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2.1、二次函数的图象与性质

时间:2017-09-05


二次函数的图象与性质
重点、难点: 1. 重点: ⑴理解并掌握二次函数的定义,会根据问题要求正确列出二次函数关系式; ⑵会用描点法画出二次函数的图象,并探索、掌握其性质; 2. 难点: ⑴会利用图象或通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点的位置; ⑵掌握二次函数关系式常见的三种形式,并能灵活运用解题. 知识梳理: 1. 二次函数的概念 一般地,形如 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? ,则 y 叫做 x 的二次函数,其中 x 为自变量. 说明:⑴函数关系式必须是整式,任何一个二次函数都可以化成 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的形式,因此,把 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 叫做二次函数的一般形式;⑵化简后二次函数中自 变量的最高次数必须是 2, 二次项的系数 (特别是用字母表示时) 必须不为 0.⑶一般情况下, 二次函数中自变量的取值范围为全体实数,但在实际问题中,自变量 x 有特殊的取值范围. 2. 二次函数的图象及平移规律 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 的图象是一条对称轴平行于 y 轴的曲线,这条曲线叫做 抛物线, 对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.几个不同的二次函数, 如果二次项系数 a 相 同,那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同,只是位置不相同. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 可由抛物线 y ? ax2 ? a ? 0? 平移得到.由于平移时, 抛物线上 所有的点的移动规律都相同, 所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题, 需要利用二次函数的顶点式 y ? a( x ? h)2 ? k 来讨论.具体平移方法如下图所示:

这里我们总结了一个口诀帮大家总结二次函数图像平移时的规律: a 倍系数定开口,a>0,开口向上,a<0,开口向下. 加减常数上下走,加上常数,向上移动;减去常数,向下移动. 常数若是进括号, 加减左右对称轴.括号内加,向左移动;括号内减,向右移动. (注:这里加减的数指正数) 3. 二次函数的图象特征
2 b ? 4ac ? b 2 , 它 的 图 象 是 以 直 线 通 过 配 方 y ? ax ? bx ? c 可 写 成 y ? a? ?x ? ? ? 2a ? 4a ?
2

x??

2 b ? ? 为对称轴,以 ? ? b , 4ac ? b ? 为顶点的一条抛物线. ? 2a 4a ? ? 2a ?

4. 二次函数的性质

a值
⑵当 x= ?

函数的图象及性质 ⑴开口向上,并且向上无限伸展;

a >0

b 4ac ? b 2 时,函数有最小值 ; 2a 4a b 当 x< ? 时,y 随 x 的增大而减小; 2a b 当 x> ? 时,y 随 x 的增大而增大. 2a

⑴开口向下,并且向下无限伸展; ⑵当 x= ?

a <0

b 4ac ? b 2 时,函数有最大值 ; 2a 4a b 当 x< ? 时,y 随 x 的增大而增大; 2a
当 x> ?

b 时,y 随 x 的增大而减小. 2a

5. a 、 b 、 c 与图象的关系 开口上下决定 a 的正负; 左同右异; (即对称轴在 y 轴左侧与右侧分别判别 a、b 的符号的异同. ) 抛物线与 y 轴的正半轴或负半轴相交确定 c 的正负. 6. 二次函数解析式的求法 用待定系数法可求出二次函数的解析式, 确定二次函数一般需要三个独立的条件, 根据 不同的条件选择不同的设法: ⑴设一般形式: y ? ax2 ? bx ? c (a≠0) 若已知条件是图象上一般的三个点,则设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c,将已知条 件代入组成三元一次方程组,求出 a,b,c 的值. ⑵设顶点形式: y ? a?x ? h?2 ? k (a≠0) 若已知二次函数的顶点坐标(h,k) ,设所求二次函数为 y=a(x-h)2+k,将第二个 点的坐标代入,求出待定系数 a,最后将解析式化为一般形式. ⑶设交点式: y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ? (a≠0) 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为(x1, 0) , (x2, 0) ,设所求的二次函 数为 y ? a?x ? x1 ??x ? x2 ? ,将第三点的坐标代入,求出待定系数 a,最后将解析式化为一般 形式.

【典型例题】
例 1. 下列函数是二次函数的是( A. y=8x2+1 B. y=8x+1 ) C. y=

8 x

D. y=

8 +1 x2 8 、 x

分析:形如 y=ax2+bx+c(a、b、c 为常数,且 a≠0)的函数为二次函数.函数 y= y=

8 8 8 +1 右边的代数式 、 2 是关于自变量 x 的分式,不是二次函数. 2 x x x

解:A 为二次函数,B 为一次函数,C 为反比例函数,故选 A. 例 2. 已知函数 y=(m-1)x +5x-3 是二次函数,求 m 的值. 2 分析:二次函数的一般式 y=ax +bx+c(a≠0)中,二次项系数 a≠0,不少同学在解 题时容易忘记. 错解:∵函数 y=(m-1)x ∴m=± 1. 正确解法:∵y=(m-1)x ∴m=-1.
m 2 ?1 m 2 ?1

+5x-3 是二次函数,∴m2+1=2,m2=1.

m 2 ?1

+5x-3 是二次函数,∴m2+1=2 且 m-1≠0.

例 3. 底面半径为 rcm,高为 2cm 的圆柱体的体积为 Vcm3. ⑴求 V 与 r 的函数关系式; ⑵画出函数图象. 分析:因为圆柱体底面半径为 rcm,则底面面积为 ? r2cm2,所以容易得到 V 关于 r 的 函数关系式.但在本题中,圆的半径为正值,所以自变量 r 的取值范围是 r>0,这点不能忽 视. 解:⑴依题意,得圆柱体底面面积为 ? r2cm2,所以有 V=2 ? r2(r﹥0) . ⑵列表: r V

1 2 1 π 2

1 2π

3 2 9 π 2

… …

根据上表,描点、连线,画出函数图象,如下图所示:

∵r 取大于 0 的数,∴其图象只在第一象限(原点 O 是虚点) . 说明:本题中因为自变量 r 的取值范围是 r>0,所以画出的图象只是抛物线在第一象限 的一部分,应注意,原点处应为空心点. 例 4. 某商店将每件进价为 10 元的商品按每件 12 元出售时,一天可卖出 150 件,该商店 经过调查发现,该商品每提价 0.1 元,其销售量下降 5 件,设该商品每件提高 x 元时,每天 的销售利润为 y 元,求 y 与 x 的函数关系式. 分析:在列实际问题的函数关系式中,应正确分析题意,找出各个数量之间的关系,不 能在还未弄清题意时便贸然列函数关系式. 错解 1:y=(12-10+x) · (150-5x) .

错解 2:y=(12+x) (150-50x) . 正确解法:y=(12-10+x) (150-x÷0.1×5)=(2+x) (150-50x) . 错解分析:解法 1 忽略了销售件数与提高价格的关系,误认为每提高 1 元销售量下降 5 件;解法 2 不明白利润应为销售收入与成本的差. 例 5. 二次函数 y=

1 2 5 1 x +3x+ 的图象是由函数 y= x2 的图象先向 2 2 2

(左、右)

平移 个单位,再向 (上、下)平移 个单位得到的. 分析: 在二次函数由一般式化成顶点式时, 在配方过程中提公因式和去括号时容易出现 错误. 解:y= =

1 2 5 1 1 x +3x+ = (x2+6x+5)= (x2+6x+9-9+5) 2 2 2 2

1 (x+3)2-2. 2 1 5 1 ∴抛物线 y= x2+3x+ 是由 y= x2 向左平移 3 个单位,再向下平移 2 个单位得到 2 2 2
的. 例 6. 选择题:抛物线 y=2x2+4x-3 的顶点坐标是( ) A. (1,-5) B. (-1,-5) C. (-1,-4) D. (-2,-7) 分析:题中所给的二次函数的解析式是一般式,可以利用配方的方法,也可以记住对称 轴 x= ?

b b 4ac ? b 2 , ,顶点( ? ) ,把它们当作公式应用. 2a 2a 4a

解法一:∵y=2x2+4x-3=2(x2+2x+1)-5=2(x+1)2-5, ∴顶点坐标为(-1,-5) . 解法二:∵a=2,b=4,c=-3, b 4 4ac ? b 2 4 ? 2 ? (?3) ? 4 2 ?? ? ?1, y ? ? ∴x= ? =-5 2a 2? 2 4a 4? 2 ∴顶点的坐标为(-1,-5) . 答案:B 例 7. 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如下图所示,下列结论中,正确的个数有( ①abc>0 ②b=2a ③a+b+c<0 ④a-b+c>0 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 )

分析:根据抛物线 y=ax2+bx+c 的图象与 a、b、c 的关系,可以判定出结果. 解:∵抛物线的开口向下,∴a<0.

又∵对称轴在 y 轴左侧,∴a、b 同号, 又∵抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴上,∴c>0,∴abc>0. 又∵ ?

b =-1,∴b=2a. 2a

令 x=1,则 y=a+b+c=0,∴a+b+c<0 不正确. 令 x=-1,则 y=a-b+c>0,∴a-b+c>0 正确. 答案:B 例 8. 已知一次函数 y=ax+c,二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) ,它们在同一坐标系中的 大致图象是( ) .

分析:先由一次函数 y=ax+c 确定 a 与 c 的正负情况,再与二次函数的图象比较. 解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ?ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定直线与 y 轴交 点;也在抛物线中决定抛物线与 y 轴交点,本题中 c 相同,则两函数图象在 y 轴上有相同的 交点,故排除 B. 答案:D. 例 9. 已知二次函数的图象的顶点是(1,-8) ,且经过点(3,0) ,求这个二次函数关 系式. 分析:求二次函数关系式的方法,应根据具体问题灵活应用,选取最简方案.本题因为 已知二次函数图象顶点及与 x 轴的一个交点,故可用一般式,顶点式或两点式. 解法 1:因为抛物线顶点为(1,-8) ,所以设函数关系式为 y=a(x-1)2-8. 把(3,0)代入上式,得 0=a(3-1)2-8.∴a=2. ∴二次函数关系式为 y=2(x-1)2-8=2x2-4x-6. 解法 2:∵抛物线对称轴为直线 x=1,与 x 轴一个交点为(3,0) ,设另一交点为(x2, 0) ,则 1=

3 ? x2 .∴x2=-1.∴设二次函数关系式为 y=a(x+1) (x-3) . 2

把(l,-8)代入上式,得-8=a·2· (-2) .∴a=2. ∴二次函数关系式为 y=2(x+1) (x-3)=2(x2-2x-3)=2x2-4x-6. 例 10. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分.在大桥截面 1:11000 的比例图上, 跨度 AB=5cm,拱高 OC=0.9cm,线段 DE 表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图①,在比例 图上,以直线 AB 为 x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴,以 1cm 作为数轴的单位长度,建立平 面直角坐标系如图②. ⑴求出图②上以这一部分抛物线为图象的函数关系式,写出函数定义域; ⑵如果 DE 与 AB 的距离 OM=0.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥长. (备用数据: 2 ≈ 1.4,计算结果精确到 1 米) 分析:⑴由题意知,抛物线顶点为(0,0.9) ,且过 A(-2.5,0) ,B(2.5,0).⑵求

DE 的长,可求出 D、E 的横坐标,D、E 的纵坐标与 M 点纵坐标相等,为 0.45,将 y=0.45 代入⑴中函数关系式即可求出 D、E 的横坐标.

解:⑴由题意知,抛物线顶点 C 的坐标为(0,0.9) ,所以设抛物线关系式为 y=ax2+ 0.9.把 B(2.5,0)代入上式,得 0=6.25a+0.9.解得 a=- ∴函数关系式为 y=-

18 . 125

18 2 9 x+ (-2.5≤x≤2.5) . 125 10 9 9 18 2 9 ⑵∵DE∥AB, ∴D、 M、 E 的纵坐标相等, 都为 . 把 y= 代入 y=- x+ , 20 20 125 10 5 9 5 9 5 5 2, ) 2 .∴D 点坐标为(- 2, 得 x1= ) ,E 点坐标为( . 2 .x2=- 4 20 4 20 4 4 5 5 5 2? 2= 2. ∴DE= 2 4 4 5 2 ∴卢浦大桥拱内实际桥长为 × 11000× 0.01=275 2 ≈385(米) . 2
点拨:求 DE 的长即求出 D、E 两点坐标.

【模拟试题】 (答题时间:40 分钟)
一、选择题 1. 若函数 y ? (m-2)xm -2是二次函数,那么 m 的值是( A. 2 B. -2 2 2. 抛物线 y=x +3x 的顶点在( A. 第一象限 B. 第二象限 A. 抛物线的开口向下 C. 抛物线的顶点是原点 C. 2 或-2 ) C. 第三象限
2
2



D. ?

2

D. 第四象限 )

3. 下面是小华同学对二次函数 y ? ?3x 图象的描述,其中错误的是( B. 抛物线的对称轴为 y 轴 D. 抛物线经过点(-3,1)

4. y=(x-1)2+2 的对称轴是直线( ) A. x=-1 B. x=1 C. y=-1 D. y=1 2 2 5. 若抛物线y=a1x ,y=a2x 的形状、大小、开口方向均相同,那么( ) A. a1=a2 B. a1=-a2 C. |a1|=|a2| D. a1与a2的关系无法确定 6. 已知抛物线和直线 l 在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线 x= -1,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2)是抛物线上的点,P3(x3,y3)是直线 l 上的点,且-1<x1 <x2,x3<-1,则 y1,y2,y3 的大小关系为( ) A. y1<y2<y3 B. y3<y1<y2

C. y3<y2<y1

D. y2<y1<y3

二、填空题 1. 已知函数 y=(m2-1)x2+(m2-2m-3)x-m-1,当 m__________时,y 是 x 的二 次函数;当 m_______时,y 是 x 的一次函数。 2. 二次函数 y = 2x2 - 4x + 3 通过配方化为顶点式为 y = _________ , 其对称轴是 ______,顶点坐标为_______,抛物线开口________,当 x_______时,y 随 x 的增大而增大; 当 x____时,y 随 x 的增大而减小;当 x=______时,y 最值=________. 3. 把抛物线 y=2x2 向右平移一个单位,再向下平移 3 个单位,得到的抛物线的解析式是 __________________. 4. 请写出一个开口向上,对称轴为直线 x=2,且与 y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线 的解析式 。 5. 若二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点(0,-1),(5,-1),则它的对称轴方程 是________. 三、解答题 1. 已知抛物线过三点: (0,-2) , (1,0) , (2,3) ,求函数解析式. 2. 正方形铁片边长为 15cm,在四个角上各剪去一个边长为 x(cm)的小正方形,用余下 的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积 S(cm2)与小正方形边长 x(cm)之间的函数关系式; (2)当小正方形边长为 3cm 时,求盒子的表面积. 3. 如图①是一张眼镜的照片,两镜片下半部分轮廓线可以近似看成抛物线形状。建立如 图②直角坐标系,已知左轮廓线端点 A、B 间的距离为 4cm,点 A、B 与右轮廓线端点 D、 E 均在平行于 x 轴的直线上,最低点 C 在 x 轴上且与 AB 的距离 CH=1cm,y 轴平分 BD, BD=2cm,解答下列问题: ⑴求左轮廓线 ACB 的函数解析式(写出自变量 x 的取值范围) ; ⑵由⑴写出右轮廓线 DFE 对应的函数解析式及自变量 x 的取值范围。

【试题答案】
一. 选择题。 1. B 2. C 3. D 4. B 5. A 6. D

二. 填空题。 1. m≠±1 m=1 2. 2(x-1)2+1;直线 x=1; (1,1) ;向上;x>1;x<1;1;1 2 3. y=2x -4x-1 4. y=(x-2)2-1 等 5. x=

5 2

三. 解答题。 1. 设所求二次函数关系式为 y=ax2+bx+c,把(0,-2) , (1,0) , (2,3)分别代入 y 2 =ax +bx+c,得 1 ? ?a ? 2 ?c ? ?2 ? 3 1 3 ? ? , ∴y= x 2 ? x ? 2 a ? b ? c ? 0 ?b ? ? 2 2 2 ? ?4a ? 2b ? c ? 3 ? ? c ? ?2 ? ? 2. ⑴ S ? 15 ? 4 x ? 225 ? 4 x (0 ? x ?
2 2 2

15 ); 2 2 ⑵当 x=3cm 时, S ? 225? 4 ? 3 ? 189(cm2) .

3. 解: (1)如图②,设左轮廓线 ACB 的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0)

∵A(-5,1) ,B(-1,1) ,C(-3,0) 1 ? ?a ? 4 ?25a ? 5b ? c ? 1 ? 3 ? ? ? ?a ? b ? c ? 1  解得?b ? 2 ?9a ? 3b ? c ? 0 ? ? 9 ? ?c ? 4 ?

?左轮廓线ACB的抛物线解析式为 y?

1 2 3 9 x ? x ? (-5 ? x ? 1) 4 2 4
1 顶点 C(-3,0) (x ? 3) 2 , 4

(2)由左右两轮廓线关于 y 轴对称,又 y ? ∴顶点 C 关于 y 轴的对称点 F(3,0) 且 a1 ?

1 1 ?右轮廓线DFE对应的解析式为 y ? (x-3) 2 4 4

即y?

1 2 3 9 x - x ? (1 ? x ? 5) 4 2 4


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