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2015-2016学年高中数学 第1章 1.3第2课时 利用导数研究函数的极值课件 新人教B版选修2-2

时间:2015-12-29


第一章
导数及其应用

第一章 1.3 导数的应用
第2课时 利用导数研究函数的极值

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

3

课 时 作 业

课前自主预习

苏轼《题西林壁》中的诗句“横看成岭侧成峰,远近高低
各不同”,描述的是庐山的高低起伏,错落有致.在群山之 中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是

其附近的最高点.
那么,在数学上,这种现象如何来刻画呢?

1.如何利用导数求函数的单调区间? 2.函数最大值、最小值的定义是什么? 答案:1.在函数定义域内,由f′(x)>0可得函数的增区间, 由f′(x)<0可得函数的减区间.

2.设y=f(x)的定义域为I,若存在实数M满足:?x∈I,都
有f(x)≤(≥)M,且存在x0∈I,使得f(x0)=M,则称M是y=f(x)的最 大(小)值.

一、函数的极值

1.函数极值的概念
已知函数f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附 近的所有点x,都有f(x)<f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极大值, 记作y极大=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极大值点.如果在 x0附近都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值,记作y极
小=f(x0),并把x0称为函数f(x)的一个极小值点.

极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为 极值点.

注意:(1)函数的极值只是一个局部性的概念,是仅对某 一点及左、右两侧区域而言的.在函数的整个定义区间内可能 有多个极大值或极小值,且极大值不一定比极小值大,如图,

点x1、x3是极大值点,x2、x4是极小值点,且在点x1处的极

大值小于在点上x4处的极小值.
(2)极值点是自变量的值,极值指的是函数值. (3)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能

成为极值点.
(4)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝对不会是 单调函数,即在区间上的单调函数没有极值.

2.极值与导数的关系
如图(1),若x0是极大值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是增 函数,即f′(x)>0,在x0的右侧附近f(x)只能是减函数,即 f′(x)<0.

如图(2),若x0是极小值点,则在x0的左侧附近f(x)只能是 减函数,即f′(x)<0;在x0的右侧附近f(x)只能是增函数,即 f′(x)>0. 综合以上情形,可以得到:若x0满足f′(x0)=0,且在x0的 两侧f(x)的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值.若 f′(x)在x0的两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点, f(x0)是极大值;若f′(x)在x0的两侧满足“左负右正”,则x0是 f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.

注意:可导函数的极值点.必须是导数为0的点,但导数 为0的点不一定是极值点.即“点x0是可导函数f(x)的极值点” 是“f′(x0)=0”的充分不必要条件.不可导的点可能是极值 点也可能不是极值点.例如:①导数为0的点是极值点:y= x2,y′|x=0=0,x=0是极值点.②导数为0的点不是极值点:y =x3,y′|x=0=0,x=0不是极值点.③不可导的点是极值点: y=|sinx|,x=0不可导,但x=0是极值点.

3.利用导数求函数极值的方法步骤 (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0的所有实数根; (3)观察在每个根x0附近,从左到右导函数f′(x)的符号如 何变化. ①如果f′(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值; ②如果由负变正,则f(x0)是极小值. ③如果在f′(x)=0的根x=x0的左右侧f′(x)的符号不变, 则不是极值点.

f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的( A.充分不必要条件

)

B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] D

[解析] 当f′(x)=0时,必须f′(x)在x0的左右两侧异号才 能在x0处取得极值;反之,当函数f(x)在x0处取得极值时,也可 能f(x)在x0处不存在导数,所以也不一定有f′(x0)=0. 所以f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的既不充分也不 必要条件,故选D.

二、函数的最大值与最小值 1.利用导数求函数最值的方法 函数f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲 线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值与最小值,函数 的最值必在极值点或区间端点处取得. 例如,如图,曲线为函数f(x)的 图象,定义域为[a,b],则易得 f(x2),f(x4)是极大值,f(x1),f(x3), f(x5)是极小值,比较极大值及端点 的函数值知函数的最大值是f(b),比较极小值及端点的函数值 知函数的最小值是f(x3).

注意:(1)求可导函数y=f(x)在[a,b]上的最大值,最小值 步骤: ①求f(x)在开区间(a,b)内所有使f′(x)=0的点; ②计算函数f(x)在区间内使f′(x)=0的所有点和端点的函数

值,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.
(2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上是单调函数,则可直接利用 单调性法求函数的最值,即若f(x)在[a,b]上递增,则f(x)的最

大值为f(b),最小值为f(a);若f(x)在[a,b]上递减,则f(x)的最大
值为f(a),最小值为f(b).

2.极值与最值的关系 (1)函数的最值是一个整体性的概念.函数极值是函数在某

一点及其附近的局部性概念,具有相对性;而函数的最值则是
表示函数在整个定义域上的情况,是对整个区间上的函数值的 比较. (2)函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值 或最小值只能各有一个,具有唯一性,而极大值和极小值可能 多于一个,也可能没有,例如:常数函数就既没有极大值也没 有极小值. (3)极值只能在区间内取得,最值则可以在端点处取得,有

极值的不一定有最值,有最值的也未必有极值;极值有可能成
为最值,最值只要不在端点处取必定是极值.

1 (4)开区间上的连续函数不一定有最值.例如y= 在区间 x 1 (0,1)上是连续的,如图,但在该区间上,函数y= 既没有最大 x 值也没有最小值.

(5)求函数的最值与函数的极值不同的是,在求可导函数 的最值时,不需对各导数为零的点讨论其是极大值还是极小 值,只需将导数为零的点和端点的函数值进行比较即可.

下列结论正确的是(

)

A.在区间[a,b]上,函数的极大值就是最大值 B.在区间[a,b]上,函数的极小值就是最小值 C.在区间[a,b]上,函数在x=a和x=b时取得最大值和最 小值 D.一般地,在区间[a,b]上连续的函数f(x))在[a,b]上必 有最大值和最小值

[答案] D
[解析] 由于函数在给定的闭区间上不一定有极值,但必 有最值,且最值有可能在端点处取得,也有可能在极值点取

得,因此前三个选项都不正确.

三、函数极值与最值的应用技巧

(1)确定参数的值,这里一般用待定系数法.
(2)求参数的取值范围,运用化归与转化的思想方法. (3)判断方程根的变化.这里一般是利用数形结合的思想来 讨论方程的根,即先根据函数极值的情况画出函数f(x)的草 图,再观察方程的根,或转化为函数的零点问题. (4)证明不等式 这里一般是先构造函数,再根据函数的最值来证明不等 式.

求含参数的值域问题时,通常对参数进行分类讨论.

如图所示,三次函数f(x)=x3+ax2+x在区间[-1,1]上有极 大值和极小值,求常数a的取值范围.

[解析] ∵f′(x)=3x2+2ax+1,f(x)在区间[-1,1]上有极 大值与极小值, 即f′(x)=0在区间[-1,1]上有两个相异的实根, ∴方程3x2+2ax+1=0在区间[-1,1]上有两个相异的实 ?Δ=4a2-4×3>0, ? ?-1<-a<1, 3 根,则? ?f′?1?=2a+4≥0, ? ?f′?-1?=-2a+4≥0 ? ?a<- 3或a> 3, ?-3<a<3, ?? ?a≥-2, ? ?a≤2.

∴a∈[-2,- 3)∪( 3,2].

课堂典例探究

求函数的极值

求函数f(x)=-x3+12x+6的极值.

[分析] 本题主要考查求函数极值的方法.解决本题的关 键是求出导数为零的点,判断函数在该点的左右邻域是单调 的,并且单调性相反.

[解析] (1)y′=-3x2+12=-3(x+2)(x-2).令y′=0, 解得x1=-2,x2=2.当x变化时,y′,y的变化情况如下表: x y′ y (-∞,-2) - ? -2 0 极小值-10 (-2,2) + ? 2 0 极大值22 (2,+∞) - ?

当x=-2时,y有极小值,并且y极小值=f(-2)=-10; 而当x=2时,y有极大值,并且y极大值=f(2)=22.

[方法总结] 判断一个函数是否有极值,不能只求解y′ =0,根据函数极值的定义,函数在某点处存在极值,则应在 该点的左右邻域是单调的,并且单调性应相反.

求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.

[解析] f′(x)=3x2-6x-9=3(x2-2x-3). 解方程x2-2x-3=0,得x1=-1,x2=3. 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + ? -1 0 极大值 (-1,3) - ? 3 0 极小值 (3,+∞) + ?

因此,当x=-1时,f(x)有极大值,且f(-1)=10; 当x=3时,f(x)有极小值,且f(3)=-22.

含参数的极值问题

已知f(x)=ax5-bx3+c在x=± 1处的极大值为4, 极小值为0,试确定a、b、c的值.
[分析] 本题的关键是理解“f(x)在x=± 1处的极大值为4, 极小值为0”的含义.即x=± 1是方程f′(x)=0的两个根且在根 x=± 1处f′(x)的取值左右异号. [解析] f′(x)=5ax4-3bx2=x2(5ax2-3b). 由题意,f′(x)=0应有根x=± 1,故5a=3b, 于是f′(x)=5ax2(x2-1)

(1)当a>0时,
x y′ y (-∞,-1) + ? -1 0 极大值 (-1,0) - ? 0 0 无极值 (0,1) - ? 1 0 极小值 (1,+∞) + ?

? ?4=f?-1?=-a+b+c 由表可见:? ? ?0=f?1?=a-b+c



又5a=3b,解之得:a=3,b=5,c=2. (2)当a<0时,同理可得a=-3,b=-5,c=2.

[方法总结] 紧扣导数与极值的关系对题目语言进行恰当 合理的翻译、转化是解决这类问题的关键.

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=-1时,取得极大值

7;当x=3时,取得极小值,求这个极小值及a,b,c的值.

[解析] f′(x)=3x2+2ax+b. 据题意,-1,3是方程3x2+2ax+b=0的两个根, 2a ? ?-1+3=- 3 由韦达定理得? ??-1?×3=b 3 ?



∴a=-3,b=-9. ∴f(x)=x3-3x2-9x+c. ∵f(-1)=7,∴c=2, 极小值f(3)=33-3×32-9×3+2=-25. ∴极小值为-25,a=-3,b=-9,c=2.

函数的最大值与最小值

求函数f(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最大 值与最小值.
[分析] 首先求f(x)在(-1,2)内的极值,然后将f(x)的各极 值与f(-1),f(2)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个 是最小值.

[解析] f′(x)=3x2-4x. 4 令f′(x)=0,有3x -4x=0,解得x=0, . 3
2

当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表: x f′(x)+ f(x) -1 (-1,0) 0 0 -2 - ? 0 1
? 4? ? ? 0 , ? 3? ? ?

4 3

?4 ? ? ? , 2 ?3 ? ? ?

2

+ ? 5 - 27 ? 1

从上表可知,最大值是1,最小值是-2.

[方法总结] 注意比较求函数的最值与求函数极值的不同.

1 2 求函数f(x)=ln(1+x)- x 在区间[0,2]上的最值. 4 1 1 [解析] f′(x)= - x, 1+x 2
1 1 令f′(x)=0,即 - x=0,得x=-2或1, 1+x 2 又x+1>0,∴x>-1,∴x=-2舍去. 1 ∵f(0)=0,f(1)=ln2- ,f(2)=ln3-1, 4 1 ∴该函数在区间[0,2]上的最大值为ln2- ,最小值为0. 4

含参数的最值问题

已知函数f(x)=ax3-6ax2+b,问是否存在实数
a,b,使f(x)在[-1,2]上取最大值3,最小值-29,若存在,求 出a,b的值;若不存在,说明理由. [分析] 利用求最值的方法确定a、b的值,注意对a的讨 论.

[解析] 显然a≠0. f′(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4). 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=4(舍去).

(1)当a>0时,当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况见下表: x f′(x) f(x) [-1,0) + ? 0 0 最大值 (0,2] - ?

所以当x=0时,f(x)取得最大值,所以b=3. 又f(2)=-16a+3,f(-1)=-7a+3, f(-1)>f(2), 所以当x=2时,f(x)取得最小值,-16a+3=-29, 即a=2.

(2)当a<0时,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) [-1,0) - ? 0 0 最小值 (0,2] + ?

所以当x=0时,f(x)取得最小值,所以b=-29. 又f(2)=-16a-29,f(-1)=-7a-29,f(2)>f(-1). 所以当x=2时,f(x)取得最大值,即-16a-29=3, 即a=-2. 综上所述a=2,b=3或a=-2,b=-29.

[方法总结] 本题综合运用求极值、最值的方法确定参数 a、b,注意对a的讨论和最大、最小值的确定.

设函数f(x)=ax3+bx2-3a2x+1(a、b∈R).在x=x1,x=x2 处取得极值,且|x1-x2|=2. (1)若a=1,求b的值; (2)若a>0,求a、b的关系及a的取值范围.

[解析] 由已知得f′(x)=3ax2+2bx-3a2.① (1)当a=1时,f′(x)=3x2+2bx-3. 由题意知x1,x2是方程3x2+2bx-3=0的两根, 4b2+36 所以|x1-x2|= . 3 又因为|x1-x2|=2,得b=0.

(2)由①式及题意知x1,x2是方程3ax2+2bx-3a2=0的两实 根, 4b2+36a3 所以|x1-x2|= . 3a 从而|x1-x2|=2?b2=9a2(1-a), 所以0<a≤1. 即a的取值范围是(0,1].

利用函数最值处理不等式问题

设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2 处取得极值. (1)求a,b的值; (2)对于任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范 围.

[分析] 解答本题首先由x=1,x=2是f′(x)=0的两根, 求出a,b的值;再求出f(x)在[0,3]上的最大值,f(x)<c2恒成立即 c2>f(x)max.从而解出c的值.
[解析] (1)∵f′(x)=6x2+6ax+3b, 又f(x)在x=1及x=2处取得极值, ∴f′(1)=0,f′(2)=0,
? ?f′?1?=6+6a+3b=0 ∴? ? ?f′?2?=24+12a+3b=0 ? ?a=-3 由①②解得? ? ?b=4

① ②

.

(2)若对于任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,只需f(x)在x∈ [0,3]上的最大值小于c2即可. 又当x=1或x=2时,f′(x)=0, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 8c 0 (0,1) + ? 1 0 极大值 5+8c (1,2) - ? 2 0 极小值 4+8c (2,3) + ? 9+8c 3

可知y=f(x)在x∈[0,3]上的最大值为f(3)=9+8c, ∴9+8c<c2,解得c<-1或c>9. 所以c的取值范围是(-∞,-1)∪(9,+∞). [方法总结] 利用转化的思想把恒成立问题转换为最值问 题.注意求函数最值常用的方法:单调性法、求导法.为更清 楚地判断极值(或最值)情况,可结合列表法进行.

例5中(2)改为“若对任意的x∈[0,3]都有f(x)≥c2成立,求c 的取值范围”,如何解答?

[解析] 由例题可知f(x)=2x3-9x2+12x+8c, 若对任意的x∈[0,3],都有f(x)≥c2成立,只需f(x)在x∈[0,3] 上的最小值大于c2即可. 又当x=1或x=2时,f′(x)=0, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:

x f′(x) f(x)

0

(0,1) +

1 0 极大值 5+8c

(1,2) - ?

2 0 极小值 4+8c

(2,3) + ?

3

8c

?

9+8c

可见函数f(x)在[0,3]上的最小值为8c, ∴f(x)≥c2恒成立,等价于8c≥c2, 解得0≤c≤8.

已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值 为0,求常数a,b的值.
[错解] 因为f(x)在x=-1时有极值为0,且f′(x)=3x2+ 6ax+b,
? ?f′?-1?=0, 所以? ? ?f?-1?=0, ? ?a=1, 解得? ? ?b=3, ? ?3-6a+b=0, 即? 2 ? - 1 + 3 a - b + a =0. ?

? ?a=2, 或? ? ?b=9.

因此常数a=1时,b=3;a=2时,b=9.

[辨析]

根据极值的定义,函数先减后增为极小值,函数

先增后减为极大值,此题未验证x=-1两侧函数的单调性. [正解] 由错解得当a=1,b=3时,f′(x)=3x2+6x+3= 3(x+1)2≥0, 所以f(x)在R上为增函数,无极值,故舍去.

当a=2,b=9时,f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3).
当x∈(-3,-1)时,f(x)为减函数, 当x∈(-1,+∞)时,f(x)为增函数, 所以f(x)在x=-1处取得极小值,因此a=2,b=9.

? ?极大值、极小值的概念?理解? 利用导数研究?求极大值、极小值的方法?掌握? ? 函数的极值 ?求最大值、最小值的方法?掌握? ? ?函数极值的应用?掌握?


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