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高中数学北师大必修2课时跟踪检测:(九) 平面与平面垂直的判定

时间:

课时跟踪检测(九)
层级一

平面与平面垂直的判定
学业水平达标 )

1.设 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 a∥b,a∥α,则 b∥α B.若 α⊥β,a∥α,则 a⊥β C.若 α⊥β,a⊥β,则 a∥α D.若 a⊥b,a⊥α,b⊥β,则 α⊥β 解析:选 D A 错,可能 b α;B 错;C 错,可能 a α.只有 D 正确. )

2.已知直线 a,b 与平面 α,β,γ,下列能使 α⊥β 成立的条件是( A.α⊥γ,β⊥γ C.a∥β,a∥α B.α∩β=a,b⊥a,b?β D.a∥α,a⊥β

解析:选 D 由 a∥α,知 α 内必有直线 l 与 a 平行.而 a⊥β,∴l⊥β,∴α⊥β. 3.从空间一点 P 向二面角 αlβ 的两个面 α,β 分别作垂线 PE,PF,E,F 为垂足, 若∠EPF=60°,则二面角 αlβ 的平面角的大小是( A.60° C.60°或 120° B.120° D.不确定 )

解析:选 C 若点 P 在二面角内,则二面角的平面角为 120°;若点 P 在二面角外, 则二面角的平面角为 60°. 4.如图,四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将 △ABD 沿 BD 折起, 使平面 ABD⊥平面 BCD, 构成几何体 ABCD, 则在几何体 ABCD 中, 下列结论正确的是( )

A.平面 ABD⊥平面 ABC C.平面 ABC⊥平面 BDC

B.平面 ADC⊥平面 BDC D.平面 ADC⊥平面 ABC

解析:选 D 由已知得 BA⊥AD,CD⊥BD, 又平面 ABD⊥平面 BCD,∴CD⊥平面 ABD, 从而 CD⊥AB,故 AB⊥平面 ADC. 又 AB 平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 ADC. 5.如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在的平面,则图中互相垂直的 平面有( ) B.2 对

A.1 对

C.3 对

D.5 对

解析:选 D ∵DA⊥AB,DA⊥PA,∴DA⊥平面 PAB.同理 BC⊥平面 PAB,又 AB⊥ 平面 PAD, ∴DC⊥平面 PAD, ∴平面 PAD⊥平面 BCD, 平面 PAB⊥平面 ABCD, 平面 PBC ⊥平面 PAB,平面 PAB⊥平面 PAD,平面 PDC⊥平面 PAD,共 5 对. 6.如果规定:x=y,y=z,则 x=z,叫作 x,y,z 关于相等关系具有传递性,那么空 间三个平面 α,β,γ 关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是________. 解析:由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理,知平面平 行具有传递性,相交、垂直都不具有传递性. 答案:平行 7.如图,平面 ABC⊥平面 BDC,∠BAC=∠BDC=90°,且 AB=AC=a,则 AD= ________. 解析:取 BC 中点 M,则 AM⊥BC,由题意得 AM⊥平面 BDC, ∴△AMD 为直角三角形, AM=MD= 答案:a 8.如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC=1,将△ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折叠,使平面 ABD⊥平面 ACD,则折叠后 BC=________. 2 2 a.∴AD= a× 2=a. 2 2

解析:由题意知,BD⊥AD,由于平面 ABD⊥平面 ACD. ∴BD⊥平面 ADC.又 DC 平面 ADC,∴BD⊥DC. 连接 BC,则 BC= BD2+DC2= 答案:1 9.如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,直线 SC⊥平面 ABCD, E 是 SA 的中点,求证:平面 EDB⊥平面 ABCD. 证明:连接 AC,交 BD 于点 F,连接 EF, ∴EF 是△SAC 的中位线, ∴EF∥SC. ∵SC⊥平面 ABCD, ∴EF⊥平面 ABCD. 又 EF 平面 EDB.

? 2?2+? 2?2=1. ?2? ?2?

∴平面 EDB⊥平面 ABCD. 10.如图,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平 面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE =2DF,AE⊥EC. 求证:平面 AEC⊥平面 AFC. 证明:如图,连接 BD,设 BD∩AC 于点 G, 连接 EG,FG,EF.在菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1.由∠ABC=120°, 可得 AG=GC= 3. 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC, 可知 AE=EC. 又 AE⊥EC,所以 EG= 3,且 EG⊥AC. 在 Rt△EBG 中,可得 BE= 2,故 DF= 在 Rt△FDG 中,可得 FG= 在直角梯形 BDFE 中, 由 BD=2,BE= 2,DF= 可得 EF= 3 2 . 2 2 , 2 6 . 2 2 . 2

从而 EG2+FG2=EF2,所以 EG⊥FG. 又 AC∩FG=G,所以 EG⊥平面 AFC. 因为 EG 平面 AEC, 所以平面 AEC⊥平面 AFC. 层级二 应试能力达标 )

1.对于直线 m,n 和平面 α,β,能得出 α⊥β 的一个条件是( A.m⊥n,m∥α,n∥β C.m∥n,n⊥β,m α B.m⊥n,α∩β=m,n α D.m∥n,m⊥α,n⊥β

解析:选 C ∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β,又 m α,由面面垂直的判定定理,得 α⊥β. 2.空间四边形 ABCD 中,若 AD⊥BC,BD⊥AD,那么有( A.平面 ABC⊥平面 ADC B.平面 ABC⊥平面 ADB C.平面 ABC⊥平面 DBC D.平面 ADC⊥平面 DBC 解析:选 D 如图,∵AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD=B,∴AD⊥ )

平面 BCD.又∵AD 平面 ADC,∴平面 ADC⊥平面 DBC. 3.如果直线 l,m 与平面 α,β,γ 满足:l=β∩γ,l∥α,m α 和 m⊥γ,那么必有( A.α⊥γ 且 l⊥m C.m∥β 且 l⊥m B.α⊥γ 且 m∥β D.α∥β 且 α⊥γ )

解析:选 A B 错,有可能 m 与 β 相交;C 错,有可能 m 与 β 相交;D 错,有可能 α 与 β 相交. 4.如图,在四面体 PABC 中,AB=AC,PB=PC,D,E,F 分别是棱 AB,BC,CA 的中点,则下列结论中不一定成立的是( A.BC∥平面 PDF B.DF⊥平面 PAE C.平面 PDF⊥平面 PAE D.平面 PDF⊥平面 ABC 解析:选 D 因为 D,F 分别为 AB,AC 的中点,则 DF 为△ABC 的中位线,则 BC∥ DF,依据线面平行的判定定理,可知 BC∥平面 PDF,A 成立.又 E 为 BC 的中点,且 PB =PC,AB=AC,则 BC⊥PE,BC⊥AE,依据线面垂直的判定定理,可知 BC⊥平面 PAE. 因为 BC∥DF, 所以 DF⊥平面 PAE, B 成立. 又 DF 平面 PDF, 则平面 PDF⊥平面 PAE, )

C 成立.要使平面 PDF⊥平面 ABC,已知 AE⊥DF,则必须有 AE⊥PD 或 AE⊥PF,由条 件知此垂直关系不一定成立,故选 D. 5.如图所示,在四棱锥 PABCD 中,PA⊥底面 ABCD,且底面各边 都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD⊥平 面 PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 解析: 连接 AC, 则 AC⊥BD, 因为 PA⊥平面 ABCD, BD 平面 ABCD, 所以 PA ⊥BD.又 AC∩PA=A, 所以 BD⊥平面 PAC.因为 PC 平面 PAC, 所以 BD⊥PC.所以当 DM⊥PC(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 MBD.而 PC 平面 PCD,所以平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC(或 BM⊥PC) 6.如图,检查工件的相邻两个面是否垂直时,只要用曲尺的一边 紧靠在工件的一个面上,另一边在工件的另一个面上转动,观察尺边是 否和这个面密合就可以了,其原理是利用了________. 解析:如图所示,因为 OA⊥OB,OA⊥OC,OB β,OC β,且

OB∩OC=O,根据线面垂直的判定定理,可得 OA⊥β,又 OA α, 根据面面垂直的判定定理,可得 α⊥β. 答案:面面垂直的判定定理

7.如图,已知三棱锥 PABC,∠ACB=90°,D 为 AB 的中点,且△PDB 是正三角形, PA⊥PC. 求证:(1)PA⊥平面 PBC; (2)平面 PAC⊥平面 ABC. 证明:(1)因为△PDB 是正三角形, 所以∠BPD=60°, 因为 D 是 AB 的中点, 所以 AD=BD=PD. 又∠ADP=120°,所以∠DPA=30°, 所以∠DPA+∠BPD=90°, 所以 PA⊥PB.又 PA⊥PC,PB∩PC=P, 所以 PA⊥平面 PBC. (2)因为 PA⊥平面 PBC,所以 PA⊥BC. 因为∠ACB=90°, 所以 AC⊥BC.又 PA∩AC=A, 所以 BC⊥平面 PAC. 因为 BC 平面 ABC, 所以平面 PAC⊥平面 ABC.

1 8.如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB= AD,E 是 AD 的中点,沿 BE 将△ABE 2 折起至△A′BE 的位置,使 A′C=A′D,求证:平面 A′BE⊥平面 BCDE.

证明:如图所示,取 CD 的中点 M,BE 的中点 N,连接 A′M,A′N,MN,则 MN ∥BC. 1 ∵AB= AD,E 是 AD 的中点, 2 ∴AB=AE,即 A′B=A′E. ∴A′N⊥BE.∵A′C=A′D, ∴A′M⊥CD. 在四边形 BCDE 中,CD⊥MN, 又 MN∩A′M=M,

∴CD⊥平面 A′MN. 又 A′N 平面 A′MN,∴CD⊥A′N. 1 ∵DE∥BC 且 DE= BC,∴BE 必与 CD 相交. 2 ∴A′N⊥平面 BCDE. 又 A′N 平面 A′BE, ∴平面 A′BE⊥平面 BCDE.


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