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2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1同步配套课件:第一章 §2 充分条件与必要条件_图文

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§ 2 充 分 条 件 与 必 要 条 件 理解教材 新知 知识点一 知识点二 考点一 考点二 考点三 第 一 章 把握热点 考向 应用创新 演练 § 2 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 古时候有个卖油郎叫洛孝,一天他在卖油回家的路上捡到 30 两银子,回家后其母亲叫洛孝把银子还给失主.当洛孝把银 子还给失主时,失主却说自己丢了 50 两银子,叫洛孝拿出自己 私留的 20 两银子.两人为此争执不休,告到县衙,县官听了两 人的供述后,把银子判给洛孝,失主含羞离去. 设: A:洛孝主动归还所拾银两. B:洛孝无赖银之情. C:洛孝拾到 30 两银子,失主丢失 50 两银子. D:洛孝所拾银子不是失主所丢. 问题 1:县官得到结论 B 的依据是什么?它是 B 的什么条件? 提示:A,充分条件. 问题 2:县官由 C 得出什么结论?它是 C 的什么条件? 提示:D,必要条件. 充分条件和必要条件 如果“若 p,则 q”形式的命题为真命题,即 p?q,称 p 是 q 的 充分 条件,同时称 q 是 p 的 必要 条件. 充要条件 已知:p:前年在伦敦举行第 30 届夏季奥运会. q:前年是 2012 年. 问题 1:“若 p,则 q”为真命题吗?p 是 q 的什么条件? 提示:是真命题,充分条件. 问题 2:“若 q,则 p”是真命题吗?p 是 q 的什么条件? 提示:是真命题,必要条件. 问题 3:p 是 q 的什么条件?q 是 p 的什么条件? 提示:充要条件,充要条件. (1)如果既有 p?q ,又有 q?p ,通常记作 p?q,则称 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件. (2)p 是 q 的充要条件也可以说成: p 成立当且仅当 q 成立 . (3)如果 p,q 分别表示两个命题,且它们互为充要条件,我们 称命题 p 和命题 q 是两个相互 等价 的命题. (4)若 p?q,但 q?/ p,则 p 是 q 的 充分不必要 p 的 必要不充分 条件. (5)若 p?/ q,且 q?/ p,则 p 是 q 的 既不充分也不必要 条件. 条件,q 是 充分条件与必要条件的判断,即对命题“若 p,则 q”与“若 q,则 p”进行真假判断,若是一真一假则 p 是 q 的充分不必要条 件或必要不充分条件;若是两真则 p 是 q 的充要条件;若是两假 则 p 是 q 的即不充分又不必要条件. 充分条件、必要条件的判断 [例 1] 下列各题中,p 是 q 的什么条件? (1)p:a,b,c 三数成等比数列,q:b= ac; (2)p:y+x>4,q:x>1,y>3; (3)p:a>b,q:2a>2b; (4)p:△ABC 是直角三角形,q:△ABC 为等腰三角形. [思路点拨] 可先看 p 成立时,q 是否成立,再反过来若 q 成 立时,p 是否成立,从而判定 p,q 间的关系. [精解详析] (1)若 a,b,c 成等比数列,则 b2=ac,b=± ac, 则 p?/ q;若 b= ac,当 a=0,b=0 时,a,b,c 不成等比数列, 即 q?/ p,故 p 是 q 的既不充分也不必要条件. (2)y+x>4 不能得出 x>1,y>3,即 p?/ q,而 x>1,y>3 可得 x +y>4,即 q?p,故 p 是 q 的必要不充分条件. (3)当 a>b 时,有 2a>2b,即 p?q,当 2a>2b 时,可得 a>b,即 q?p,故 p 是 q 的充要条件. (4)法一: 若△ABC 是直角三角形不能得出△ABC 为等腰三角 形,即 p?/ q;若△ABC 为等腰三角形也不能得出△ABC 为直角 三角形,即 q?/ p,故 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 法二:如图所示:p,q 对应集合间无包含关系,故 p 是 q 的 既不充分也不必要条件. [一点通] 充分必要条件判断的常用方法: (1)定义法:分清条件和结论,利用定义判断. (2)等价法:将不易判断的命题转化为它的逆否命题判断. (3)集合法: 设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},若 x 具有性质 p,则 x∈A;若 x 具有性质 q,则 x∈B. ①若 A? B,则 p 是 q 的充分不必要条件; ②若 B? A,则 p 是 q 的必要不充分条件; ③若 A=B,则 p 是 q 的充要条件; ④若 A B 且 B A,则 p 是 q 的既不充分又不必要条件. x 1.设集合 A={x| ≤0},集合 B={x||x-2|≤1},那么“m x-3 ∈A”是“m∈B”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ( ) 解析:集合 A={x|0≤x<3},集合 B={x|1≤x≤3},则由 “m ∈A”得不到 “m∈ B”,反之由“m ∈B”也得不到 “m∈A”,故选 D. 答案:D 2.对任意实数 a,b,c 给出下列命题: ①“a=b”是“ac=bc”的充要条件; ②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件; ③“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中,真命题的序号是________. 解析:①由 a=b 可得 ac=bc.但 ac=bc 时不一定有 a=b,故① 为假命题;②由“a+5 为无理数”可得“a 为无理数”, 由“a 为无理数”可得“a+5 为无理数”,②为真命题;③由“a>b” 不能得出 a2>b2,如 a=1,b=-2,③为假命题;④“由 a<5” 不能得“a<3”,而由“a<3”可得“a<5”,④为真命题. 答案:②④ 3.指出下列各组命题中 p 是 q 的什么条件,q 是 p 的什么条件, 并说明理由. (1)p:|x|=|y|,q:x=y; 1 π (2)在△ABC 中,p:sin A> ,q:A> . 2 6 解:(1)因

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