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【优化指导】高中数学 2-4-1课时演练(含解析)新人教版必修4

时间:2014-07-12


第二章

2.4

2.4. 1
)

→ → 1.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则AB·AC等于( A.-6 C.8 → → 解析:∵∠C=90°,∴AC·CB=0 → → → → → ∴AB·AC=(AC+CB)·AC →2 → → →2 =AC +AC·CB=AC =6. 答案:D 2.向量 a,b,c,实数 λ ,下列命题中真命题是( A.若 a·b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 λ a=0,则 λ =0 或 a=0 C.若 a =b ,则 a=b 或 a=-b D.若 a·b=a·c,则 b=c
2 2

B.-8 D .6

)

解析:若 a·b=0,表明 a,b 垂直,并不是 a=0 或 b=0;若 a =b ,表明|a| =|b| , 并不是 a=b 或 a=-b; 若 a·b=a·c,则有|a||b|cos α =|a||c|co s β ,α ,β 分别是向量 a,b 和 c,a 的 夹角,不只会是 b=c.故只有 B 正确. 答案:B 3.已知|a|=|b|=2,a·b=-2,且(a+b)⊥(a+tb),则实数 t 的值为( A.-1 B.1 C.-2 D.2 解析:∵(a+b)⊥(a+tb ), ∴(a+b)·(a+tb)=0, ∴a +ta·b+a·b+tb =0, ∴4-2t-2+4t=0, ∴t=-1.故选 A. 答案:A 4.向量 a、b 满足|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°,则 a·a+a·b=________. 1 3 2 解析:a·a+a·b=|a| +|a||b|cos 60°=1+ = . 2 2 3 答案: 2 5.若|a|=4,a·b=6,则 b 在 a 方向上的投影等于________. 解析:∵a·b=|a|·|b|cos θ =6,且|a|=4,
-12 2

2

2

2

2

)

3 3 ∴|b|cos θ = ,即 b 在 a 方向上的投影等于 . 2 2 3 答案: 2 6.|a|=1,|b|= 2,且 a-b 与 a 垂直,求 a 与 b 的夹角. 解:设 a 与 b 的夹角为 θ , ∵a-b 与 a 垂 直,∴(a-b)·a=0,即 a -b·a=0,
2

a·b 1 2 2 2 ∴a·b=a =|a| =1,∴cos θ = = = . |a||b| 2 2
∵0°≤θ ≤180°,∴θ =45°, ∴a 与 b 的夹角为 45°.

(时间:30 分钟 满分:60 分) 难易度及题号 知识点及角度 基础 2、6 5、9 3 4 8 中档 1 7 10 稍 难

求向量的数量积 用数量积求向量的模 用数量积研究垂直问题 用数量积求向量的夹角 一、选择题(每小题 4 分,共 6 分) 1.

→ → → → → 如图,在△ABC 中,AD⊥AB,BC= 3BD,|AD|=1,则AC·AD=( A.2 3 3 3 B. 3 2

)

C.

D. 3

→ → 解析: ∵AB·AD=0, → → → → → → → → ∴AC·AD=(AB+BC)·AD=(AB+ 3BD)·AD → → → → =AB·AD+ 3BD·AD → → = 3·|BD||AD|·cos∠ADB
-2-

→ 2 = 3|AD| = 3. 答案:D 2.设 a、b、c 是平面内的任意非零向量,且相互不共线,则①(a·b)·c-(c·a)·b= 0; ②||a|-|b||<|a-b|; ③(b·c)·a-(c·a)·b 不与 c 垂直; ④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a| -4|b| . 其中是真命题的有( A.①② C.③④ 解析:①③是假命题,②④是真命题. 答案:D → → → → → → 3.点 O 是△ABC 所在平面上一点,且满足OA·OB=OB·OC=OC·OA,则点 O 是△ABC 的 ( ) A.重心 C.内心 B.垂心 D.外心 ) B.②③ D.②④
2 2

→ → → → → → → → → → → 解析:∵OA·OB=OB·OC=OC·OA,∴OB·(OA-OC)=0? OB·AC=0? OB⊥AC.同理可得

OA⊥BC,OC⊥AB,故 O 为△ABC 的垂心.
答案:B 4.若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0, 则 a 与 b 的夹角为( A.30° C.120° 解析: 由(2 a+b)·b=0 得 2a·b=-|b| , 1 2 - |b| 2 a·b 1 ∴co s〈a,b〉= = 2 =- . |a||b| |b| 2 ∵0°≤〈a,b〉≤180°, ∴〈a,b〉=120°. 答案:C 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 5.已知向量 a 和 b 的夹角为 120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|等于________. 解析:|5a-b| =25|a| +|b| -10a·b=49,|5a-b|=7. 答案:7
-32 2 2 2

)

B.60° D.150°

→ → → → → → → → → 6. 已知平面上三点 A、 B、 C 满足|AB|=3, |BC|=4, |C A |=5, 则 A B ·BC+BC·CA+CA·AB =______. → 2 → 2 → 2 解析:因为|AB| +|BC| =|CA| ,所以△ABC 为直角三角形,其中∠B=90°. → → → → → → → → → → 所以AB· BC +BC ·CA+CA · AB =0 +|BC||CA |·cos(π -C)+ |CA ||AB |cos(π -A)=- 4 3 4×5× -5×3× =-25. 5 5 答案:-25 7.已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0,|c| 的最大值为________. 解析:∵|a|=|b|=1,a·b=0, (a-c)·(b-c)=0? |c| =c·(a+b)=|c|·|a+b|·cos θ ,∴|c|=|a+b|cos θ =
2

a+b

2

cos θ = a +b +2a·bcos θ = 2cos θ ,则|c|的最大值是 2.

2

2

答案: 2 三、解答题 8.(10 分)若向量 a 与向量 b 的夹角为 60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72.求: (1)|a|; (2)|a+b|. 解:(1)(a+2b)·(a-3b)=|a| -|a||b|cos 60°-6|b| =|a| -2|a|-96=-72, 即|a| -2|a|-24=0,得|a|=6. (2)|a+b| =a +2a·b+b
2 2 2 2 2 2 2

1 =36+2·6·4· +6=76. 2 ∴|a+b|=2 19. 9.(10 分)已知 a、b 都是非零向量,且 a+3b 与 7a-5b 垂直,a-4b 与 7a-2b 垂直 , 求 a 与 b 的夹角. 解:由(a+3b)·(7a-5b)=0 ? 7a +6a·b-15b =0① (a-4b)·(7a-2b)=0 ? 7a -30a·b+8b =0② 两式相减得 2a·b=b ,代入①或②得:a =b
2 2 2 2 2 2 2

a·b b 1 设 a、b 的夹角为 θ ,则 cos θ = = 2= , |a||b| 2|b| 2
∴θ =60°.

2

-4-

10.(12 分)已知 a⊥b,且|a|=2,|b|=1,若对两个不同时为零的实数 k、t,使得 a+ (t-3)b 与-ka+tb 垂直,试求 k 的最小值. 解:因为 a⊥b,所以 a·b=0. 又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, 所以-ka +t(t-3)b =0,因为|a|=2,|b|=1, 所以-4k+t (t-3)=0, 1 2 1? 3?2 9 所以 k= (t -3t)= ?t- ? - (t≠0), 2? 16 4 4? 3 9 故当 t= 时,k 取最小值- . 2 16
2 2

-5-


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