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【优化指导】高中数学 2-3-4课时演练(含解析)新人教版必修4

时间:2014-07-12


第二章

2.3

2.3.4

1.若 a=(-2,1),b=(x,-3),且 a∥b,则 x 等于( A. C. 3 2 1 6 B. 2 3

)

D.6

解析:∵a=(-2,1),b=(x,-3),a∥b, ∴(-2)×(-3)-1×x=0,∴x=6. 答案:D 2.与 a=(12,5)平行的单位向量为( A.? C.? ) 5? ? 12 B.?- ,- ? 13? ? 13 5? ? 12 D.?± ,± ? 13 13 ? ?

?12,- 5 ? 13? ?13 ? ?12, 5 ?或?-12,- 5 ? ? ? 13? ?13 13? ? 13 ?
2 2

解析:设与 a 平行的单位向量为 e=(x,y), 则 x +y =1. ∵e∥a,∴设 e=λ a, 即(x,y)=λ (12,5),∴x=12λ ,y=5λ , 1 2 2 代入 x +y =1,得 λ =± ,故选 C. 13 答案:C 3.若 A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则 y=( A.13 C.9 → → 解析:AB=(-8,8),AC=(3,y+6). → → ∵AB∥AC,∴-8(y+6)-24=0,∴y=-9,故选 D. 答案:D 4.已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7).若(a-c)∥b,则 k=________. 解析:a-c=(3-k,-6),∵(a-c)∥b, ∴3(3-k)+6=0, k=5. 答案:5 5.向量 a=(x,1),b=(9,x),若 a 与 b 共线且方向相反,则 x=________. B.-13 D.-9 )

-1-

解析:x =9,∴x=±3.又∵a 与 b 方向相反,∴x=-3. 答案:-3

2

? 1? 6.已知三点 A(1,-3),B?8, ?,C(9,1),求证:A、B、C 三点共线. ? 2? ? 1? 证明:∵A(1,-3),B?8, ?,C(9,1), ? 2?
1 ? ? 7? → ? ∴AB=?8-1, +3?=?7, ?, 2 ? ? 2? ? →

AC=(9-1,1+3)=(8,4).
7 7 ? ? 又∵7×4=8× =28?或∵7×4- ×8=0?, 2 2 ? ? → → ∴AB∥AC且有公共点 A, ∴A、B、C 三点共线.

(时间:30 分钟 满分:60 分) 难易度及题号 知识点及角度 基础 2、5、6 中档 4、8 7 1、3 9 10 稍 难

由向量共线求参数问题 由向量共线求轨迹方程 由向量共线求坐标 一、选择题(每小题 4 分,共 6 分)

→ → 1.若 P1(1,2),P(3,2)且P1P=2PP2,则 P2 的坐标为( A. (7,2) C.(-4,-2) → → 解析:设 P2(x,y),则由P1P=2PP2得 (2,0)=2(x-3,y-2). ∴?
? ? ? ?

) B.(-7,-2) D.(4,2)

x-

=2,

y-2=0,

得?

? ?x=4, ?y=2, ?

即 P2=(4,2).

答案:D

?1 ? 2.若 a=(x,2),b=? ,1?,c=a+2b,d=2a-b,且 c∥d,则 c-2d 等于 ( ?2 ? ? 5 ? A.?- ,-5? ? 2 ? ?5 ? B.? ,5? ?2 ?

)

-2-

C.(1,2) 1 ? ? 解析:c=(x+1,4),d=?2x- ,3?. 2 ? ? 1? ? ∵3(x+1)=4?2x- ?, 2? ? ∴x=1,

D.(-1,-2)

?3 ? ∴c=(2,4),d=? ,3?,c-2d=(-1,-2),故选 D. ?2 ?
答案:D → 3.已知 A(2,-1),B(3,1),若AB与向量 a 平行且方向相反,则 a 的坐标可以是( )

? 1? A.?1, ? ? 2?
C.(-1,2) → 解析:AB=(3-2,1+1)=(1,2), 设 a=(x,y). → ∵a∥AB且方向相反, ∴y=2x. 令 x=-4,y=-8. 答案:D

B.(2,1) D.(-4,-8)

1? ? 4.已知 a=(-2,1-cos θ ),b=?1+cos θ ,- ?,且 a∥b,则锐角 θ 等于( 4 ? ? A.45° C.60° B.30° D.15°

)

? 1? 解析:由 a∥b 得-2?- ?-(1-cos θ )(1+cos θ )=0 ? 4?
1 2 2 2 即 =1-cos θ =sin θ ,即 sin θ =± , 2 2 又∵θ 为锐角,∴sin θ = 答案:A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) → → 5.已知 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,0),D(x,y),且AC=2BD,则 x+y=________. → 解析:∵AC=(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2), → 2 ,θ =45°,故选 A. 2

BD=(x,y)-(2, 3)=(x-2,y-3),又 2BD=AC,

→ →

-3-

即(2x-4,2y-6)=(-1,2),
?2x-4=-1, ? ∴? ? ?2y-6=2,

3 ? ?x= , 解得? 2 ? ?y=4,

11 ∴ x+y= . 2

11 答案: 2 6.设向量 a=(1, 2),b=(2,3).若向量 λ a+b 与向量 c=(-4 ,-7)共线,则 λ = ________. 解析:λ a+b=(λ +2,2λ +3),c=(-4,-7), ∴ λ +2 2λ +3 = ,∴λ =2. -4 -7

答案:2 → → 7. 平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC=α OA → +β OB,其中 α ,β ∈R,且 α +β =1,则点 C 的轨迹形状是________. 解析:设 C(x,y),由题意得:(x ,y)=α (3 ,1)+β (-1,3) =(3α -β ,α +3β ) 1 ? ?α =10 ?? 1 ? ?β =10

? ?x=3α -β ∴? ?y=α +3β ?

x+y , y-x

∵α +β =1, ∴x+2y-5=0, 即点 C 的轨迹是直线 AB. 答案:直线 AB 三、解答题 → → 8.(10 分)已知向量AB=(4,3),A D =(-3,-1),点 A(-1,-2). (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标;

→ → (2)若点 P(2,y)满足 P B =λ BD(λ ∈R),求 y 与 λ 的值.

解:(1)设 B(x,y).∵A(-1,-2), → ∴AB=(x+1,y+2)=(4,3), ∴?
?x+1=4, ? ?y+2=3, ?

∴?

?x=3, ? ?y=1. ?

即 B(3,1).

-4-

同理可得 D(-4,-3). ∴线段 BD 的中点 M 的坐标为?

?3-4,1-3?, 2 ? ? 2 ?

? 1 ? 即 M?- ,-1?. ? 2 ?
→ → (2)∵PB=(1,1-y ),BD=(-7,-4), → → ∴由PB=λ BD得(1,1-y)=λ (-7,-4),
? ?1=-7λ , ∴? ?1-y=-4λ , ?

3 1 解得 y= ,λ =- . 7 7
2 2

9.(10 分)已知圆 C:(x-3) +(y-3) =4 及点 A(1,1),M 为圆 C 上的任意一点,点 N 在 → → 线段 MA 的延长线上,且MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. 解:如图所示,设 M(x0,y0),N(x,y),

→ → 由MA=2AN,得 (1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1). ∴?
?x0=-2x+3, ? ?y0=-2y+3, ?
2 2 2 2

代入方程(x-3) +(y-3) =4,整理得 x +y =1. ∴所求的轨迹方程为 x +y =1. 10.(12 分)已知 a=(1,1),b=(x,1),n=a+2b,v=2a-b. (1)若 n=3v,求 x; (2)若 n∥v,并 说明此时两向量方向相同还是相反. 解:∵a=(1,1),b=(x,1), ∴n=a+2b=( 1,1)+(2x,2)=(2x+1,3),
2 2

v=2a-b=(2,2)- (x,1)=(2-x,1).
(1)∵n=3v, ∴(2x+1,3)=3(2-x,1),
? ?2x+1=6-3x, ∴? ?3=3, ?

解得 x=1.
-5-

(2)∵n∥v, ∴2x+1=3 (2-x),∴x=1. 此时,n=(3,3),v=(1,1),

n=3v,∴n 与 v 方向相同.

-6-


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