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【优化指导】高中数学 2-3-2、3课时演练(含解析)新人教版必修4

时间:2014-07-12


第二章

2.3

2 .3.2

2.3.3

1.下列各式正确的是(

)

A.a=(-2,4),b=(5,2),则 a+b=(3,6) B.a=(5,2),b=(2,4),则 a-b=(-3,2) C.a= (1,0),b=(0,1),则 a+b=(0,1) D.a=(1,1),b=(1,2),则 2a+3b=(4,8) 解析:只有 a+b=(-2,4)+(5,2)=(3,6)是正确的.故选 A. 答案:A → 2.已知 A(x,2),B(5,y-2),若AB=(4,6),则 x、y 值分别为( A.x=-1,y=0 C.x=1,y=-10 解析:∵A(x,2),B(5,y-2), → ∴AB=(5-x,y-4)=(4,6),
?5-x=4, ? ∴? ? ?y-4=6,

)

B.x=1,y=10 D.x=-1,y=-10

解得?

?x=1, ? ? ?y=10.

答案:B → → → 3. 在?ABCD 中, 已知AD=(3,7), AB=(-2,3), 对角线 AC、 BD 相交于 O 点,则CO=( )

? 1 ? A.?- ,5? ? 2 ? ?1 ? C.? ,-5? ?2 ?

? 1 ? B.?- ,-5? ? 2 ? ?1 ? D.? ,5? ?2 ?

1→ 1 → → 1 1 1 → 解析:∵CO=- AC=- (AB+AD)=- ×(-2,3)- ×(3,7)=(- ,-5),∴选 B. 2 2 2 2 2 答案:B 4.若 a+b=(-3,-4),a-b=(5,2),则向量 a=________,向量 b=________. 解析:a+b=(-3,-4),①

a-b=(5,2),②
1 ①+②,得 a= ×[(-3,-4)+(5,2)]=(1,-1); 2 1 ①-②,得 b= ×[(-3,-4)-(5,2)]=(-4,-3). 2 答案:(1,-1) (-4,-3)
-1-

→ 2 5.已知向量 a=(x+3,x -3x-4)与AB相等,其中 A(1,2),B(3,2),则 x 等于________. 解析:由题设 A(1,2),B(3,2), → 可知AB=(3-1,2-2)=(2,0). → 2 又 a=AB,即(x+3,x -3x-4)=(2,0),可得
? ?x+3=2, ? 2 ?x -3x-4=0, ?

解得 x=-1.

答案:-1 6.已知 e1=(1,2),e2= (-2,3),a=(-1,2),试以 e1,e2 为基底,将 a 分解为 λ 1e1+ λ 2e2 的形式. 解 : 设 a = λ 1e1 + λ 2e2 = λ 1(1,2) + λ 2( - 2,3) = (λ 1 - 2λ
2,

2λ 1 + 3λ 2) , 则 有

?-1=λ 1-2λ 2, ? ? ?2=2λ 1+3λ 2. ?

? ?λ 得? ? ?λ

1

1 = , 7 4 = . 7

2

1 4 所以 a= e1+ e2. 7 7

(时间:30 分钟 满分:60 分) 知识点及角度 基础 向量的坐标表示 向量的坐标运算 坐标运算的综合应用 一、选择题(每小题 4 分,共 6 分) → → 1.若 O (0,0),A(1,2)且OA′=2OA. 则 A′点坐标为( A.(1,4) C.(2,4) B. (2,2) D.(4,2) ) 3 1、2、5、6 难易度及题号 中档 4 7 9、10 稍难 8、9

→ → 解析:设 A′(x,y),OA′=(x,y),OA=(1,2), ∴(x,y)=(2,4),故选 C. 答案:C 2.已知 a=(-1,-1) , b=(2,1),则 2a-b=( A.(-4,-3) )

B.(-4,-1)
-2-

C.(0,-3)

D.(0,-1)

解析:2a-b=(-2,-2)-(2,1)=(-4,-3). 答案:A → 3.已知AB=(3,4),A(-2,-1),则 B 点的坐标是( A.(5,5) C.(1, 3) )

B.(-5,-5) D.(-5,5)

→ 解析 :设 B(x,y),AB=(x,y)-(-2,-1)=(x+2,y+1),即(x+2,y+1)=(3,4), ∴?
? ?x+2=3, ?y+1=4. ?

∴?

? ?x=1, ?y=3, ?

∴B 点的坐标为(1,3). 答案:C 4.设 a=(-1,2),b=(1,-1),c=(3,-2),且 c=pa+qb,则实数 p、q 的值分别 为( ) A.p=4,q=1 C.p=0,q=1 B.p=1,q=-4 D.p=1,q=4

解析:pa=p(-1,2)=(-p,2p),qb=q(1,-1)=(q,-q),(3,-2)=(q-p,2p-q),
?3=q-p, ? ∴? ?-2=-q+2p, ?

∴?

?p=1, ? ?q=4. ?

答案:D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) → → → 5.已知AB=(2,-1),AC=(-4,1),则BC=________. → → → 解析:BC=AC-AB=(-4,1)-(2,-1)=(-6,2). 答案:(-6,2) → → → 6. 在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线. 若AB=(2,4), AC=(1,3), 则BD等于________. → → → → → → 解析:∵AC=AB+AD,∴AD=AC-AB=(-1,-1). → → → ∴BD=AD-AB=(-3,-5). 答案:(-3,-5) → 1→ 7.已知点 M(3,-2),N(-5,-1),若MP= MN,则点 P 的坐标是________. 2 → 解析:令 P(x,y),则MP=(x-3,y+2), →

MN=(-8,1).

-3-

1 → 1→ ∵MP= MN,即(x-3,y+2)= (-8,1), 2 2

x-3=-4 ? ? ∴? 1 y+2= , ? 2 ?
3? ? 答案:?-1,- ? 2? ? 三、解答题 8.(10 分)

x=-1, ? ? 即? 3 y=- . ? 2 ?

3? ? ∴P?-1,- ?. 2? ?

已知边长为 1 的正方形 ABCD 中,AB 与 x 轴正半轴成 30°角.求点 B 和 → → 点 D 的坐标和AB与AD的坐标. 解:由题知,∠BAx=30°, ∴∠DAx=90°+30° =120°. 设 B(x1,y1),D(x2,y2). 3 3 → 则 x1=|AB|cos 30°=1× = , 2 2

y1=|AB|sin 30°=1× = ,
∴B?



1 1 2 2

? 3 1? , ?. ? 2 2?
→ →

x2=|AD|cos 120°=1×?- ?=- , 2 y2=|AD|sin 120°=1×
3? ? 1 ∴D?- , ?. ? 2 2? 3? → ? 3 1? → ? 1 ∴AB=? , ?,AD=?- , ?. 2 2 2 2 ? ? ? ? 9.(10 分)(1)已知向量 p=a+t b,q=c+s d(s、t 是任意实数),其中 a=(1,2),b= (3,0),c=(1,-1),d=(3,2),求向量 p,q 交点的坐标; (2)已知 a=(x+1,0),b=(0,x-y),c=(2,1),求满足等式 xa+b=c 的实数 x、y 的 值. 解:(1)设交点坐标为(m,n) ,则 p=(m,n),q=(m,n), 所以 p=a+tb=c+sd=q. 所以(1,2)+t(3,0)=(1,-1)+ s(3,2). 即(3t+1,2)=(3s+1,2s-1).
-4-

? 1? ? ?

1 2

3 3 = , 2 2

?3t+1=3s+1, ? 所以? ? ?2=2s-1.

3 t= , ? ? 2 所以? 3 s= . ? ? 2

所以(m,n)=(1,2)+t(3,0)=(3t+1,2)=?

?11,2?, ? ?2 ?

?11 ? 即向量 p、q 的交点坐标为? ,2?. ?2 ?
(2)因为 x a=(x +x,0 ),所以 x a+b=(x +x,x-y).
? ?x +x=2, 所以(x +x,x-y)=(2,1),所以? ?x-y=1. ?
2 2 2 2

所以?

? ?x=-2, ?y=-3 ?

或?

? ?x=1, ?y=0. ?

→ → → 10.(12 分)已知点 O(0,0),A(1,2),B(4,5),且OP=OA+tA B (t∈R),求: (1)t 为何值时,点 P 在 x 轴上?点 P 在二、四象限角平分线上?点 P 在第二象限? (2 )四边形 OABP 能否成为平行四边形?若能,求出相应的 t 值;若不能,请说明理由. → → → 解:(1)OP=O A +tAB=(1+3t,2+3t), 2 若点 P 在 x 轴上,只需 2+3t=0,t=- ; 3 1 若点 P 在二、四象限角平分线上,则 1+3t=-(2+3 t),t=- ; 2
?1+3t<0, ? 若点 P 在第二象限,则需? ? ?2+3t>0

2 1 ? - <t<- . 3 3

→ → → → (2)OA=(1,2),PB =(3-3t,3-3t),若四边形 OABP 为平行四边形,则OA=PB.
? ?3-3t=1, ? ?3-3t=2 ?

无解,故四边形 OABP 不能成为平行四边形.

-5-


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