) 4

1 y ? ( ) t ?a 2
t(时)

O 1

3

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ?

( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数. x2

(1)求实数 a 的值; (2)记集合 E ? {y y ? f ( x), x ?{?1,1,2}},? ? lg 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 5 ?
2

1 ,判断 ? 与 E 4

的关系; (3)当 x ? [

1 1 , ] ?m ? 0, n ? 0? 时,若函数 f ( x) 值域为 [2 ? 3m,2 ? 3n] ,求 m, n 的值. m n

4

江苏省清江中学 2015—2016 学年度第一学期期末考试 高 一 数 学(答案) 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1. ? 1,2? 2. 1 3. 2? 4.

1 2 2? ) 3

5. 1

6.

12 5
11.

7. [0, ??)

8. ? , ?4 4 ? ? 12. ? 0, ? 4

? ? 5? ?

9. f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

10. 1

? 12

? ?

1? ?

13. 4

14. 1

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15.

? ?2 ? a ? 1 ? 解: (Ⅰ)由于 M ? N ,则 ?5 ? 2a ? 1 ,解得 a ?? .……………………4 分 ? 2a ? 1 ? a ? 1 ?
(Ⅱ)①当 N ? ? 时,即 a ? 1 ? 2a ? 1 ,有 a ? 2 ;………………………………7 分

? ?2 ? a ? 1 ? ②当 N ? ? ,则 ?5 ? 2a ? 1 ,解得 2 ? a ? 3 ,………………………11 分 ? 2a ? 1 ? a ? 1 ?
综合①②得 a 的取值范围为 a ? 3 .…………………………………………14 分 16.解: 2cos(30°-20°)-sin20° (1)原式= cos20° = = 2cos30°cos20°+2sin30°sin20°-sin20° cos20° 2cos30°cos20° = 3. cos20° ………………6 分

8 1 π ? π? (2)∵sinα = < ,α ∈?0, ?,∴0<α < . 2? 17 2 6 ? ∵cos(α -β

)=

21 3 π π ? π π? < ,α -β ∈?- , ?,0<β < ,∴- <α -β <0. 29 2 2 2 ? 2 2?
2

∴cosα = 1-sin α =

? 8 ?2 15 1-? ? = . ?17? 17
5

………………9 分

sin(α -β )=- 1-cos (α -β )=- 分

2

2 20 ?21? 1-? ? =- . 29 ?29?

………………12

15 21 8 ? 20? 155 ∴cosβ =cos=cosα cos(α -β )+sinα sin(α -β )= × + ×?- ?= . 17 29 17 ? 29? 493 ………………14 分

17. 解:⑴设

c ? ( x, y),? c ? 2 5,? x 2 ? y 2 ? 2 5, ? x ? y ? 20
2 2

...............................2



? c // a, a ? (1,2), ? 2 x ? y ? 0, y ? 2 x
由?

? y ? 2x
2 2 ? x ? y ? 20

∴?

?x ? 2 ? x ? ?2 或 ? ?y ? 4 ? y ? ?4
...............................6 分

∴ c ? (2,4),或c ? (?2,?4) ⑵

(a ? 2b) ? (2a ? b),?(a ? 2b) ? (2a ? b) ? 0
2a ? 3a ? b ? 2b ? 0,? 2 | a | 2 ?3a ? b ? 2 | b | 2 ? 0 ……(※)
2 2

a ? 5, b ? (

2

2

5 2 5 ) ? , 代入(※)中, 2 4

? 2 ? 5 ? 3a ? b ? 2 ?

5 5 ? 0,? a ? b ? ? ...............................10 分 4 2

? a ? 5, b ? a ?b a?b

5 , 2 ? ? 5 2 ? ?1,

? cos? ?

5 5? 2

?? ? ?0, ? ??? ? ?

...............................14 分

6

18. 解: (1)由 (2 x ?

?
6

)?(

4? 3? ? 2 x) ? 3 2

? 3? 4? g ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos( ? ( ? 2 x)) 6 2 3
? 2sin(2 x ? ) 6


?

……………………………………4

?T ?

2?

?

??

……………………………………6 分

3 ? 2 k? ? ? , k ? Z 2 6 2 ? 2 即 k? ? ? x ? k ? ? ? , k ? Z 6 3
由 2 k? ?

?

? 2x ?

?

? 2? ? ? , k ? Z ………………………8 分 ? 函数 g ( x) 单减区间 ? k? ? , k? ? 6 3 ? ? ?
(2)由题意得 f ( x) ? 4cos 2 x ………………………10 分 即当 ?

3? 2 ? 2 x ? 2? 时, ? ? cos 2 x ? 1 4 2 3? 3? 2 和 2x ? 时, cos 2 x ? ? ; 2 x ? 0 时, cos 2 x ? 1 4 4 2

当 2x ? ?

? 0 ? 2? ?

3? 4

故0 ? ? ?

3? ………………………16 分 8

19.

?1? 解: (1)当 0 ? t ? 1 时, y ? 4t ;当 t ? 1 时, y ? ? ? ?2?

t ??

,此时 M(1,4)在曲线上,

7

∴4??

?1? ? ?2?

1??

,?? ? 3 ,
t ?3

∴ y ??

?1? ? ?2?



………………………6 分

?4t ? ∴ y ? f ? t ? ? ?? 1 ?t ?3 ?? ? ?? 2 ?
(2)由 f ? t ? ? 0.25 ,解得

? 0 ? t ? 1? ? t ? 1?
………………………10 分

1 ? t ? 5, 16 1 79 ? ? h? 16 16
……16 分

所以服药一次治疗疾病的有效时间为 5 ?

20.解:

………………………4 分

………………………9 分

………………13 分
8

………………………16 分

9


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