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14-15学年第二学期高一年级数学期中考试(必修4模块)试卷

时间:2015-05-26

14-15 学年第二学期高一年级数学期中考试试卷 高一年级 数 学

班级: 姓名: 学号: 一 、选择题(本大题共 10 小题,每小题5分,共 50 分) 1. sin 390 ? ( A
0

)

A.

2.下列区间中,使函数 y ? sin x 为增函数的是( C ) A. [0, ? ] B. [

1 2

B. ?

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

? 3?
2 , 2

]

C. [ ?

? ?

3.下列函数中,最小正周期为 A. y ? sin x

? 的是( D ) 2

, ] 2 2

D. [? , 2? ]

B. y ? sin x cos x
→ → →

C. y ? tan

x 2

D. y ? cos 4 x

4.在平行四边形 ABCD 中, BC +DC+ BA 等于 ( C) A. BD


B. DB



C. BC



D. CB



5.已知 sin ? ? cos ? ? A.

1 ,则 sin 2? ? ( D ) 3
C.

2? ) 的图像, 需要将函数 y ? sin 2 x 的图像( D ) 3 2? 2? ? ? A.向左平移 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 3 3 ? ? → → → → 7.已知 a , b 满足:| a |=8,| b |=12,则| a + b |的最大值与最小值分别为(A )
6.要得到 y ? sin(2 x ? A.20,4 B.20,6 C.18,4 D.16,4 ( D ) C. cos 80 ? ? sin 80 ? D. sin 80? ? cos 80 ? 8.化简 1 ? sin 160? 的结果是 A. cos 80 ? B. ? cos 160 ?

1 2

B. ?

1 2

8 9

D. ?

8 9

9.已知 tan(? ? ? ) ? A.

1 6

2 ? 1 ? , tan( ? ? ) ? , 则 tan(? ? ) 的值为 ( C ) 5 4 4 4 22 3 13 B. C. D. 13 22 18
y

10.函数 y ? sin(?x ? ? ) 的部分图象如右图,则 ? 、 ? 可以取的一组值是( C ) A. ? ? C. ? ?

?
2

, ?? , ??
题号 答案

?
4

?
4

?
4
1

6 ? 5? D. ? ? , ? ? 4 4
2 3 4 5 6 7 8 9 10

B. ? ?

?
3

, ??

?
O 1 2 3 x

二.填空题:(每小题 5 分,共 25 分。)

11.已知扇形的圆心角为 120 ,半径为 3 ,则扇形的面积是

0

3?
; 2

12.已知点 A(2,-4),B(-6,2),则 AB 的中点 M 的坐标为 (-2,-1) → → → 13.已知在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB+AD=λAO,则 λ 为 14.函数 y ? sin x 的定义域是 15. 给出下列五个命题: ①函数 y ? 2sin(2 x ?

[2 k? , k 2 ? ? ? k]? Z
5? ; 12

.

?
3

) 的一条对称轴是 x ?

②函数 y ? tan x 的图象关于点(

? ,0)对称; 2

③正弦函数在第一象限为增函数 ④若 sin(2 x1 ?

?

) ? sin(2 x2 ? ) ,则 x1 ? x2 ? k? ,其中 k ? Z 4 4

?

以上四个命题中正确的有 ①④ (填写正确命题前面的序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,第 16、17、18 题,每题 12 分,第 19、20、21 题,每题 13 分) 16、(1)已知 cos a = -

4 ,且 a 为第三象限角,求 sin a 的值 5 4s i n ? ? 2c o s ? (2)已知 tan ? ? 3 ,计算 的值 5c o s ? ? 3s i n ?
2 2

解:(1)∵ cos ? ? sin ? ? 1 , ? 为第三象限角 ∴ sin ? ? ? 1 ? cos (2)显然 cos ? ? 0
2

? ? ? 1 ? (? ) 2 ? ?

4 5

3 5



4 s i? n ? 2 c? os 4 s i? n ? 2 c? os 4 ?t? an ? 2 ?4 3 2 cos ? ? ? ? ? 5 c o ? s ? 3 s ? i n 5 c o? s? 3s ? in ? 5 ? 3 t a n? ? 5 3 3 cos ?

5 7

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 17、已知 ? 为第三象限角, f ?? ? ? . tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )
(1)化简 f

?? ?
3? 1 ) ? ,求 f ?? ? 的值 2 5

(2)若 cos(? ?

? 3? sin(? ? ) cos( ? ? ) tan(? ? ? ) 2 2 解:(1) f ?? ? ? tan( ?? ? ? ) sin( ?? ? ? )

(? cos ? )(sin ? )( ? tan ? ) (? tan ? ) sin ? ? ? cos ? ?
(2)∵ cos(? ?

3? 1 )? 2 5

∴ ? sin ? ?

1 5

从而 sin ? ? ?

1 5

又 ? 为第三象限角∴ cos ? ? ? 1 ? sin

2

? ??

2 6 2 6 即 f (? ) 的值为 ? 5 5

18、已知 sin α+cos α=

3 5 π π 3 π π ,α∈(0, ),sin(β- )= ,β∈( , ). 5 4 4 5 4 2

(1)求 sin 2α和 tan 2α的值; (2)求 cos(α+2β)的值. 9 9 4 解:(1)由题意得(sin α+cos α)2= ,即 1+sin 2α= ,∴sin 2α= . 5 5 5 π 3 sin 2α 4 又 2α∈(0, ),∴cos 2α= 1-sin22α= ,∴tan 2α= = . 2 5 cos 2α 3 π π π π π 4 (2)∵β∈( , ),β- ∈(0, ),∴cos(β- )= . 4 2 4 4 4 5 π π π 24 于是 sin2(β- )=2sin(β- )cos(β- )= . 4 4 4 25 π 24 又 sin 2(β- )=-cos 2β,∴cos 2β=- . 4 25 π 7 又 2β∈( ,π),∴sin 2β= . 2 25 1+cos 2α 4 3 5 又 cos2α= = ,sin α+cos α= , 2 5 5 2 5 5 π ∴cos α= ,sin α= (α∈(0, )). 5 5 4 ∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β = 2 5 24 5 7 11 5 ×(- )- × =- . 5 25 5 25 25

19、某港口的水深 y (米)是时间 t ( 0 ? t ? 24 ,单位:小时)的函数,下面是每天时间与水深的关系 表:

t
y

0 10

3 13

6 9.9

9 7

12 10

15 13

18 10.1

21 7

24 10

经过长期观测, y ? f (t ) 可近似的看成是函数 y ? A sin ?t ? b (1)根据以上数据,求出 y ? f (t ) 的解析式 (2)若船舶航行时,水深至少要 11.5 米才是安全的,那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该

港?

13 ? 7 13 ? 7 ? 10 , A ? ?3 2 2 2? 2? ? 9 ,? ? 且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 9,因此 T ? , ? 9 2? t ? 10 ( 0? t ? 2 4 ) 故 f (t ) ? 3sin 9 2? t ? 10 ? 11.5 (2)要想船舶安全,必须深度 f (t ) ? 11.5 ,即 3sin 9 2? 1 ? 2? 5? 3 15 t? 2 k? ? ? t? ? 2 k? ? 9k k ? Z ∴ sin 解得: 9k ? ? t ? 9 2 6 9 6 4 4 又 0 ? t ? 24 3 3 3 3 3 3 当 k ? 0 时, ? t ? 3 ;当 k ? 1 时, 9 ? t ? 12 ;当 k ? 2 时, 18 ? t ? 21 4 4 4 4 4 4
解:(1)由表中数据可以看到:水深最大值为 13,最小值为 7, h ? 故船舶安全进港的时间段为 (0 : 45 ? 3: 45) , (9 : 45 ? 12 : 45) , (18: 45 ? 21: 45) π π π 20、已知函数 f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ ). 3 4 4 (1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称轴; π π (2)求函数 f(x)在区间[- , ]上的值域. 12 2 π π π 1 3 解:(1)f(x)=cos(2x- )+2sin(x- )sin(x+ )= cos 2x+ sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) 3 4 4 2 2 1 3 1 3 π = cos 2x+ sin 2x+sin2x-cos2x= cos 2x+ sin 2x-cos 2x=sin(2x- ). 2 2 2 2 6 2π π π kπ π ∴最小正周期 T= =π,由 2x- =kπ+ (k∈Z),得 x= + (k∈Z). 2 6 2 2 3 kπ π ∴函数图象的对称轴为 x= + (k∈Z). 2 3 π π π π 5π (2)∵x∈[- , ],∴2x- ∈[- , ], 12 2 6 3 6 ∴- 3 π ≤sin(2x- )≤1, 2 6

π π 3 即函数 f(x)在区间[- , ]上的值域为[- ,1].. 12 12 2 21、已知函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x 。 (Ⅰ)求 f ( x) 的周期和振幅; (Ⅱ)在给出的方格纸上用五点作图法作出 f ( x) 在一个周期内的图象。

(Ⅲ)写出函数 f ( x) 的递减区间。

解:(Ⅰ) y ? 2( sin x ?

1 2

? ? ? 3 cos x) = 2(sin x cos ? cos x sin ) = 2 sin( x ? ) 3 3 3 2

函数 f ( x) 的周期为 T= 2? ,振幅为 2。 (Ⅱ)列表:
x
x? ?

?
3

? 6 ? 2

2? 3

7? 6 3? 2

5? 3
2?

?
3

0

?

y ? 2 sin( x ?

?
3

)

0

2

0

-2

0

图象如上(作图不规范者扣 1 分)。 (Ⅲ)由 2k? ?

?

7? (k ? Z ) 6 6 ? 7? ], (k ? Z ) 所以函数的递减区间为 [2k? ? ,2k? ? 6 6 2k? ? ? x ? 2k? ?

?

2

? x?

?
3

? 2k? ?

3? (k ? Z ) 解得: 2


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