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数学奥林匹克高中训练题(41)及答案

时间:2011-01-14


数学奥林匹克高中训练题(41)
第一试
一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(训练题 41)函数 y = lg( x 2 + 2 x ? a ) 的值域为 R .那么, a 的范围为 (D). (A) (?∞, ?1) (B) (?∞, ?1] (C) ( ?1, +∞, ) (D) [ ?1, +∞, )

2.(训练题 41)已知 sin 2α = m,cos 2α = n, m, n ∈ (0,1) ,则 tan(α +

π
4

) )的四个答案(1)

m +1? n n 1+ m ; (3) ; (4) 中,正确的个数为(D) m ?1+ n 1? m n
(A)0 (B)2 (C)3 (D)4 3.(训练题 41)下列 4 个命题: (1)有两个面互相平行,其余四个面都是全等的等腰梯形的六面体是正四棱台; (2)底面是正三角形,其余各面都是等腰三角形的棱锥是三棱锥; (3)各侧面都是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥; (4)底面是正三角形,相邻两侧面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥 中,假命题的个数为(D) (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

1+ m + n ; (2) 1? m + n

4.(训练题 41)对互不相等的实数 a, b, c ,方程 a 2 + b 2 + abx = b 2 + c 2 + bcx = a 2 + c 2 + acx 的解为(D) (A) x = ?2 (B) x = ?1 (C)当 a + b + c ≠ 0 时, x = ?2 ;当 a + b + c = 0 时, x 为全体实数 (D)仅当 a+b+c=0 时,方程有解 x=1 5.(训练题 41)对 p 2 + q 2 ≤ 4 α , β ∈ [0, 2π ) ,使 ? (D) (A) p ≤ 2且 q ≤ 2 (B) 0 < p ≤

? sin α + sin β = p 的 p, q 应满足的充分必要条件是 ?cos α + cos β = q

2且0 < q ≤ 2

(C) 0 < p 2 + q 2 ≤ 4

(D) p 2 + q 2 ≤ 4

6.(训练题 41)空间中有 100 个点, 将每两点间所连线段的中点都染上红色. 则红点的个数最少有 (A) (A)197 (B)198 (C)199 (D)200 二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 1. (训练题 41)给定非空集合 A = {( x, y) | 若 A I B = φ ,则 a 的取值为

y ?3 = a + 1, x, y ∈ R}, B = {( x, y) | (a2 ?1)x + (a ?1) y ?15 = 0, x, y ∈ R} , x?2
5 2


?1, ?4,

2.(训练题 41)光线从点 A(-3,4)出发,经过 x 轴的 C 点反射到 y 轴的 D 点,再反射经过点 B(-2,

6).则直线 CD 的方程为

2x ? y + 2 = 0



3.(训练题 41)如图 1,在单位正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 E 在棱 AA1 上, 且 AE =

3? 6 .过 E , C , D1 作平面 α ,则 α 与面 DCC1 D1 的夹角度数为 60o . 3
1 + sin θ + i cos θ 化为三角式为 1 + sin θ ? i cos θ cos(

4.(训练题 41)复数 z =

π
2

? θ ) + i sin(

π
2

?θ ) .

5.(训练题 41)数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足 log a ( S n + a ) = n + 1(a > 0且a ≠ 1) ,则 lim

n → +∞

1 ? an 的值为 1 + an

?1,当0 < a < 1时, . ? ? ?1,当a > 1时.
6.(训练题 41)在组合数 C 1999 ,C 1999 ,…,C 1999 中,能被 1999 整除的有
1 2 1998

1998

个.

三、(训练题 41)(满分 20 分)已知地面上有一个篮球,在斜平行光线的照射下,其阴影为一个椭圆。 试判断:篮球与地面的接触点是否为该椭圆的焦点.给出证明. 四、(训练题 41)(满分 20 分)1998 年,某地在抗洪抢险中接到预报,24 小时后有一个超历史最高水 位的洪峰到达,为保万无一失,指挥部决定在 24 小时内筑起一道堤坝作为第二防线。经计算,其工程 量除动用现有军民连续奋战外,还需要 20 台大型翻斗车同时作业 24 小时。但是,除了第一辆车可以 立即调入工作外,其余车辆需从各单位紧急抽调,每隔 20 分钟有一辆车到达投入作业,已知指挥部最 多能组织到 25 辆车。问 24 小时内能否完成第二防线工程?说明理由.

( 五、(训练题 41)(满分 20 分)求证:方程 x + 1)
一.

log 3 2

= x (注:指数为 log32)的正实数解存在且唯


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