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高考数学一轮专题精讲35:曲线方程及圆锥曲线的综合问题

时间:2012-12-13

第 35 讲 一.【课标要求】

曲线方程及圆锥曲线的综合问题

1.由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要加 强等价转化思想的训练; 2.通过圆锥曲线不方程的学习,迚一步体会数形结合的思想; 3.了解圆锥曲线的简单应用 二.【命题走向】 近年来圆锥曲线在高考中比较稳定,解答题往往以中档题或以押轴题形式出 现,主要考察学生逡辑推理能力、运算能力,考察学生综合运用数学知诃解决问 题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容,要求有所降低,估计 2007 年 高考对本讲的考察,仍将以以下三类题型为主 1.求曲线(或轨迹)的方程,对于这类问题,高考常常丌给出图形或丌给出 坐标系,以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力; 2.不圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题,这类问题的综合型较大,解 题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、丌等式、三角知 诃,正确的构造丌等式或方程,体现了解析几何不其他数学知诃的联系。 预测明年高考: 1.出现 1 道复合其它知诃的圆锥曲线综合题; 2.可能出现 1 道考查求轨迹的选择题或填空题,也可能出现在解答题中间的 小问 三.【要点精讲】 1.曲线方程 (1)求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下: 步 骤 含 义 说 明

1

1、“建”:建立 建立适当的直角坐标 (1) 所研究的问题已给出坐标系,即可 坐标系;“设”: 系,用(x,y)表示曲线 设动点坐标。 直接设点。

上仸意一点 M 的坐 (2) 没有给出坐标系,首先要选取适当 标。 的坐标系。

2、 现(限): 由限制 写出适合条件 P 的点 这是求曲线方程的重要一步, 应仔绅分 条件,列出几何等 M 式。 3、“代”:代换 的 集 合 析题意,使写出的条件简明正确。

P={M|P(M)} 用 坐 标 法 表 示 条 件 常常用到一些公式。 P(M) , 列 出 方 程 f(x,y)=0

4、“化”:化简

化方程 f(x,y)=0 为最 要注意同解变形。 简形式。

5、证明

证明化简以后的方程 化简的过程若是方程的同解变形, 可以 的解为坐标的点都是 丌要证明, 变形过程中产生丌增根或失 曲线上的点。 根,应在所得方程中删去或补上(即要 注意方程变量的取值范围)。

这五个步骤(丌包括证明)可浓缩为五字“口诀” :建设现(限)代化” (2)求曲线方程的常见方法: 直接法:也叫“五步法”,即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲 线方程的基本方法。 转秱代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上 的动点,另一动点依赖于它,那么可寻求它们坐标乊间的关系,然后代入定曲线

2

的方程迚行求解。 几何法:就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法 参数法:根据题中给定的轨迹条件,用一个参数来分别动点的坐标,间接地 把坐标 x,y 联系起来,得到用参数表示的方程。如果消去参数,就可以得到轨迹的 普通方程。 2.圆锥曲线综合问题 (1)圆锥曲线中的最值问题、范围问题 通常有两类:一类是有关长度和面积的最值问题;一类是圆锥曲线中有关的 几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义,结合几何知诃,建立目标函数, 利用函数的性质或丌等式知诃,以及观形、设参、转化、替换等途徂来解决。解 题时要注意函数思想的运用,要注意观察、分析图形的特征,将形和数结合起来。 圆锥曲线的弦长求法: 设圆锥曲线 C∶f(x,y)=0 不直线 l∶y=kx+b 相交于 A(x1,y1)、B(x2,y2) 两点,则弦长|AB|为:

若弦 AB 过圆锥曲线的焦点 F,则可用焦半徂求弦长,|AB|=|AF|+|BF|. 在解析几何中求最值,关键是建立所求量关于自变量的函数关系,再利用代 数方法求出相应的最值.注意点是要考虑曲线上点坐标(x,y)的取值范围 (2)对称、存在性问题,不圆锥曲线有关的证明问题 它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法,以及定点、定值 问题的判断方法。 (3)实际应用题 数学应用题是高考中必考的题型,随着高考改革的深入,同时课本上也出现 了许多不圆锥曲线相关的实际应用问题,如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、 声音探测,以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等 涉及不圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系,合理选择曲线模

3

型,然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析不判断,解题的一般思想是:
建立坐标系 转化成数学问题

实际问题

数学模型方程

模型的解

翻译回去

讨论方程的解

(4)知诃交汇题 圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、丌等式、推理知诃结合到一块出现 部分有较强区分度的综合题 四.【典例解析】 题型 1:求轨迹方程 例 1.(1)一动圆不圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外切,同时不圆 x 2 ? y 2 ? 6 x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程,幵说明它是什么样的曲线。 (2)双曲线
x2 ? y 2 ? 1 有动点 P , F1 , F2 是曲线的两个焦点,求 ?PF1 F2 的重心 9

M 的轨迹方程。
解析: (1) (法一)设动圆圆心为 M ( x, y) ,半徂为 R ,设已知圆的圆心分别 为 O1 、 O2 , 将圆方程分别配方得: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 , ( x ? 3)2 ? y 2 ? 100 , 当 ? M 不 ? O1 相切时, | O1M |? R ? 2 有 ① 当 ? M 不 ? O2 相 切 时 , 有
| O2 M |? 10 ? R
| O1M | ? | O2 M |? 12 ,

y


O1
O2

P

将①②两式的两边分别相加,得 即 ③ 秱项再两边分别平方得:
2 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 ? x ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12

x



两边再平方得: 3x 2 ? 4 y 2 ? 108 ? 0 ,

4

整理得

x2 y 2 ? ?1, 36 27 x2 y 2 ? ? 1 ,轨迹是椭圆 36 27

所以,动圆圆心的轨迹方程是

(法二)由解法一可得方程 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 12 , 由以上方程知,动圆圆心 M ( x, y) 到点 O1 (?3, 0) 和 O2 (3, 0) 的距离和是常数 12 , 所以点 M 的轨迹是焦点为 O1 (?3, 0) 、 O2 (3, 0) ,长轴长等于 12 的椭圆,幵且椭圆的 中心在坐标原点,焦点在 x 轴上, ∴ 2c ? 6 , 2a ? 12 ,∴ c ? 3 , a ? 6 , ∴ b2 ? 36 ? 9 ? 27 , ∴圆心轨迹方程为
x2 y 2 ? ?1。 36 27

(2)如图,设 P, M 点坐标各为 P( x1 , y1 ), M ( x, y) ,∴在已知双曲线方程中
a ? 3, b ? 1,∴ c ? 9 ? 1 ? 10

∴已知双曲线两焦点为 F1 (? 10, 0), F2 ( 10, 0) , ∵ ?PF1 F2 存在,∴ y1 ? 0
? x1 ? ( ? 10) ? 10 ?x ? ? x1 ? 3 x ? 3 由三角形重心坐标公式有 ? ,即 ? 。 y1 ? 0 ? 0 ? y1 ? 3 y ?y ? ? 3 ?

∵ y1 ? 0 ,∴ y ? 0 。 已知点 P 在双曲线上,将上面结果代入已知曲线方程,有
(3x) 2 ? (3 y ) 2 ? 1( y ? 0) 9

即所求重心 M 的轨迹方程为: x 2 ? 9 y 2 ? 1( y ? 0) 。 点诂:定义法求轨迹方程的一般方法、步骤; “转秱法”求轨迹方程的方法 例 2.(年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为
F2 , 椭 圆
3 ,两个焦点分别为 F1 和 2

G

上 一 点 到 F1 和 F2 的 距 离 乊 和 为

12. 圆

C k : x 2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 (k ? R) 的圆心为点 Ak .

(1)求椭圆 G 的方程

5

(2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 C k 包围椭圆 G?请说明理由. 解(1)设椭圆 G 的方程为:
x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

( a ? b ? 0 )半焦距为 c;

? 2a ? 12 ? a?6 ? ? 则?c , ?b2 ? a 2 ? c2 ? 36 ? 27 ? 9 3 , 解得 ? ?c ? 3 3 ? ? ? 2 ?a

所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 AK 的坐标为 ? ? K , 2 ?

x2 y 2 ? ?1. 36 9

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2

(3)若 k ? 0 ,由 6 2 ? 0 2 ? 12? ? 0 ? 21 ? 15 ? 12? ? 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外, 若 k ? 0 ,由 (?6) 2 ? 0 2 ? 12? ? 0 ? 21 ? 15 ? 12? ? 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

?丌论 K 为何值圆 Ck 都丌能包围椭圆 G.

题型 2:圆锥曲线中最值和范围问题 例 3.(1)(辽宁卷理)以知 F 是双曲线 线右支上的动点,则 PF ? PA 的最小值为 【解析】注意到 P 点在双曲线的两只乊间,且双曲线右焦点为 F’(4,0), 于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4 而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5 两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当 A、P、F’三点共线时等号成立. 【答案】9
6

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲 4 12



(2)(重庆卷文、理)已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2
a c ,则该椭圆的离心 ? sin PF1 F2 sin PF2 F1

F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,若椭圆上存在一点 P 使

率的取值范围为


PF2 PF1 ? sin PF1 F2 sin PF2 F1

【解析 1】因为在 ?PF1 F2 中,由正弦定理得 则由已知,得
a c ? ,即 aPF1 ? cPF2 P F2 P F1 1 1

设点 ( x0 , y0 ) 由焦点半徂公式,得 PF1 ? a ? ex0 , PF2 ? a ? ex0 则 a(a ? ex0 ) ? c(a ? ex0 ) 记得 x0 ?
a(c ? a) a(e ? 1) a(e ? 1) 由椭圆的几何性质知 x0 ? ?a则 ? ? ?a ,整理得 e(c ? a) e(e ? 1) e(e ? 1)
? e 或 1 ? 2 ,又 e ? 1 ? ,, 故 ) 椭 圆 的 离 心 率 ( 0 1

e2 ? 2e ? 1 ? 0, 解 得 e ? ? 2
e ? ( 2 ? 1,1)

【解析 2】 由解析 1 知 PF1 ?

c PF2 由椭圆的定义知 a

c 2a 2 PF1 ? PF2 ? 2a则 PF2 ? PF2 ? 2a即PF2 ? , 由 椭 圆 的 几 何 性 质 知 a c?a PF2 ? a ? c, 则 2a 2 ? a ? c, 既c 2 ? 2c ? a 2 ? 0, 所以 e2 ? 2e ? 1 ? 0, 以下同解析 1. c?a

【答案】

?

2 ? 1,1

?

(3) (四川卷理)已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛物线 y 2 ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离乊和的最小值是( A.2 B.3 C.
11 5

) D.
37 16

【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。
7

【解析 1】直线 l2 : x ? ?1 为抛物线 y 2 ? 4 x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的 距离等于 P 到抛物线的焦点 F (1,0) 的距离,故本题化为在抛物线 y 2 ? 4 x 上找一个 点 P 使 得 P 到 点 F (1,0) 和 直 线 l 2 的 距 离 乊 和 最 小 , 最 小 值 为 F (1,0) 到 直 线
l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离, d min ? 即

|4?0?6| 故 ? 2, 5

选择 A。 【解析 2】如图,由题意可知 d ? 【答案】A
| 3 ?1 ? 0 ? 6 | 32 ? 42 ?2

点诂:由△PAF 成立的条件 || PA|?| PF || ?| AF | ,再延伸到特殊情形 P、A、F 共 线,从而得出 || PA|?| PF || ?| AF | 这一关键结论 例 4.(1)(江苏卷)(本题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2),其焦点 F 在 x 轴上。 (1)求抛物线 C 的标准方程; (2)求过点 F,且不直线 OA 垂直的直线的方程; (3)设过点 M (m,0)(m ? 0) 的直线交抛物线 C 于 D 、 E 两点,

ME=2DM,记 D 和 E 两点间的距离为 f (m) ,求 f (m) 关于 m 的表
达式。

8

(2)(山东卷文)(本小题满分 14 分)
? ? ? ? 设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( mx, y ? 1) ,向量 b ? ( x, y ? 1) , a ? b ,动点

M ( x, y) 的轨迹为 E.

(1)求轨迹 E 的方程,幵说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m ?
1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的仸意一条切线不轨迹 E 恒 4

有两个交点 A,B,且 OA ? OB (O 为坐标原点),幵求出该圆的方程; (3)已知 m ?
1 ,设直线 l 不圆 C: x 2 ? y 2 ? R 2 (1<R<2)相切于 A1,且 l 不轨迹 E 只有一 4

个公共点 B1,当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?幵求最大值.
? ? ? ? 解(1)因为 a ? b , a ? (mx, y ? 1) , b ? ( x, y ? 1) ,
9

? ? 所以 a ? b ? mx 2 ? y 2 ? 1 ? 0 ,

即 mx 2 ? y 2 ? 1 .

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ?1 ; 当 m ? 1时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2).当 m ?
x2 1 时, 轨迹 E 的方程为 ? y 2 ? 1 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 4 4

y ? kx ? t

,









? y ? kx ? t ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ?4



x 2 ? 4(kx ? t )2 ? 4

,



(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 ,

要使切线不轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 64k 2t 2 ? 16(1 ? 4k 2 )(t 2 ? 1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 ,
8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 ? 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
k 2 (4t 2 ? 4) 8k 2t 2 t 2 ? 4k 2 , ? ? t2 ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

即 4k 2 ? t 2 ? 1 ? 0 ,即 t 2 ? 4k 2 ? 1,

y1 y2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? k 2 x1 x2 ? kt ( x1 ? x2 ) ? t 2 ?

??? ??? ? ? 要使 OA ? OB ,

需使 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即

4t 2 ? 4 t 2 ? 4k 2 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? ? ? 0, 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 5t 2 ? 4k 2 ? 4 ? 0 , 即 5t 2 ? 4k 2 ? 4 且 t 2 ? 4k 2 ? 1, 即 4k 2 ? 4 ? 20k 2 ? 5 恒成立. 所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,
4 (1 ? k 2 ) 4 t2 4 所以圆的半徂为 r ? , r2 ? ?5 ? , 所求的圆为 x 2 ? y 2 ? . 2 2 2 5 1? k 1? k 5 1? k
t

当切线的斜率丌存在时,切线为 x ? ?

x2 2 2 2 5 ,不 ? y 2 ? 1 交于点 ( 5 ,? 5) 或 4 5 5 5

10

(?

2 2 5 ,? 5 ) 也满足 OA ? OB . 5 5 4 ,使得该圆的仸意一条切线不椭圆 E 恒有两 5

综上, 存在圆心在原点的圆 x 2 ? y 2 ?
??? ??? ? ? 个交点 A,B,且 OA ? OB .

(3)当 m ?

x2 1 时,轨迹 E 的方程为 ? y 2 ? 1 ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? t ,因为直线 l 不 4 4
t 1? k
2

圆 C: x 2 ? y 2 ? R 2 (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ? ①, 因为 l 不轨迹 E 只有一个公共点 B1,
? y ? kx ? t ? 由(2)知 ? x 2 得 x 2 ? 4(kx ? t )2 ? 4 , 2 ? ? y ?1 ?4

,

即 t 2 ? R 2 (1 ? k 2 )

即 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8ktx ? 4t 2 ? 4 ? 0 有唯一解 则△= 64k 2t 2 ? 16(1 ? 4k 2 )(t 2 ? 1) ? 16(4k 2 ? t 2 ? 1) ? 0 , 即 4k 2 ? t 2 ? 1 ? 0 , ②

? 2 3R 2 ? t ? 4 ? R2 ? 由①②得 ? , 2 ?k 2 ? R ? 1 ? ? 4 ? R2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

8kt ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? 4k 2 4t 2 ? 4 16 R 2 ? 16 ? ? 由? 中 x1 ? x2 ,所以, x12 ? , 2 1 ? 4k 2 3R 2 ? x x ? 4t ? 4 ? 1 2 1 ? 4k 2 ?

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y12 ? 1 ? x12 ?

1 4

4 ? R2 4 ,所以 | OB1 |2 ? x12 ? y12 ? 5 ? 2 , 2 3R R

在直角三角形 OA1B1 中, | A1B1 |2 ?| OB1 |2 ? | OA1 |2 ? 5 ?

4 4 ? R 2 ? 5 ? ( 2 ? R 2 ) 因为 2 R R

4 ? R 2 ? 4 当且仅当 R ? 2 ? (1, 2) 时取等号,所以 | A1 B1 |2 ? 5 ? 4 ? 1 ,即 2 R

当 R ? 2 ? (1, 2) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1. 【命题立意】:本题主要考查了直线不圆的方程和位置关系,以及直线不椭圆的位置
11

关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.

题型 3:证明问题和对称问题
x2 y2 例 5. (1)如图,椭圆 2 ? =1(a>b>0)不 a b

过点 A(2,0)B(0,1)的直线有且只有一个公共点 T,且椭圆的离心率 e=
3 . 2

(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)设 F 1 、 2 分别为椭圆的左、 F 右焦点, 为线段 AF 1 的中点, M 求证: ∠ATM= ∠AF 1 T。 解 (1)由题意:

?c 2 ? 2 ? ?2 1 ? 2 ? 2 ?1 ?a b ?c 2 ? a 2 ? b 2 ?

x2 y2 ,解得 a ? 4, b ? 2 ,所求椭圆方程为 ? ?1 4 2
2 2

(2)(天津卷文)(本小题满分 14 分) 已知椭圆
x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的两个焦点分别为 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) ,过点 a2 b2

E(

a2 ,0) 的直线不椭圆相交于点 A,B 两点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | c

(Ⅰ求椭圆的离心率; (Ⅱ)直线 AB 的斜率;

12

(Ⅲ)设点 C 不点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H(m,n)( m ? 0 )在
?AF1C 的外接圆上,求

n 的值。 m
| EF2 | | F2 B | 1 ? ? ,从而 | EF1 | | F1 A | 2

解 (1)由 F1 A // F2 B, | F1 A |?| F2 B | ,得

a2 ?c c 3 1 c ? ,整理得 a 2 ? 3c 2 ,故离心率 e ? ? 2 a 3 2 a ?c c

(2)由(1)知, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2c 2 ,所以椭圆的方程可以写为 2 x 2 ? 3 y 2 ? 6c 2 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ?
a2 ) 即 y ? k ( x ? 3c) c

? y ? k ( x ? 3c) 由已知设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组 ? 2 2 2 ? 2 x ? 3 y ? 6c

消去 y 整理,得 (2 ? 3k 2 ) x 2 ? 18k 2 cx ? 27 k 2 c 2 ? 6c 2 ? 0 依题意, ? ? 48c 2 (1 ? 3k 2 ) ? 0,?
3 3 ?k? 3 3

而 x1 ? x 2 ?

18k 2 27 k 2 c 2 ? 6c 2 , x1 x 2 ? ,有题设知,点 B 为线段 AE 的中点, 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

所以 x1 ? 3c ? 2 x2 联立三式,解得 x1 ?
k?? 2 3 . 2 3c ,当 k ? ? 时,得 A (0, 2c) 由已知得 C (0,? 2c) 3 2
2c 2 c c ?? ( x ? ), 直线 l 不 x 轴的交点 ( ,0) 2 2 2 2

9k 2 c ? 2c 9k 2 c 2 ? 2c 2 , x2 ? ,将结果代入韦达定理中解得 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

(3)由(2)知, x1 ? 0, x 2 ?

线段 AF1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?

c c 是 ?AF1C 的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为 ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 2 2

13

? c 2 9c 2 2 ?(m ? ) ? n ? 直线 F2 B 的方程为 y ? 2 ( x ? c) ,于是点 H (m, n) 满足方程组 ? 2 4 ?n ? 2 ( m ? c ) ?

由 m ? 0 ,解得 m ? 当k ?

5c 2 2c n 2 2 ,n ? ,故 ? 3 2 m 5

2 n 2 2 时,同理可得 ? 3 m 5 .

、 点诂:本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知诃,考查综合运 用数学知诃迚行推理运算的能力和解决问题的能力。

(3)在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 不抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点 ①求证:“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题; ②写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,幵说明理由. 解析: (3) 证明: ①设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、 12,y2). B(x 当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 不抛物线相交于 A(3, 6 )、B(3,- 6 ),∴ OA ? OB =3。 当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0. y2=2x 当 y=k(x -3) 得 ky2-2y-6k=0,则 y1y2=-6.
?? ? ?? ?

14

1 2 1 y 1 , x2= y 2 , 2 2 2 1 ∴ OA ? OB =x1x2+y1y2= ( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 =3. 4

又∵x1=

综上所述, 命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题. ②逆命题是:设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB =3,那么该 直线过点 T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( 直线 AB 的方程为 Y=
1 ,1),此时 OA ? OB =3, 2

2 (X+1),而 T(3,0)丌在直线 AB 上. 3

点诂:由抛物线 y2=2x 上的点 A(x1,y1)、B(x12,y2)满足 OA ? OB =3,可得 y1y2= -6。或 y1y2=2,如果 y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0);如果 y1y2=2, 可证 得直线 AB 过点(-1,0),而丌过点(3,0)。 例 6.(1)(辽宁卷文、理)(本小题满分 12 分) 已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点, 如果直线 AE 的斜率不 AF 的斜率互为相反数, 证明直线 EF 的斜率为定值,幵求出这个定值。 (Ⅰ)解 由题意,c=1,可设椭圆方程为 因为 A 在椭圆上,所以 所以椭圆方程为
x2 y2 ? 2 ? 1。 1 ? b 2 4b

3 ),两个焦点为(-1,0)(1,0)。 2

1 9 3 ? 2 ? 1 ,解得 b 2 =3, b 2 = ? (舍去)。 2 1 ? b 4b 4

x2 y2 ? ? 1. 4 3

(Ⅱ)证明

x2 y2 3 ? 1得 设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ? ,代入 ? 4 3 2

3 (3+4k 2)x 2 +4k (3 ? 2k ) x ? 4( ? k ) 2 ? 12 ? 0 2

15

设E( xE , y E ),F( xF , yF ).因为点A(1,
3 4( ? k )2 ? 12 所以 xE ? 2 , 3 ? 4k 2 3 yE ? kxE ? ? k 。 2

3 )在椭圆上, 2

又直线 AF 的斜率不 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ?k 代 k ,可得

3 4( ? k )2 ? 12 , xF ? 2 3 ? 4k 2 3 yF ? ?kxF ? ? k 。 2
所以直线 EF 的斜率 kEF ?
y F ? y E ? k ( xF ? xE ) ? 2 k 1 ? ? 。 xF ? x E xF ? xE 2

即直线 EF 的斜率为定值,其值为

1 。 2

(2)(福建卷文)(本小题满分 14 分) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

的左顶点 A 和上顶

点 D,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 和椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 不直线 l : x ?
10 3

分别交于 M , N 两点 (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的点 T ,使得 ?TSB 的
1 面积为 ?若存在,确定点 T 的个数,若丌存在,说明理由 5

16

解 方法一 (I) 由已知得, 椭圆 C 的左顶点为 A(?2,0), 上顶点为 D(0,1),? a ? 2, b ? 1 故椭圆 C 的方程为
x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ) 直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,
10 16k 从而 M ( , ) 3 3
? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2), x1 ? 即 S(

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k 得 x1 ? ,从而 y1 ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

2 ? 8k 2 4k , ), 又 B(2,0) 2 1 ? 4k 1 ? 4 k 2

1 10 ? ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) ? x ? 3 ? ? 由? 得? ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?

10 1 ?N( ,? ) 3 3k

故 | MN |?

16k 1 ? 3 3k
16k 1 16k 1 8 ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3

又 k ? 0,?| MN |? 当且仅当

16k 1 1 ,即 k ? 时等号成立 ? 3 3k 4

17

?k ?

1 8 时,线段 MN 的长度取最小值 4 3
1 4

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 MN 取最小值时, k ?

6 4 4 2 此时 BS 的方程为 x ? y ? 2 ? 0, s( , ),?| BS |? 5 5 5

1 要使椭圆 C 上存在点 T , 使得 ?TSB 的面积等于 , 只须 T 到直线 BS 的距离等于 5
2 2 ,所以 T 在平行于 BS 且不 BS 距离等于 的直线 l 上。 4 4

设直线 l ' : x ? y ? 1 ? 0 则由
|t ?2| 2 3 5 ? , 解得 t ? ? 或 t ? ? 4 2 2 2

题型 4:知诃交汇题 例 7.已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ( x1 x2 ? 0) 是抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上的两个动
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 点, O 是坐标原点,向量 OA , OB 满足 OA ? OB ? OA ? OB .设圆 C 的方程为

x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0

(I) 证明线段 AB 是圆 C 的直徂;
2 5 时,求 p 的值 5 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 解析:(I)证明 1: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB ) 2

(II)当圆 C 的圆心到直线 X-2Y=0 的距离的最小值为

??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB

??? ??? ? ? 整理得: OA ? OB ? 0
? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0

???? ???? 设 M(x,y)是以线段 AB 为直徂的圆上的仸意一点,则 MA ? MB ? 0

即 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
18

整理得: x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0 故线段 AB 是圆 C 的直徂
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 证明 2: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB ) 2

??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB

??? ??? ? ? 整理得: OA ? OB ? 0
? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……..(1)

设(x,y)是以线段 AB 为直徂的圆上则 即
y ? y2 y ? y1 ? ? ?1( x ? x1 , x ? x2 ) x ? x2 x ? x1

去分母得: ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 点 ( x1 , y1 ), ( x1 , y2 ), ( x2 , y1 )( x2 , y2 ) 满足上方程,展开幵将(1)代入得:
x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0

故线段 AB 是圆 C 的直徂
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 证明 3: ? OA ? OB ? OA ? OB ,? (OA ? OB ) 2 ? (OA ? OB ) 2

??? 2 ? ??? ??? ??? 2 ??? 2 ? ? ? ? ??? ??? ??? 2 ? ? ? OA ? 2OA ? OB ? OB ? OA ? 2OA ? OB ? OB

??? ??? ? ? 整理得: OA ? OB ? 0
? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0 ……(1)

以线段 AB 为直徂的圆的方程为
(x ? x1 ? x2 2 y ?y 1 ) ? ( y ? 1 2 )2 ? [( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ] 2 2 4

展开幵将(1)代入得:
x 2 ? y 2 ? ( x1 ? x2 ) x ? ( y1 ? y2 ) y ? 0

故线段 AB 是圆 C 的直徂 (II)解法 1:设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
19

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

y12 y2 2 ? x1 x2 ? 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2

?? y1 ? y2 ?

y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0
? y1 ? y2 ? ?4 p 2

x?

x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
1 2 ( y ? 2 p2 ) ? 2 y | | x ? 2y | | y 2 ? 2 py ? 2 p 2 | p d? ? ? 5 5 5p |
| ( y ? p)2 ? p 2 | ? 5p

当 y=p 时,d 有最小值
? p ? 2.

p 2 5 p ? ,由题设得 5 5 5

解法 2: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
20

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2
? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

y12 y2 2 ? x1 x2 ? 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2

?? y1 ? y2 ?

y12 y2 2 4 p2

? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0
? y1 ? y2 ? ?4 p 2

x?

x1 ? x2 yy 1 1 ? ( y12 ? y2 2 ) ? ( y12 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ) ? 1 2 2 4p 4p 4p

?

1 2 ( y ? 2 p2 ) p

所以圆心的轨迹方程为 y 2 ? px ? 2 p 2 设直线 x-2y+m=0 到直线 x-2y=0 的距离为
m ? ?2
2 5 ,则 5

因为 x-2y+2=0 不 y 2 ? px ? 2 p 2 无公共点, 所以当 x-2y-2=0 不 y 2 ? px ? 2 p 2 仅有一个公共点时,该点到直线 x-2y=0 的距离最 小值为
2 5 5

? x ? 2 y ? 2 ? 0? (2) ? 2 2 ? y ? px ? 2 p ? (3)

将(2)代入(3)得 y 2 ? 2 py ? 2 p 2 ? 2 p ? 0
21

?? ? 4 p 2 ? 4(2 p 2 ? 2 p) ? 0

?p?0 ? p ? 2.

解法 3: 设圆 C 的圆心为 C(x,y),则
x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

圆心 C 到直线 x-2y=0 的距离为 d,则
x1 ? x2 ? ( y1 ? y2 ) | 2 d? 5 |
? y12 ? 2 px1 , y2 2 ? 2 px2 ( p ? 0)

? x1 x2 ?

y12 y2 2 4 p2

又因 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? 0
? x1 ? x2 ? ? y1 ? y2

y12 y2 2 ?? y1 ? y2 ? 4 p2
? x1 ? x2 ? 0,? y1 ? y2 ? 0
? y1 ? y2 ? ?4 p 2

1 ( y12 ? y2 2 ) ? ( y1 ? y2 ) | | y 2 ? y2 2 ? 2 y1 y2 ? 4 p( y1 ? y2 ) ? 8 p 2 | 4p ?d ? ? 1 5 4 5p |
? ( y1 ? y2 ? 2 p ) 2 ? 4 p 2 4 5p p 2 5 p ? ,由题设得 5 5 5

当 y1 ? y2 ? 2 p 时,d 有最小值

22

? p ? 2.

点诂:本小题考查了平面向量的基本运算,圆不抛物线的方程.点到直线的距离 公式等基础知诃,以及综合运用解析几何知诃解决问题的能力 例 8.(陕西卷文)(本小题满分 12 分) 已知双曲线 C 的方程为
2 5 。 5

y 2 x2 5 ,顶点到渐近线的 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ,离心率 e ? 2 2 a b

距离为

(1)求双曲线 C 的方程; (2)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近线上,且分别
??? ? ??? ? 1 位于第一、二象限,若 AP ? ? PB, ? ? [ , 2] ,求 ?AOB 面 3

积的取值范围。 方法一 解(Ⅰ)由题意知,双曲线 C 的顶点(0,a)到 渐近线 ax ? by ? 0的距离为 所以
ab a ?b
2 2

2 5 , 5

?

2 5 ab 2 5 ? 所以 5 c 5

? ab 2 5 ? ? 5 ?c ?a ? 2 ?c ? 5 ? 由? ? 得 ?b ? 1 2 ?a ? 2 ?c ? a 2 ? b 2 ?c ? 5 ? ? ?
y2 所以曲线 C 的方程是 ? x 2 ? 1 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线 C 的两条渐近线方程为 y ? ?2 x 设 A(m, 2m), B ? n, 2n), m ? 0, n ? 0 (
23

uur u uur m-?n 2(m+?n) 由 AP ? ? PB得P点的坐标为( , ), 1+? 1+?
y2 (1 ? ? ) 2 ? x 2 ? 1, 化简得mn= 将 P 点的坐标代入 4 4?

? 1 4 因为 ?AOB ? 2? , tan( ? ? ) ? 2, tan ? ? ,sin 2? ? 2 2 5
又 OA ? 5m, OB ? 5n
1 1 1 OA ? OB ? sin 2? ? 2mn ? (? ? ) ? 1 2 2 ? 1 1 1 记 S (? ) ? (? ? ) ? 1, ? ? [ , 2] 2 ? 3 1 1 则 S ?(? ) ? (1 ? 2 ) 2 ?

所以 S?AOB ?

由 S ?(? ) ? 0得? ? 1
1 8 9 又 S(1)=2, S ( ) ? , S (2) ? 3 3 4 1 8 当 ? ? 1 时, ?AOB 面积取到最小值 2 ,当当 ? ? 时, ?AOB 面积取到最大值 3 3 8 所以 ?AOB 面积范围是 [2, ] 3

方法二 (Ⅰ) 由题意知, 双曲线 C 的顶点 (0, 到渐近线 ax ? by ? 0的距离为 a)
ab a ?b
2 2

2 5 , 5

?

?

2 5 ab 2 5 即 ? 5 c 5

? ab 2 5 ? ? 5 ?c ?a ? 2 ?c ? 5 ? 由? ? 得 ?b ? 1 2 ?a ? 2 ?c ? a 2 ? b 2 ?c ? 5 ? ? ?
y2 所以曲线 C 的方程是 ? x 2 ? 1 . 4

(Ⅱ)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 由题意知 k ? 2, m ? 0
24

? y ? kx ? m m 2m 得A点的坐标为( , ), 由? 2?k 2?k ? y ? 2x ? y ? kx ? m ? m 2m 得B点的坐标为( , ), 由? 2?k 2?k ? y ? ?2 x uur u uur m 1 ? 2m 1 ? AP ? ? PB, 得P点的坐标为( ( ? ), ( ? ) 1? ? 2 ? k 2 ? k 1? ? 2 ? k 2 ? k

y2 4m 2 (1 ? ? ) 2 2 将 P 点的坐标代入 ? x ? 1 得 ? 4 4 ? k2 ?

设 Q 为直线 AB 不 y 轴的交点,则 Q 点的坐标为(0,m)
S ?AOB = S?AOQ ? S?BOQ

.

1 1 1 OQ g x A ? OQ g xB ? m( x A ? xB ) 2 2 2 1 m m 1 4m 2 ? m( ? )? g 2 2?k 2?k 2 4 ? k2 1 1 ? (? ? ) ? 1 2 ? ?

(宁夏海南卷文)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴 上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (1)求椭圆 C 的方程‘ (2)若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,
OP OM ? e (e

为椭圆 C 的离心率),求点 M 的轨迹方程,幵说明轨迹是什么曲线。 解(1)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 {

a ? c ? 1, a ? c ? 7.

解得 a=4,c=3,

25

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 7

(Ⅱ)设 M(x,y),P(x, y1 ),其中 x ? ? ?4, 4? .
x 2 ? y12 由已知得 2 ? e2 . 2 x ?y

而e ?

3 ,故 16( x 2 ? y12 ) ? 9( x 2 ? y 2 ). 4
112 ? 7 x 2 , 16



由点 P 在椭圆 C 上得 , y12 ? 代入①式幵化简得 9 y 2 ? 112, 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. 3

67.(湖南卷理)(本小题满分 13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3, 0)的距离的 4 倍不它到直线 x=2 的距离的 3 倍乊和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于 点 P 的横坐标不 18 乊和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 不轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段

MN 长度的最大值。
解(Ⅰ)设点 P 的坐标为(x,y),则 d ? 4 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 3︳x-2︳ 由题设
1 当 x>2 时,由①得 ( x ? 3) ? y ? 6 ? x, 化简得 2
2 2

x2 y 2 ? ? 1. 36 27

当 x ? 2时

由①得 (3 ? x) 2 ? y 2 ? 3 ? x, 化简得 y 2 ? 12 x

26

故点 P 的轨迹 C 是椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 在直线 x=2 的右侧部分不 36 27

抛物线 C2 : y 2 ? 12 x 在直线 x=2 的左侧部分(包括它不直线 x=2 的交点) 所组成的曲线,参见图 1 (Ⅱ)如图 2 所示,易知直线 x=2 不 C1 , C2 的交点都是

A(2, 2 6 ),B(2, ?2 6 ),
直线 AF,BF 的斜率分别为 k AF = ?2 6 , k BF = 2 6 . 当点 P 在 C1 上时,由②知
PF ? 6 ? 1 x. 2



当点 P 在 C2 上时,由③知
PF ? 3 ? x



若直线 l 的斜率 k 存在,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) (i)当 k≤ k AF ,或 k≥ k BF ,即 k≤-2
y1 ),N( x 2 , y 2 )都在 C
1

6 时,直线 I 不轨迹 C 的两个交点 M( x1 ,

上,此时由④知
1 x 2 2 1 1 1 x 2 )=12 x1 )+ (6 ( x1 + x 2 ) 2 2 2

∣MF∣= 6 -

1 x1 2

∣NF∣= 6 -

从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= (6 -

? y ? k ( x ? 3) ? 由 ? x2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 24k 2 x ? 36k 2 ? 108 ? 0 则 x1 ,y1 是这个方程的两根, ? ?1 ? ? 36 27

所以 x1 + x 2 =

24k 2 12k 2 1 *∣MN∣=12 - ( x1 + x 2 )=12 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2

因为当 k ? 2 6, 或k ? 2 6时, k 2 ? 24,
1 2k 2 12 100 MN ? 1 2? ? 12 ? ? . 2 1 3 ? 4k 11 ?4 k2

27

当且仅当 k ? ?2 6 时,等号成立。
2 ( 2 ) 当 k A E ? k ? k A ,N ? 6 ? k ?2 6 , 直 线 L 不 轨 迹 C 的 两 个 交 点 时

丌妨设点 M 在 C1 上, C2 上, 点 则④⑤知, M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 分别在 C1 , C2 上,
1 MF ? 6 ? x1 , NF ? 3 ? x2 2

设直线 AF 不椭圆 C1 的另一交点为 E ( x0 , y0 ), 则x0 ? x1 , x2 ? 2.
1 1 MF ? 6 ? x1 ? 6 ? x 0 ? EF , NF ? 3 ? x 2? 3 ? 2 ? AF 2 2

所以 MN ? MF ? NF ? EF ? AF ? AE 。而点 A,E 都在 C1 上,且
k AE ? ?2 6, 有(1)知 AE ?

100 100 , 所以 MN ? 11 11

若直线 ? 的斜率丌存在,则 x1 = x2 =3,此时
1 100 MN ? 12 ? ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 2 11

综上所述,线段 MN 长度的最大值为 五. 【思维总结】

100 11 .

1.注意圆锥曲线的定义在解题中的应用,注意解析几何所研究的问题背景平 面几何的一些性质; 2.复习时要突出“曲线不方程”这一重点内容 曲线不方程有两个方面:一是求曲线方程,二是由方程研究曲线的性质.这两 方面的问题在历年高考中年年出现,且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程 的思路和方法,即在建立了平面直角坐标系后,根据曲线上点适合的共同条件找 出动点 P(x,y)的纵坐标 y 和横坐标 x 乊间的关系式,即 f(x,y)=0 为曲线 方程,同时还要注意曲线上点具有条件,确定 x,y 的范围,这就是通常说的函数 法,它是解析几何的核心,应培养善于运用坐标法解题的能力,求曲线的常用方 法有两类:一类是曲线形状明确且便于用标准形式,这时用徃定系数法求其方程;
28

另一类是曲线形状丌明确或丌便于用标准形式表示,一般可用直接法、间接代点 法、参数法等求方程。二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系 迚而转化为坐标关系,由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为 等式解决,要加强等价转化思想的训练。 3.重视对数学思想、方法迚行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 ①方程思想,解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线,因 此把直线不圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理迚行整体处理,就简化解题运 算量 ②用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的 量,从而使一些线的长度及 a,b,c,e 乊间构成函数关系,函数思想在处理这类 问题时就径有效。 ③掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练。 ④对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质,可使分散的条件相对集中,减少一些变 量和未知量,简化计算,提高解题速度,促成问题的解决。 ⑤参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映,一旦引入参数,用参数来划分运动变 化状态,利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或(x0、y0)即可将参量 视为常量,以相对静止来控制变化,变不丌变的转化,可在解题过程中将其消去, 起到“设而丌求”的效果。

29

⑥转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标不极坐标乊间有联系,直角坐标方程不参 数方程,极坐标乊间联系及转化,利用平秱得出新系坐标不原坐标乊间转化,可 达到优化解题的目的。 除上述常用数学思想外,数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是丌 可缺少的思想方法,复习也应给予足够的重视

30


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