nbhkdz.com冰点文库

12.2(1)圆的方程(圆的标准方程)

时间:2018-04-23


12.2 圆的方程
1.圆的标准方程

问题:求圆心是C(a ,b),半径 是r的圆的方程。

y r C M(x,y)

回顾
求曲线方程的一般步骤是:
建系 设点 列式

O
化简 证明

x

圆心是C(a,b),半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

圆心是C(a,b),半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2

记忆: 圆的标准方程有哪些特点? ① 是关于x、y的二元二次方程; ② 方程明确给出了圆心坐标和半径; ③ 确定圆的方程必须具备三个独立条件即 a 、 b 、 r。

例1:看图写出下列圆的方程:
y

r
O
y
C(a,b) O

(x-a)2+(y-a)2=a2
r
x y
C(a,a)

x2+y2=r2

x

(x-a)2+(y-b)2=a2+b2
x

练习: 写出下列各圆的圆心坐标和半径:

(1)(x-1)2 + y2 = 6
(2)(x+1)2 +(y-2)2 = 9

(1,0) (-1,2)

6 3

(3)(x+a)2 + y2 = a2

(-a,0)

|a|

例2.已知圆C经过P(5,1),圆心C ? 8,3? , 求圆C的方程.
解:设圆的方程为( x ? 8) ? ( y ? 3) ? r
2 2 2

y
C(8,3) P(5,1)

?点P(5,1)在圆上, 代入圆的方程得
r ? 13
2

0

x

故所求圆的方程为: ( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 13
2 2

也可用两点间距离公式求r

练习:已知A ? 4, 9 ?,B ? 6, 3?,求以AB为直径 的圆的方程.
Y A(4,9)

解:设AB的中点为(a, b)
B(6,3)

0

X

4?6 9?3 则a ? ? 5, b ? ? 6. 2 2

2 2 设圆的方程为 ( x ? 5)2 ? (? y ?( 6 )2?? r22 , 把点 ,3 AB 6 4) ? (3 ?B 9( )6 ?)代入得 2 10 r .

故所求圆的方程为 ( x ? 5) ? ( y ? 6) ? 10
2 2

练习:求过点C (?1,1)和D(1,3),圆心在x轴 上的圆的方程.
解:依题意设所求圆的方程为( x ? a) ? y ? r .
2 2 2

? ?(?1 ? a) ? 1 ? r 解方程组 ? 2 2 2 ? ?(1 ? a) ? 3 ? r
2 2

2

得a ? 2, r ? 10,
2

故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 10.
2 2

例3.求以C (1,3)为圆心,并和直线3x ? 4 y ? 6 ? 0 相切的圆的方程. 解:设所求圆的方程为 : y
C(1,3)

( x ? 1) ? ( y ? 3) ? r
2 2

2

圆心C (1,3)到直线3x ? 4 y ? 6 ? 0
0 x

的距离
r? | 3 ?1 ? 4 ? 3 ? 6 | 32 ? 42
2

3x-4y-6=0

? 3,
2

故所求圆的方程为 : ( x ?1) ? ( y ? 3) ? 9

练习: ?1? 求圆心在? -1,2?,且与y轴相切的圆 的方程; ? 2 ? 求圆心在直线y ? x上,且同时和两坐
标轴相切,半径为2的圆的方程;

?1? 解:因圆与y轴相切, 故圆的半径为1,
y C(-1,2)

设所求圆的方程为 : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? r
2 2 2

x -1 0

所求圆的方程为: ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1

练习: ?1? 求圆心在? -1,2?,且与y轴相切的圆 的方程; ? 2 ? 求圆心在直线y ? x上,且同时和两坐
标轴相切,半径为2的圆的方程;
Y 2

(2)解:依题意得所求圆的方程为
y=x

-2 C(-2,-2)

C(2,2) 0 2 -2
X

(x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4

例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该 圆拱跨度AB=20m, 拱高OP=4m,在建造时 每隔4m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的长 度(精确到0.01m)
y

x

例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨 度AB=20 m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一 个支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) 解:建立坐标系如图所示, 圆心在y轴上。 设圆心坐标是(0,b), 圆的 半径是r , 则圆的方程是 x 2+( y -b)2 =r 2。 因为P、B都在圆上,所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是 圆的方程的解。所以有
?10 2 ? ( 0 ? b ) 2 ? r 2 2=14.5 2 解之得: b = -10.5 , r ? 2 2 2 0 ? ( 4 ? b ) ? r ?
y

x

例4 如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨 度AB=20 m,拱高OP=4m,在建造时每隔4m需用一个 支柱支撑,求支柱A2P2的长度(精确到0.01m) y (续) 所以圆的方程是: x2 + (y + 10.5) 2 = 14.5 2 把点P2的横坐标x = -2 代入圆的方程,得
x

(-2) 2 + (y + 10.5) 2 = 14.5 2 2 2 因为P 2 的纵坐标 y > 0 ,所以 y ? 14.5 ? ( ?2) ? 10.5
≈14.36 -10.5 = 3.86(m) 答:支柱A2P2的长度约为3.86m。

小结
(1)圆心为C(a ,b),半径为r的圆的标准方程为 (x - a ) 2 + ( y - b ) 2 = r 2 当圆心在原点时,a = b = 0,圆的标准方程为: x 2+ y 2= r 2
(2)由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数, 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆; 对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径 或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的 标准方程。


12.2(1)圆的标准方程_图文.ppt

12.2(1)圆的标准方程 - 圆的标准方程 问题:求圆心是C(a ,b),半径 是r的圆的方程。 y r C M(x...

12.2(1)圆的方程(圆的标准方程)_图文.ppt

12.2(1)圆的方程(圆的标准方程) - 12.2 圆的方程 1.圆的标准方程

第12课时圆的方程(1).doc

1) 是否在这个圆上; (2)求圆心是 C (2, ?3) ,且经过原点的圆的 方程. 分析: 通过圆心, 半径可以写出圆的标准方程. 【解】 (1)∵圆心为 A(2, ?3...

上海教育版高中数学二下12.2《圆的方程》word教案.doc

上海教育版高中数学二下12.2圆的方程》word教案_教学案例/设计_教学研究_.... 教学过程设计 圆的标准方程 问题 1:已知一定圆 C 的半径为 r ,求此圆...

12.2圆的标准方程(1)_图文.ppt

12.2圆的标准方程(1) - 圆的标准方程 问题:求圆心是C(a ,b),半径 是r的圆的方程。 y r C M(x,y) 回顾 求曲线方程的一般步骤是: 建系设点 O ...

...圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选....doc

高中数学文科库《必修2》《第四章、圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选课后测试【12 - 高中数学文科库《必修 2》《第四章、圆与方程》《1...

...圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选....doc

高中数学文科库《必修2》《第四章、圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选课后作业【12 - 高中数学文科库《必修 2》《第四章、圆与方程》《1...

...圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选....doc

高中数学文科库《必修2》《第四章、圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选练习试题【12 - 高中数学文科库《必修 2》《第四章、圆与方程》《1...

12.2圆的方程(3)_图文.ppt

12.2圆的方程(3) - 12.2圆的方程 (三)点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 1.圆的标准方程定义: (x-a)2+(y-b)2=r2 其中圆心(a,b)半径为r。 ...

2018-2019学年2-12.2.1椭圆的标准方程课件(27张)_图文.ppt

版本:人教B版 章节:选修2-1第章第节 年级:高中年级 课程名称:椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 求动点轨迹方程的一般步骤: 坐标法 (1)建立适当的坐标系,...

圆的标准方程和一般方程定_图文.ppt

问题1 第8组 问题2 第9组 问题3 第7组 自由...的圆的方程 y 圆的标准方程 M r (x-a) 2 +...

12[1][1].2(1)圆的标准方程.ppt

圆的方程(Circular §12.2圆的方程 圆的方程 Equations) 1.圆的标准方程 圆的标准方程 一、课前导学 (一)知识回顾 1.圆的定义 2.画一个圆需要知道几个...

12.2.1圆的标准方程.doc

12.2.1 圆的标准方程 . 教学内容分析 ① 本节内容教学的重点是圆的标准方程、一般方程的推导、掌握.进一步理解曲线方程的意义. ② 本节的难点是圆的标准方程...

12.2.1圆的标准方程(1)_图文.ppt

12.2.1圆的标准方程(1) - 第十二章 圆锥曲线 12.1 曲线和方程 12.2 圆的标准方程(1) 一、圆的定义 定义. 到定点的距离等于定长的点的轨迹称为圆, ...

12.2.1圆的标准方程(1).ppt

( y ? b)2 ? r 2 称上述形式的圆的方程圆的标准方程. 特别地, 以原点为圆心, r?0为半径的圆的标准方程是 x2 ? y 2 ? r 2 思考:确定一个圆...

12.2圆的标准方程_图文.ppt

12.2圆的标准方程 - 12.2 圆的方程(课时) ---圆的标准方程 引入 石激起千层浪 福建土楼 奥运五环 小憩片刻 圆的定义: 平面内到定点的距离等于定...

...圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选....doc

高中数学文科库《必修2》《第四章、圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选课后测试【33_数学_高中教育_教育专区。高中数学文科库《必修 2》《第...

12.2.1圆的方程.doc

12.2.1圆的方程 - 12.2.1 圆的的方程 学习目标 (1)会推导圆的标准方程; (2)掌握用待定系数法求圆的方程的一般方法. 学习过程 一、引入 1.回顾圆的...

...圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选....doc

高中数学文科库《必修2》《第四章、圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选专题练习【23_数学_高中教育_教育专区。高中数学文科库《必修 2》《第...

...圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选....doc

高中数学文科库《必修2》《第四章、圆与方程》《1、圆的方程》《(1)圆的标准方程》精选课后作业【72_数学_高中教育_教育专区。高中数学文科库《必修 2》《第...