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苏教版高中数学必修5-3.3《3.3.3简单的线性规划问题(3)》参考教案

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3.3.3 简单的线性规划问题(3) 教学目标: 1.掌握线性规划问题中整点问题的求解方法. 2.了解线性规划的思想方法在其他方面的应用. 3.通过问题解决,丰富和完善对线性规划问题这一数学模型及其思想方法 的认识和理解,拓宽视野. 4.体会线性规划这一数学模型及其思想方法应用的广泛性、实用性,激发 学习数学的兴趣. 教学重点: 线性规划的应用. 教学难点: 将实际问题转化为线性规划问题,并给予求解. 教学过程: 这节课程我们继续研究线性规划问题在实际生活中的应用. 一、例题讲解 例 1 某运输公司向某地区运送物资,每天至少运送 180t.该公司有 8 辆载 重为 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车,有 10 名驾驶员.每辆卡车每 天往返次数为 A 型车 4 次,B 型车 3 次.每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元,B 型车为 504 元.试为该公司设计调配车辆方案,使公司花费的成本最 低,若只调配 A 型或 B 型卡车,所花的成本费分别是多少? 解 设每天调出 A 型车 x 辆,B 型车 y 辆,公司花费成本 z 元,将题中数据整理 成如下表格: 载重(s) 车辆数 出车次数 每车每天运输成本 (元) A 型车 6 8 4 320 B 型车 10 4 3 504 物资限制 共 180 ?x ? y ? 10, 则约束条件为 ????04 x? ? 6 x ? ? 3y 8, ?10 ? 180, ??0 ? y ? 4, ??x, y ?Z. 目标函数为 z ? 320x ? 504y . ?x ? y ? 10, 即 ????04x??x5?y8?,30, ??0 ? y ? 4, ??x, y ?Z. 作出可行域: 当直线 320x ? 504y ? z 经过直线 4x ? 5y ? 30与 x 轴的交点(7.5,0)时,z 有 最小值,由于(7.5,0)不是整点,故不是最优解. 由图可知,经过可行域内的整点,且与原点距离最近的直线是 320x ? 504y ? 2560 ,经过的整点是(8,0),它是最优解. 答 公司每天调出 A 型车 8 辆时,花费的成本最低,即只调配 A 型卡车,所 花最低成本费 z ? 320?8 ? 2560(元);若只调配 B 型卡车,则 y 无允许值,即 无法调配车辆. 例 2 学校有线网络同时提供 A、B 两套校本选修课程.A 套选修课播 40 分 钟,课后研讨 20 分钟,可获得学分 5 分;B 套选修课播 32 分钟,课后研讨 40 分钟,可获学分 4 分,全学期 20 周,网络每周开播两次,每次均独立内容.学 校规定学生每学期收看选修课不超过 1400 分钟,研讨时间不得少于 1000 分钟, 两套选修课怎样合理选择,才能获得最好学分成绩? 分析 线性规划问题应根据实际情况作具体分析,特别注意求整体、可解性 和选择性. 解 设选择 A、B 两套课程分别为 x、y 次, z 为学分,则 ?x ? y ? 40, ??40x ??20x ? ? 32 40 y y ? ? 1400, 1000, 图示: ??x, y ?N. 目标函数 z ? 5x ? 4y , 由方程组解得点 A(15,25),B(25,12.5)(舍) 答 选 A 课和 B 课分别为 15 次和 25 次才能获得最好学分成绩 例 3 私人办学是教育发展的一个方向,某人准备投资 1200 万元创办一所 中学,为了考虑社会效益和经济效益,对该地区教育市场进行调查,得出一组数 据,列表如下(以班级为单位): 市场调查表 班级学生数 配备教师数 硬件建设费(万 教师年薪(万 元) 元) 初中 50 2.0 28 1.2 高中 40 2.5 58 1.6 根据物价部门的有关文件,初中是义务教育阶段,收费标准适当控制,预计 除书本费、办公费,初中每生每年可收取 600 元,高中每生每年可收取 1500 元, 因生源和环境等条件限制,办学规模以 20 至 30 个班为宜(含 20 个与 30 个).教 师实行任聘制.初、高中的教育周期均为三年,请你合理地安排招生计划,使年 利润最大,大约经过多少年可以收回全部投资? 分析 这是一道线性规划问题,可假设初中编制为 x 个班级,高中编制为 y 个 班级,利用题设先列出不等式组,求出目标函数,然后画出它在直角坐标平面内 所表示的区域,利用图形法加以求解. 解 设初中编制为 x 个班,高中编制为 y 个班,则依题意有 ?20 ? x ? y ? 30, ??28x ? 58 y ? 1200, ? ? x, y ?N*. 又设年利润为 s 万元,那么 (★) s ? (50? 600 ?10000)x ? (40?1500 ?10000) y ? 2.4x ? 4y , 即 s ? 0.6x ? 2y . 现在直角坐标系中作出(★)所表示的可行域,如下图所示 问题转化为在如图所示的阴影部分中,求直线 s ? 0.6x ? 2y 在 y 轴上的截距 的最大值,如图,虚线所示的为一组斜率为 ? 0.3 的直线,显然当直线过图中的 A 点时,纵截距取最大值. 解联立方程组 ?x ? y ? 30, ??28x ? 58y ? 1200, 得 ?x ?? y ? ? 18 12 将 x ? 18, y ? 12 代入 s 中,得 smax ? 34.8 设经过 n 年可收回投资,则 第 1 年利润为 6?50? 600 ?10000? 6? 2?1.2 ? 4? 40?1500?10000? 4? 2.5?1.6 ? 11.6 第 2 年利润为 2?11.6 ? 23.2 (万元) 以后每年的利润均为 34.8 万元,故依题意应有11.6 ? 23.2 ? 34.8

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高中数学 3.3.3 简单的线性规划问题(3) 教案 苏教版必修5.doc

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