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2017_2018学年高中数学第一章计数原理1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理1检测含解析新人

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1.1

分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第 1 课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理

A 级 基础巩固 一、选择题 1.某学生去书店,发现 2 本好书,决定至少买其中一本,则购买方式共有( A.1 种 B.2 种 C.3 种 D.4 种 )

解析:分两类:买 1 本或买 2 本书,各类购买方式依次有 2 种、1 种,故购买方式共有 2+1=3(种).故选 C. 答案:C 2.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,如果一条长裤与一件上衣配成一 套,则不同的配法有( A.7 种 )

B.12 种 C.64 种 D.81 种

解析:要完成配套,分两步:第一步,选上衣,从 4 件中任选一件,有 4 种不同的选法; 第二步, 选长裤, 从 3 条长裤中任选一条, 有 3 种不同选法. 故不同取法共有 4×3=12(种). 答案:B 3.将 3 张不同的奥运会门票分给 10 名同学中的 3 人,每人 1 张,则不同分法的种数是 ( ) A.2 160 B.720 C.240 D.120

解析:第 1 张门票有 10 种分法,第 2 张门票有 9 种分法,第 3 张门票有 8 种分法,由 分步乘法计数原理得分法共有 10×9×8=720(种). 答案:B 4.已知两条异面直线 a,b 上分别有 5 个点和 8 个点,则这 13 个点可以确定不同的平 面个数为( ) D.10

A.40 B.16 C.13

解析:分两类情况讨论.第一类,直线 a 分别与直线 b 上的 8 个点可以确定 8 个不同的 平面;第二类,直线 b 分别与直线 a 上的 5 个点可以确定 5 个不同的平面.根据分类加法计 数原理知,8+5=13(个),即共可以确定 13 个不同的平面. 答案:C
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5.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成复数 a+bi,其 中虚数有( )

A.30 个 B.42 个 C.36 个 D.35 个 解析:要完成这件事可分两步,第一步确定 b(b≠0)有 6 种方法,第二步确定 a 有 6 种 方法,故由分步乘法计数原理知共有虚数 6×6=36(个). 答案:C 二、填空题 6.加工某个零件分三道工序,第一道工序有 5 人,第二道工序有 6 人,第三道工序有 4 人,从中选 3 人每人做一道工序,则选法有________种. 解析:选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为 5,6,4,由分步乘法计数原 理知,选法总数为 N=5×6×4=120(种). 答案:120 7.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程,不同的选法有________种. 解析:由分步乘法计数原理知,不同的选法有 N=2×2×2=2 =8(种). 答案:8 8.一学习小组有 4 名男生、3 名女生,任选一名学生当数学课代表,共有________种 不同选法;若选男女生各一名当组长,共有________种不同选法. 解析:任选一名当数学课代表可分两类,一类是从男生中选,有 4 种选法;另一类是从 女生中选,有 3 种选法.根据分类加法计数原理,不同选法共有 4+3=7(种). 若选男女生各一名当组长,需分两步:第 1 步,从男生中选一名,有 4 种选法;第 2 步,从女生中选一名,有 3 种选法.根据分步乘法计数原理,不同选法共有 4×3=12(种). 答案:7 12
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三、解答题 9.若 x,y∈N ,且 x+y≤6,试求有序自然数对(x,y)的个数. 解:按 x 的取值进行分类:
*

x=1 时,y=1,2,…,5,共构成 5 个有序自然数对; x=2 时,y=1,2,…,4,共构成 4 个有序自然数对;
……

x=5 时,y=1,共构成 1 个有序自然数对.
根据分类加法计数原理,有序自然数对共有 N=5+4+3+2+1=15(个). 10.现有高一四个班的学生 34 人,其中一、二、三、四班分别有 7 人、8 人、9 人、10 人,他们自愿组成数学课外小组. (1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?
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(3)推选两人做中心发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的选法? 解: (1)分四类.第一类,从一班学生中选 1 人,有 7 种选法;第二类,从二班学生中 选 1 人,有 8 种选法;第三类,从三班学生中选 1 人,有 9 种选法;第四类,从四班学生中 选 1 人,有 10 种选法. 所以,共有不同的选法 N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步. 第一、 第二、 第三、 第四步分别从一、 二、 三、 四班学生中选一人任组长. 所 以共有不同的选法 N=7×8×9×10=5 040(种). (3)分六类, 每类又分两步.从一、 二班学生中各选 1 人,有 7×8 种不同的选法;从一、 三班学生中各选 1 人,有 7×9 种不同的选法;从一、四班学生中各选 1 人,有 7×10 种不 同的选法;从二、三班学生中各选 1 人,有 8×9 种不同的选法;从二、四班学生中各选 1 人,有 8×10 种不同的选法;从三、四班学生中各选 1 人,有 9×10 种不同的选法. 所以,共有不同的选法 N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种). B 级 能力提升 1.某班小张等 4 位同学报名参加 A、B、C 三个课外活动小组,每位同学限报其中一个 小组,且小张不能报 A 小组,则不同的报名方法有( A.27 种 C.54 种 B.36 种 D.81 种 )

解析:除小张外,每位同学都有 3 种选择,小张只有 2 种选择,所以不同的报名方法有 3×3×3×2=54(种). 答案:C 2.有三个车队分别有 4 辆、5 辆、5 辆车,现欲从其中两个车队各抽取一辆车外出执行 任务,设不同的抽调方案数为 n,则 n 的值为________. 解析:不妨设三个车队分别为甲、乙、丙,则分 3 类.甲、乙各一辆共 4×5=20(种); 甲、丙各一辆共 4×5=20(种);乙、丙各一辆共 5×5=25(种),所以共有 20+20+25= 65(种). 答案:65 3.乒乓球队的 10 名队员中有 3 名主力队员,派 5 名参加比赛, 3 名主力队员要安排 在第一、三、五位置,其余 7 名队员中选 2 名安排在第二、四位置,求不同的出场安排共有 多少种. 解:按出场位置顺序逐一安排: 第一位置有 3 种安排方法; 第二位置有 7 种安排方法; 第三位置有 2 种安排方法; 第四位置有 6 种安排方法;
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第五位置有 1 种安排方法. 由分步乘法计数原理知,不同的出场安排方法有 3×7×2×6×1=252(种).

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