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空间向量及其运算加减与数乘运算

时间:2013-02-26


问题
F3 已知F1=2000N,

F2

F1

F2=2000N, F3=2000N,

这三个力两两之间 的夹角都为60度, 它们的合力的大小 为多少N?
这需要进一步来认识空间中的向量

……

复习回顾 平面向量的有关知识 1.定义 既有大小又有方向的量
2.表示方法 1)图形(几何)表示用一条有向线段来表示

A

a
y

B AB

2)字母表示3)坐标表示-

a
x

j

有且只有一对实数x、y , 使得 i a ? xi ? y j ? ( x, y )

3.平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 任一组平行向量都可平行移动到同一直线上

4.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
在保持向量的大小和方向不变的前提下, 向量可以进行平移;任意两个相等的非 零向量都可用同一条有向线段来表示, 并且与有向线段的起点无关

5.平面向量的加法、减法与数乘运算
首尾相接

B

C

共起点

B

b
O A a 向量加法的三角形法则 共起点C

b
O
a A 向量加法的平行四边形法则

b
O

?a, ? ? 0
a
A

a

?a, ? ? 0
数乘向量

向量减法的三角形法则

| ?a |?| ? || a |

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量; ????? ????? ????? ? ? ??????? ????? A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量。 ????? ????? ????? ? ? ????? ? A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

6.平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律: 加法结合律: 数乘分配律:

a?b ? b?a (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? (a ? b ) ? ? a+? b

空间向量及其运算(一)

一、空间向量的有关概念: ? 空间向量:在空间中,具有大小和方向的量.a ? ? ? ? b c 常用 a 、 、 ……等小写字母来表示. b ? ? 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a . ??? ? ??? ? 2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB ??? ? B 终点 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.
类似于平面向量,为了研究的 方便起见, 起点 A 我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量

? c

3.空间向量的加减法

C a
O A

+

b

B

b

a

??? ??? ??? ? ? ? OB ? OA ? AB ??? ??? ??? ? ? ? CA ? OA ? OC
空间向量的加减法

B b O a
结论:空间任意两个向量都是共面向量,所以 它们可用同一平面内的两条有向线段表示。 因此凡是只涉及空间任意两个向量的问题,平 面向量中有关结论仍适用于它们。

b a
A

向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
O a A b B c a b
+

O

c

C A
b

C

B

c

(平面向量)

向量加法结合律: ( a + b )+ c = a +( b + c )
O
O

a
A

a b
C A
+

c
B

C

b

B

c

b

c

(空间向量)

二、空间向量的数乘运算
1.空间向量的数乘:
? ? a 仍然是一个向量.

? 与平面向量一样,实数 ? 与空间向量 a 的乘积

? ? ⑴当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ? ? ⑵当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ? ⑶当 ? ? 0 时, ? a 是零向量. ?

例如:
? a

3a

? ?3a

数乘空间向量的运算法则 显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律

? ? ? ? 即:? (a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? (? ? ?) ? ? a ? ? a a ? ? ? ( ? a) ? (?? )a

例1、给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同; ? ? ? ? (2)若空间向量

(3)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,必有 AC ? A1C1 ;

?? a? a、满足| a |?| b |,则 ???? b?????; b
?? ? ? ? ? 满足 m ? n, n ? p ,则

?? ? ? ? (4)若空间向量 m n、 、p

?? ? ? m? p



(5)空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3

C )
D.4

例2 :已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
D1 C1 ??? ??? ? ? (1) AB ? BC ??? ??? ???? ? ? ? A1 (2) AB ? AD ? AA1 B1 M ? ? ? 1 ??? ??? ???? (3) ( AB ? AD ? AA1 ) G 3 ??? ??? 1 ???? ? ? ? D C (4) AB ? AD ? CC 1 2? ??? ??? ??? ? ? 解: AB ? BC=AC ; (1) ??? ??? ???? ??? ???? ??? ???? ???? ? ? ? ? ? ? B ? ? A (2)AB ? AD ? AA1 ? AC ? AA1 ? AC ? CC1 ? AC1 ? ? ? ? ? 1 ??? ??? ???? 1 ???? ??? (3) ( AB ? AD ? AA1 ) ? AC1 ? AG 3 3
??? ??? 1 ???? ???? ? ? ? ? (4) AB ? AD+ CC1=AM . 2

例2

在空间四边形ABCD中,点M、G分别 是BC、CD边的中点,化简 A
A

D G B M

(1) AB ? BC ? CD AD 1 ( 2) AB ? ( BC ? BD) 2 AG 1 (3) AG ? ( AB ? AC ) 2
MG

C

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 例 4 已知 2x ? 3y ??3a ? b ? 4c , ?3x ? y ? 8a ? 5b ? c ? ? ? ? ? 把向量 x , y 用向量 a , b , c 表示
新 疆 王 新敞 奎 屯

? ? ? ? x ? ?3a ? 2b ? c

? ? ? ? ? y ? a ? b ? 2c

练习

如图设A是△BCD所在平面外的一点,G是 ???? 1 ??? ???? ???? ? AG △BCD的重心。求证: ? ( AB ? AC ? AD) 3
A

B G

D

C


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