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北京师大附中2015-2016学年下学期高一年级期末考试数学模拟卷(1)A5-2016-6-17

时间:2016-07-01

北京师大附中 2015-2016 学年下学期高一年级期末考试 数学模拟卷(1)
试卷说明:本试卷满分 150 分,考试时间为 120 分;

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出 的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 如果直线 ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 互相垂直,那么 a 的值 等于( A. 1 ) B. ?
1 2

C. 2

D. -2 )

2. 若直线 y=x+b 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切,则 b 的值为( A. ±4 B. ? 2 C. ±2

D. ?2 2

? x ? y ? 10 ? 3. 设实数 x 和 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 ?x ? 4 ?

( A. 14

) B. 16 C. 24 D. 26

4. 设等比数列 ?an ? 的公比为 q, 前 n 项和为 Sn , 且 a1 ? 0 。 若 S2 ? 2a3 , 则 q 的取值范围是(
? 1? A. ? ?1, 0 ? ? ? 0, ? ? 2?


? 1 ? B. ? ? , 0 ? ? ? 0,1? ? 2 ?

1

C.

? ??, ?1? ? ? ?

1 ? , ?? ? ?2 ?

1? ? D. ? ??, ? ? ? ?1, ?? ? 2? ?

5. 执行下边的程序框图,输出 k 的值是( )

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

6. 若实数 a,b 满足 a 2 ? b2 ? 1,则关于 x 的方程 x2 ? 2 x ? a ? b ? 0 无 实根的概率为( A.
3? ? 2 4?

) B.

? ?2 4?

C.

1 4

D.

3 4

7. 已知直线 x+2y=2 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,若动点 P(a, b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值为( ) A. 2 B. 3
2

C.

1 3

D.

1 2

8. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数,数列 ?an ? 是等差数列, a1009 ? 0 , 则 f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? f ? a3 ? ? ?? f ? a2016 ? ? f ? a2017 ? 的值( A. 恒为正数 B. 恒为负数 C.恒为 0 )

D. 可正可负

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9. 如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育测试成绩的茎叶图, 则甲 5 次测试成绩的平均数是_____________, 乙 5 次测试成绩的平均 数与中位数之差是____________。

10. 若 a2 ? b2 ? 4 ,则两圆 ? x ? a ? ? y2 ? 1 与 x 2 ? ? y ? b ? ? 1 的位置关
2 2

系是____________。 11. 已知直线 l:3x-y+3=0,则点 P(4,5)关于直线 l 对称点的坐标 是____________。
?y ? x ? 12. 已知不等式组 ? y ? ? x , 表示的平面区域 S 的面积为 4, 则 a=_____。 ?x ? a ?

13. 若点 P 在直线 l1:x+y+3=0 上,过点 P 的直线 l2 与曲线 C:

? x ? 5?

2

? y 2 ? 16 相切于点 M,则|PM|的最小值为__________。
3

2 14. 设 a∈R,若 x>0 时均有 ? ?? a ? 1? x ? 1? ? ? x ? ax ? 1? ? 0 ,

则 a=_____________。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答题应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。 15. 在锐角△ABC 中, a、 b、 c 分别为角 A、 B、 C 所对的边, 且 (1)确定角 C 的大小; (2)若 c=7,且△ABC 的面积为
3 3 ,求 a 2 ? b 2 的值。 2
a 2c ? sin A 3

4

16. 在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了 “数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B, C,D,E 五个等级。某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所 示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人。 (1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (2)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分, 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (3)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A。在 至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两 科成绩均为 A 的概率。

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17. △ABC 的边 AC, AB 的高所在直线方程分别为 2x-3y+1=0, x+y=0, 顶点 A(1,2),求 BC 边所在的直线方程。

18. 已知关于 t 的方程 t 2 ? 2t ? c ? 0 (c∈R)有两个实根 t1 、 t 2 ,且满 足 t1 ? t2 ? 2 2 。 (1)求方程的两个根以及实数 c 的值; (2) 设 a ? c2 , 若对于任意 x∈R, 不等式 log a ? x 2 ? a ? ? ?k 2 ? 2mk ? 2k
? 1? 对于任意的 k ? ? ?2, ? 恒成立,求实数 m 的取值范围。 2? ?

6

19. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 3an ? 3n ?1 ? 2n ? n ? N ? ? 。 (1)设 bn ? 公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 。
an ? 2n 证明:数列 ?bn ? 为等差数列,并求数列 ?an ? 的通项 3n

7

20. 已知圆 O: x2 ? y 2 ? 4 。 (1)直线 l1:x+y+ 2 =0 与圆 O 相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长 和直线 l1 截圆 O 所得劣弧所对圆心角的大小; (2)如图,设 M(x1,y1) 、P(x2,y2)是圆 O 上的两个动点,点 M 关于原点的对称点为 M1, 点 M 关于 x 轴的对称点为 M2, 如果直线 PM1、 PM2 与 y 轴分别交于(0,m)和(0,n) ,问 m·n 是否为定值?若是 求出该定值;若不是,请说明理由。

8

9

10

11

一、选择题 DCAB ABDA 二、填空题 9. 84,2 10. 外切 11. (-2,7) 12. 2 13. 4 14. a= 三、解答题 15. 解: (1)∵3 2acca2c?? 由正弦定理得 ?sinAsinCsinA33 2 ∴sinC=?3 ∵锐角△ABC∴C= 32 1?33,由面积公式 S=absinC= ∴ab=6 232(2)C= 又 c=7 由余弦定理得 a2+b2=13 16. 解: (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10÷0.25=40(人) 所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为 40×(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=40×0.075=3 (2)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 1×(40×0.2)+2×(40×0.1)+3×(40×0.375)+4×(40×0.25) +5×(40×0.075) 40 =2.9 (3)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成 绩等级均为 A,所以还有 2 人只有一个科目得分为 A 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学, 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本
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事件空间为Ω ={甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁}, {丙,丁},一共有 6 个基本事件 设 “随机抽取两人进行访谈, 这两人的两科成绩等级均为 A” 为事件 B, 所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个,则 P(B)=1。 6 3。 2 17. 解:AC 边上的高线 2x-3y+1=0,所以 kAC=- 所以 AC 的方程为 y-2=-3(x-1) ,即 3x+2y-7=0, 2 同理可求直线 AB 的方程为 x-y+1=0。 A.3??24?B.??24?C.14D.34;7.已知直线 x+2y=2 与 x 轴,y 轴分别交 于 A, ;A.2B.3C.13D.12;8.已知函数 f(x)是定义在 R 上的单调增函 数且为;A.恒为整数;二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分, 共 30 分;9.如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育测试;B. 恒为负数 C.恒为 0D.可正可负;10.若 a2+b2=4,则两圆( A. 3??2 4?B. ??2 4? C. 1 4 D. 3 4 7. 已知直线 x+2y=2 与 x 轴,y 轴分别交于 A,B 两点,若动点 P(a, b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值为( ) A. 2 B. 3 C. 1 3 D. 1 2 8. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的单调增函数且为奇函数,数列{an} 是等差数列,a1007>0,则 f(a1)?f(a2)?f(a3)???f(a2012)?f(a2013) 的值( ) A. 恒为整数 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。
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9. 如图是甲、乙两名同学进入高中以来 5 次体育测试成绩的茎叶图, 则甲 5 次测试成绩的平均数是_____________, 乙 5 次测试成绩的平均 数与中位数之差是____________。 B. 恒为负数 C. 恒为 0 D. 可正可负 10. 若 a2+b2=4,则两圆(x?a)2?y2?1 与 x2?(y?b)2?1 的位置关系是 ____________。 11. 已知直线 l:3x-y+3=0,则点 P(4,5)关于直线 l 对称点的坐标 是____________。 ?y?x,? 12. 已知不等式组?y??x,表示的平面区域 S 的面积为 4,则 a=_____________。 ?x?a? 13. 若点 P 在直线 l1:x+y+3=0 上,过点 P 的直线 l2 与曲线 C: (x?5)?y?16 相切于点 M,则|PM|的最小值为__________。 14. 设 a ∈ R , 若 x>0 时 均 有 [(a?1)x?1](x2?ax?1)?0 , 则 a=_____________。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答题应写出文字说明、证 明过程或演算步骤。 15. 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (1)确定角 C 的大小; (2)若 c=7,且△ABC 的面积为 22a2c? sinA33,求 a2+b2 的值。 2 16. 在某大学自主招生考试中,所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了
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“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试,成绩分为 A,B, C,D,E 五个等级。某考场考生的两科考试成绩的数据统计如下图所 示,其中“数学与逻辑”科目的成绩为 B 的考生有 10 人。 (1)求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为 A 的人数; (2)若等级 A,B,C,D,E 分别对应 5 分,4 分,3 分,2 分,1 分, 求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分; (3)已知参加本考场测试的考生中,恰有两人的两科成绩均为 A。在 至少一科成绩为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,求这两人的两 科成绩均为 A 的概率。 17. △ABC 的边 AC,AB 的高所在直线方程分别为 2x-3y+1=0,x+y=0, 顶点 A(1,2),求 BC 边所在的直线方程。 18. 已知关于 t 的方程 t2-2t+c=0(c∈R)有两个实根 t1、t2,且满 足|t1-t2|=22。 (1)求方程的两个根以及实数 c 的值; (2)设 a=c2,若对于任意 x∈R,不等式 loga(x2+a)≥-k2+2mk- 2k 对于任意的 k∈[-2, 实数 m 的取值范围。 19. 已知数列{an}满足 a1=2,an+1=3an+3n+1-2n(n∈N*) 。 1]恒成 立,求 2 an?2n (1)设 bn=证明:数列{bn}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
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n3 (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn。 20. 已知圆 O:x2+y2=4。 (1)直线 l1:x+y+2=0 与圆 O 相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长和直 线 l1 截圆 O 所得劣弧所对圆心角的大小; (2)如图,设 M(x1,y1) 、P(x2,y2)是圆 O 上的两个动点,点 M 关于原点的对称点为 M1, 点 M 关于 x 轴的对称点为 M2, 如果直线 PM1、 PM2 与 y 轴分别交于(0,m)和(0,n) ,问 m·n 是否为定值?若是 求出该定值;若不是,请说明理由。 【试题答案】 一、选择题 DCAB ABDA 二、填空题 9. 84,2 10. 外切 11. (-2,7) 12. 2 13. 4 14. a= 三、解答题 15. 解: (1)∵3 2acca2c?? 由正弦定理得 ?sinAsinCsinA33 2 ∴sinC=?3 ∵锐角△ABC∴C= 32 1?33,由面积公式 S=absinC= ∴ab=6 232(2)C= 又 c=7 由余弦定理得 a2+b2=13 16. 解: (1)因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为 B 的考生有 10 人, 所以该考场有 10÷0.25=40(人)
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所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为 A 的人数为 40×(1-0.375-0.375-0.15-0.025)=40×0.075=3 (2)求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为 1×(40×0.2)+2×(40×0.1)+3×(40×0.375)+4×(40×0.25) +5×(40×0.075) 40 =2.9 (3)因为两科考试中,共有 6 人得分等级为 A,又恰有两人的两科成 绩等级均为 A,所以还有 2 人只有一个科目得分为 A 设这四人为甲,乙,丙,丁,其中甲,乙是两科成绩都是 A 的同学, 则在至少一科成绩等级为 A 的考生中,随机抽取两人进行访谈,基本 事件空间为Ω ={甲,乙},{甲,丙},{甲,丁},{乙,丙},{乙,丁}, {丙,丁},一共有 6 个基本事件 设 “随机抽取两人进行访谈, 这两人的两科成绩等级均为 A” 为事件 B, 所以事件 B 中包含的基本事件有 1 个,则 P(B)=1。 6 3。 2 17. 解:AC 边上的高线 2x-3y+1=0,所以 kAC=- 所以 AC 的方程为 y-2=-3(x-1) ,即 3x+2y-7=0, 2 同理可求直线 AB 的方程为 x-y+1=0。 由??3x?2y?7?0,得顶点 C(7,-7) , ?x?y?0, ?x?y?1?0,得顶点 B(-2,-1) 。 ?2x?3y?1?0,
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22,直线 BC:y+1=-(x+2) ,即 2x+3y+7=0。 33 由?所以 kBC=- 18. 解: (1)方程有实根,则△≥0,c≤1 又|t1-t2|=2 得(t1+t2) 2-4t1t2=12, 解得 c=-2,两根为 1± (2)log4(x2+4)≥log44=1, 所以不等式-k2+2mk-2k≤1 对任意 k∈[-2, 2mk≤k2+2k+1 当 k=0 时,不等式成立,m∈R 当 k>0 时,2m≤(2+k+1]恒成立, 219)min m≤ k4 1)min m≥0 k 当 k<0 时,2m≥(2+k+ 综合得 0≤m≤9 4 an?1?2n?1an?2n3an?3n?1?2n?2n?1an?2n ????1, 19. 解: (1)∵bn+1-bn=3n?13n3n?13n ∴{bn}为等差数列。又 b1=0,∴bn=n-1。∴an=(n-1) ·3n+2n。 (2)设 Tn=0·31+1·32+?+(n-1) ·3n,则 3Tn=0 · 32+1 · 33+?+ ( n - 1 ) · 3n+1 。

∴?2Tn?3???3?(n?1)?32nn?19(1?3n?1)??(n?1)?3n?1。 1?3 9?3n?1(n?1)?3n?1(2n?3)?3n?1?9??∴Tn?。 424 (2n?3)3n?1?2n?3?1∴Sn?Tn?(2?2???2)?。 42n 20. 解: (1)圆心 O 到直线 x+y+2=0 的距离 d=1。 圆的半径 r=2,∴|AB|=2r2?d2=2。
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直线 l1 截圆 O 所得劣弧所对圆心角的大小是 2?。 3 (2)M(x1,y1) ,P(x2,y2) ,则 M1(-x1,-y1) ,M2(x1,-y1) ,

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