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浙江杭州学军中学-度高三数学文科第二次月考试卷

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杭州学军中学 2007—2008 学年度高三年级第二次月考 数学试题(文科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 150 分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.含有三个实数的集合可表示为 {a,

b ,1} ,也可表示为 {a 2 , a ? b,0} ,则 a 2007 ? b 2007 的值 a
C. 1 D. ? 1 直方图如图所示,则新生婴儿体重

是( ) A.0 B. ? 1 2.观察新生婴儿的体重,其频率分布 3000)的频率为( ) A. 0.001 B. 0.1 C. 0 . 2 D.0.3

在(2700,

频率 组距

0.001

0

1 3 3.函数 f ? x ? ? x ? ax ? 1 在 ? ??, ?1? 上为增函数,在 ? ?1,1? 上为减函数,则 f ?1? 的值 3
为( A. ) D. ? 1 ) y 1 x 0 C. ) x 0 ―1 D. x y

2400 2700

3600 3900

体重(g)

7 1 B.1 C. 3 3 4.函数 y ? log 1 ( x ? 1) 的反函数的图象是(
y
2

y 1

0 ―1 A.

x 0 B.

2 5. ? 4 ? k ? 0 是函数 y ? kx ? kx ? 1恒为负的(

A.充分而不必要条件 C.充要条件
3

B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ) D. y ? 5 ? 0

6.曲线 y ? x ? 3 过点 ? 0, ?5? 的切线方程是 (

A. 3x ? y ? 5 ? 0 B. 3x ? y ? 5 ? 0 C. y ? 5 ? 0

7.函数 y ? 2 ?2 x ? 2 2? x ? 2( x ? 0) 的值域是 ( A. [?2,??) B. [0,2] B.[ m ? 1, n ? 1 ]

) D. [?1,2) ) D.[ f (m ? 1), f (n ? 1)]

C. [?2,2) C. [m ? 1, n ? 1] ) B.方程 ?x? ?

8.已知函数 y ? f ( x)(x ? R) 的值域为 [m, n] ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域为( A. [m, n]

9 .对于实数 x,符号 [x]表示不超过 x 的最大整数,例如 [? ] ? 3, [?1.08] ? ?2, 定义函数

?x? ? x ? [ x], 则下列命题中正确的是(

A.函数 ?x?的最大值为 1 C.函数 ?x?是周期函数

D.函数 ?x?是增函数

1 有且仅有一个解 2

10. 已知函数 y ? f (2 x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数, 函数 y ? g ( x) 的图象与函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称,则 g ( x) ? g (? x) 的值为( A.2 B.0 C.1 ) D. ? 2 2 , 4 , 6

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)

2 , 4 分,共 28 分。 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 11. 一个容量为 n 的样本, 分成若干组, 已知某组的频数和频率分别为 40 和 0.125, 则 n 的 , 值为 __________. 6 12. 设全集 U ? {1,3,5,7} , 集合 M ? {1, a ? 5}, M ? U ,

CU M={5, 7}, 则 a 的值为_______.

13.已知 A ? B ? {1, 2,3}, A ? B ? {1} ,则满足条件的集合 A 的个数为__________. 14.函数 y ? log1 ( x ? 3x )的递增区间是__________.
2 3
x 15.已知集合 P={(x,y)|y=m},Q={(x,y)|y= a ? 1 ,a>0,a≠1},如果 P ? Q 有

且只有一个元素,那么实数 m 的取值范围是________. 16. 已知函数 f ( x) 的定义域为 {x | ?3 ? x ? 8, 且 x ? 5} , 值域为 { y | ?1 ? y ? 2, 且 y ? 0} , 试写出一个 f ( x) 的解析式__________.

x2 ?1 17.关于函数 f ( x) ? lg ( x ? 0, x ? R) ,有下列命题: | x|
①函数 y ? f ( x) 的图象关于 y 轴对称; ②当 x ? 0 时,f ( x) 是增函数, 当 x ? 0 时 f ( x) 是减函数; ③函数 f ( x) 的最小值是 lg 2 ; ④当 ? 1 ? x ? 0 或 x ? 1 时, f ( x) 是增函数。

其中正确命题的序号是_______. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18.(本题 14 分) 已知全集 U ? R, 集合 A ? {x |

6 ? 1, x ? R}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? 2m ? 0, x ? R} x ?1

若 A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4}, 求实数 m 的值及 (CU A) ? B.

19.(本题 14 分) 已知 p : x ? 4mx ? 1 ? 0 有两个不等的负数根, q : 函数 f ( x) ? ?(m ? m ? 1) 在 (??,??) 上是增函数。若 p 或 q 为真, p 且 q 为假,求实数 m 的取值范围.
2 2 x

20.(本题 14 分)已知函数 f ( x) ? (1)求 p, q 的值;

px2 ? 2 是奇函数,且 f (2) ? ?5. q?x

(2)指出函数 f ( x) 的单调区间,并加以证明.

21.(本题 14 分) 将函数 y ? f ( x) 的图象先向左平移 1 个单位,再向下平移 1 个单位所得图象对应 的函数为 y ? lg( x ? 1) ? 1. (1)求 y ? f ( x) 的解析式; (2)对定义在区间 [ a, b] 上的函数 g ( x ), 若存在常数 c ,对于任意的 x1 ? [a, b], 存在唯

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? c, 则称函数 g ( x) 在 [a, b] 上的均值为 c. 求函 2 数 y ? f ( x) 在 [10,100] 上的均值.
一的 x2 ? [a, b], 使

22.(本题 16 分) 已知函数 f ( x) ? mx ?

1 3 x . 3

(1)当 m ? 4 时,若函数 f ( x) 的导数 f ?( x) 满足关系 f ?( x) ? 3x ? 6 ,求 x 的取值范 围; (2)是否存在 m 的值,使函数 y ? f ( x) 同时满足 以下两个条件:①函数 y ? f ( x) 在 ....

[0,2] 上单调递增; ②函数 y ? f ( x) ,x ? [?3,3] 的图象的最高点落在直线 y ? 4 6 上,若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

参考答案
一、选择题 1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.D 8.A 9.C 10.A 二、填空题 2 11.320 12.8 13.4 14. (??,0) 15. m ? 1 , 5 4 ?1 x ? (?3 ? x ? 5), ?8 , 8 16. f ( x) ? ? (答案不唯一) 17.①③ 2 10 6

? x ? (5 ? x ? 8). 3 ?3

三、解答题 18.解:由已知得 A ? {x | ?1 ? x ? 5}, ………………………………………………3 分

? A ? B ? {x | ?1 ? x ? 4},

? 方程 x 2 ? 2 x ? 2m ? 0 的一根为 4,另一根 ? ?1 , ……………………………… 6


? m ? ?4. …………………………………………………………………………………9


? B ? {x | ?2 ? x ? 4}. 又 CU A ? {x | x ? ?1,或 x ? 5}, ………………………11 分

? (CU A) ? B ? {x | x ? 4, 或 x ? 5}. …………………………………………………14 分
19.解: p : x ? 4mx ? 1 ? 0 有两个不等的负根
2

?? ? 16m 2 ? 4 ? 0, 1 ?? ?m? . 2 ? 4m ? 0 ?

………………………………………………4 分

q : 函数 f ( x) ? ?(m 2 ? m ? 1) x 在 (??,??) 上是增函数

? 0 ? m 2 ? m ? 1 ? 1 ? 0 ? m ? 1. ………………………………………………8 分
1 ? m? , (1)若 p 真, q 假,则 ? ? m ? 1 ;……………………………10 分 ? 2 ? ?m ? 0, 或m ? 1

1 ? 1 ? m? , 2 ? 0 ? m ? . ……………………………12 分 2 ? ?0 ? m ? 1 1 综上,得 m ? 1 ,或 0 ? m ? . ……………………………………………………14 分 2
(2)若 p 假, q 真,则 ? 20.解:(1)由 f ( x) 是奇函数,知 f (?2) ? 5, 即有

?4 p ? 2 ? ?5, ? ? p ? 2, ? q?2 解得 ? ? 4p ? 2 ? q ? 0. ? ? 5, ? q ? 2 ?
(2)由(1)得 f ( x) ? ?2( x ?

……………………………………………4 分

1 ). x

设 x1 ? x2 ? 0, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) x1 x2

………………6 分

当 0 ? x2 ? x1 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 函数 f ( x) 在 (0,1] 上是增 函数. …………………………………………………………………………8 分

当 x1 ? x2 ? 1 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ), 函数 f ( x) 在 [1,??) 上是减函数. …………………………………………………10 分 由 f ( x) 为奇函数,知函数 f ( x) 在 [?1,0) 上是增函数, 函数 f ( x) 在 (??,?1] 上是减函数. ………………………………………………14 分 21.解:(1)由已知,函数 y ? f ( x) 的图象是由函数 y ? lg( x ? 1) ? 1 的图象先向上平移 1 个单位,再向右平移 1 个单位得到,所以 f ( x) ? lg x. ………………6 分

. …………9 分 (2)对于任意 x1 ? [10,100], 存在唯一的 x2 ? [10,100], 使 x1 x2 ? 1000
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 1 1 3 ? (lg x1 ? lg x 2 ) ? lg( x1 x 2 ) ? lg1000 ? . 2 2 2 2 2

所以函数 y ? f ( x) 在 [10,100] 上的均值为 22.解:(1) f ?( x) = 4 ? x ,
2

3 。 2

……………………………14 分 ……………………………………2 分

原不等式即 4 ? x 2 ? 3x ? 6

? 3x ? 6 ? 0 ? 3x ? 6 ? 0 或? ?? 2 2 ?4 ? x ? 3x ? 6 ?4 ? x ? ?3x ? 6
? x ? ?2 ,或 x ? ?1.
(2) f ?( x) = m ? x ,
2

………………………………… 4 分 …………………………………………6 分

当 x ? [0,2] 时, m ? 4 ? f ?( x) ? m ,因为函数 y ? f ( x) 在 [0,2] 上单调递增,所以

m ? 4 ? 0 ? m ? 4,

……………………………………………………………9 分

f ?( x) ? 0 ? x ? ? m ,
当 m ? 9 时, f ?( x) ? m ? x 2 在 [?3,3] 上恒有 f ?( x) ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) 在 [?3,3] 上为增函数, f max ( x) ? 3m ? 9 ? 4 6 ? m ? 3 ? 当 4 ? m ? 9 时,, y ? f ( x) 在 [?3,? m ] 上和在

4 6 ? 9 ,舍去。………12 分 3

[ m ,3] 都单调递减,在 [? m, m ] 单调递增,
所以,在 [?3,3] 上 f max ( x) ? f ( m ) ?
3

2 2 m . 3

3

2 ? m 2 ? 4 6 ? m ? 6 ……………………………………………………………15 分 3
综上,满足条件的 m 存在,且 m ? 6. ……………………………………………16 分


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