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2013福建高考数学各个课题汇编总结(一)

时间:2013-04-30


目录: 1.简易逻辑 ??????2

2.不等式???????? 29 3.函数 ?????????46 4.集合 ?????????74 5.三角函数 ???????108 6.导数及其应用 ?????113 7.平面向量 ???????123 8.数列 ?????????129

1

【2012 年高考试题简易逻辑】
1.【2012 高考真题辽宁理 4】已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是 (A) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (B) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (C) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 (D) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0

2.【2012 高考真题江西理 5】下列命题中,假命题为 A.存在四边相等的四边形不是正方形 . B. z1 , z2 ? C, z1 ? z2 为实数的充分必要条件是 z1 , z2 为共轭复数 C.若 x, y ? R,且 x ? y ? 2, 则 x, y 至少有一个大于 1
0 1 n D.对于任意 n ? N , Cn ? Cn ? ?? Cn 都是偶数

3.【2012 高考真题湖南理 2】命题“若 α =

? ,则 tanα ≠1 4 ? C. 若 tanα ≠1,则 α ≠ 4
A.若 α ≠ 【答案】C

? ,则 tanα ≠1 4 ? D. 若 tanα ≠1,则 α = 4
B. 若 α =

? ,则 tanα =1”的逆否命题是 4

2

【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? p ,则 ? q ”,所以 “若 α = tanα =1”的逆否命题是 “若 tanα ≠1,则 α ≠

? ”. 4

? ,则 4

4.【2012 高考真题湖北理 2】命题“ ?x0 ? ?R Q , x03 ?Q ”的否定是 A. ?x0 ? ?R Q , x03 ?Q C. ?x ? ?R Q , x3 ?Q 【答案】D 【解析】根据对命题的否定知,是把谓词取否定,然后把结论否定。因此选 D 5.【2012 高考真题福建理 3】下列命题中,真命题是 A. ?x0 ? R, e
x0

B. ?x0 ? ?R Q , x03 ?Q D. ?x ? ?R Q , x3 ?Q

?0

B. ?x ? R,2 x ? x 2 C.a+b=0 的充要条件是

a =-1 b

D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件

6.【2012 高考真题安徽理 6】设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线

b 在平面 ? 内,且 b ? m ,则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的(



( A) 充分不必要条件 (C ) 充要条件

( B ) 必要不充分条件 ( D) 即不充分不必要条件

7.【2012 高考真题陕西理 18】 (本小题满分 12 分) (1)如图,证明命题“ a 是平面 ? 内的一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ) ,

3

c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真。
(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)

【答案】

【2011 年高考试题】 1.(2011 年高考福建卷理科 2)若 a ? R,则 a=2 是(a-1) (a-2)=0 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 C.既不充分又不必要条件

2. (2011 年高考天津卷理科 2)设 x, y ? R, 则“ x ? 2 且 y ? 2 ”是“ x ? y ? 4 ”的
2 2

A. 充分而不必要条件 C.充分必要条件 【答案】A

B.必要而不充分条件 D.即不充分也不必要条件

4

【解析】由 x ? 2 且 y ? 2 可得 x2 ? y 2 ? 4 ,但反之不成立,故选 A. 3.(2011 年高考安徽卷理科 7)命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是 .. (A)所有不能被 2 整除的数都是偶数 (B)所有能被 2 整除的数都不是偶数 (C)存在一个不能被 2 整除的数是偶数 (D)存在一个能被 2 整除的数不是偶数

4. (2011 年高考全国新课标卷理科 10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个 命题

? 2? ? P : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, 1 ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是 (A) P , P4 1 (B) P , P 1 3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

(C) P2 , P 3

(D) P2 , P4

5. (2011 年高考湖南卷理科 2)设集合 M={1,2},N={a },则“a=1”是“N ? M”的
2

5

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

6.(2011 年高考湖北卷理科 9)若实数 a , b 满足 a ? 0, b ? 0 ,且 ab ? 0 ,则称 a 与 b 互补,记
? (a, b) ? a 2 ? b2 ? a ? b, 那么 ? (a , b) ? 0 是 a 与 b 互补的

A.必要而不充分条件 C.充要条件 答案:C

B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由 ? (a, b) ? 0 ,即 a2 ? b2 ? a ? b ? 0 ,故 a2 ? b2 ? a ? b ,则 a ? b ? 0 ,化简得
a2 ? b2 ? (a ? b)2 ,即 ab=0,故 a ? b ? 0 且 ab ? 0 ,则 a ? 0, b ? 0 且 ab ? 0 ,故选 C.

7.(2011 年高考上海卷理科 18)设 {an } 是各项为正数的无穷数列, Ai 是边长为 ai , ai ?1 的矩 形面积( i ? 1, 2,? ) ,则 { An } 为等比数列的充要条件为 A. {an } 是等比数列。 B. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 或 a2 , a4 ,?, a2 n ,?是等比数列。 C. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2 n ,?均是等比数列。 D. a1 , a3 ,?, a2n?1 ,? 和 a2 , a4 ,?, a2 n ,?均是等比数列,且公比相同。 ( )

二、填空题: 1.(2011 年高考陕西卷理科 12)设 n ? N? ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的冲要
2

6

条件是 n ? 【答案】3 或 4 【解析】 :由韦达定理得 x1 ? x2 ? 4, 又 n ? N? 所以 ? 三、解答题: 1.(2011 年高考北京卷理科 20)(本小题共 13 分) 若数列 An ? a1 , a2, ..., an (n ? 2) 满足 an?1 ? a1 ? 1(k ? 1,2,..., n ?1) , 数列 An 为 E 数列, 记 S ( An ) = a1 ? a2 ? ... ? an . (Ⅰ)写出一个满足 a1 ? as ? 0 ,且 S ( As ) 〉0 的 E 数列 An ; (Ⅱ)若 a1 ? 12 ,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an =2011; (Ⅲ)对任意给定的整数 n(n≥2) ,是否存在首项为 0 的 E 数列 An ,使得 S ? An ? =0? 如果存在,写出一个满足条件的 E 数列 An ;如果不存在,说明理由。

? x1 ? 1 ? x1 ? 2 则 x1 ? x2 ? 3或4 或? ? x2 ? 3 ? x2 ? 2

所以 a2000—a≤19999,即 a2000≤a1+1999. 又因为 a1=12,a2000=2011, 所以 a2000=a1+1999. 故 an?1 ? an ? 1 ? 0(k ? 1,2,?,1999 即An 是递增数列. ), 综上,结论得证。
7



【2010 高考试题】 (2010 辽宁理数)(11)已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=6 的充要条件是

1 2 1 2 1 2 1 2 ax ? bx ? ax0 ? bx0 (B) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 (C) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 (D) ?x ? R, ax ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 2 2
(A) ?x ? R, 【答案】C

8

【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识,考查了学生构造 二次函数解决问题的能力。

( (2010 北京理数) (6)a、b 为非零向量。“ a ? b ”是“函数 f ( x) ? ( xa ? b)? xb ? a) 为
一次函数”的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 答案:B (2010 天津理数)(9)设集合 A= ?x || x ? a |? 1, x ? R? , B ? ?x || x ? b |? 2, x ? R?. 若 A ? B, 则实数 a,b 必满足 (A) | a ? b |? 3 (C) | a ? b |? 3 (B) | a ? b |? 3 (D) | a ? b |? 3 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(2010 广东理数)5. “ m ? A.充分非必要条件 C.必要非充分条件 【答案】A

1 2 ”是“一元二次方程 x ? x ? m ? 0 ”有实数解的 4
B.充分必要条件 D.非充分必要条件

9

2 【解析】由 x ? x ? m ? 0 知, ( x ? ) ?
2

1 2

1 ? 4m 1 ?0 ?m? . 4 4

2. (2010 湖北理数)10.记实数 x1 , x2 ,?? xn 中的最大数为 max ?x1 , x2 ,......xn ? ,最小 数为 min ?x1 , x2 ,......xn ? 。已知 ABC 的三边长位 a,b,c( a ? b ? c ) ,定义它的亲倾斜度为

?a b c ? ?a b c ? l ? max ? , , ? .min ? , , ? , ?b c a ? ?b c a ?
则“ l =1”是“ ? ABC 为等边三角形”的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

(2010 湖南理数)2.下列命题中的假命题是
x-1 x?1 A. ? x ? R , 2 ? 0 2 >0

* 2 B. ? x ? N , ( x ? 1) ? 0

C. ? x ? R , lg x ? 1

D. ? x ? R , tan x ? 2

【2009 高考试题】 1.( 2009?山东理 5)已知 α ,β 表示两个不同的平面,m 为平面 α 内的一条直线,则 “ ? ? ? ”是“ m ? ? ”的( )

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A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

2.( 2009?安徽理 4)下列选项中,p 是 q 的必要不充分条件的是 (A)p: a ? c >b+d , (B)p:a>1,b>1 (C)p: x=1, (D)p:a>1, 答案:A 解析:由 a >b 且 c>d ? a ? c >b+d,而由 a ? c >b+d 3.( 2009?天津理 3)命题“存在 x0 ? R, 2 (A)不存在 x0 ? R, 2 0 >0
x x0

q: a >b 且 c>d q: f ( x) ? a x ? b(a ? 0,且a ? 1) 的图像不过第二象限 q: x 2 ? x q: f ( x) ? loga x(a ? 0,且a ? 1) 在 (0, ??) 上为增函数

a >b 且 c>d,可举反例。选 A

? 0”的否定是
x0

(B)存在 x0 ? R, 2

?0
x

(C)对任意的 x?R, 2 ? 0
x

(D)对任意的 x ? R, 2 >0

答案:D 解析:送分题啊,考察特称量词和全称量词选 D 4.( 2009?浙江理 2)已知 a , b 是实数,则“ a ? 0 且 b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 且 ab ? 0 ”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【2008 高考试题】 1.(2008?广东理 7)已知命题 p : 所有有理数都是实数,命题 q : 正数的对数都是负数,则 下列命题中为真命题的是( )
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A. (?p) ? q

B. p ? q

C. (?p) ? (?q)

D. (?p) ? (?q)

【2007 高考试题】 1.(2007?山东理 9)下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是( ① p : m ? ?2 或 m ? 6 ; q : y ? x2 ? mx ? m ? 3 有两个不同的零点. ② p: )

f (? x) ? 1 ; q : y ? f ( x) 是偶函数. f ( x)

③ p : cos ? ? cos ? ; q : tan ? ? tan ? . ④ p : A? B ? A; A.①② B.②③

q : CU B ? CU A 。
C.③④ D.①④

2.(2007?山东理 7)命题“对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0 ”的否定是(
3 2



A.不存在 x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0
3 2

B.存在 x ? R , x ? x ? 1 ≤ 0
3 2

C.存在 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

D.对任意的 x ? R , x ? x ? 1 ? 0
3 2

解:注意两点:1)全称命题变为特称命题;2)只对结论进行否定。选 C。 【2006 高考试题】 一、选择题
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1. (安徽卷)设 a, b ? R ,已知命题 p : a ? b ;命题 q : ? 的( )

2 2 ? a ?b ? a ?b ,则 p 是 q 成立 ? ? 2 ? 2 ? 2

A.必要不充分条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

2. (安徽卷)“ x ? 3 ”是 x 2 ? 4 “的( A.必要不充分条件 C.充分必要条件



B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解:条件集{ x | x ? 3 }是结论集{ x |x<-2 或 x>2}的子集,所以选 B。

4. (湖北卷)有限集合 S 中元素的个数记做 card ( S ) ,设 A, B 都为有限集合,给出下列命 题: ① A ? B ? ? 的充要条件是 card ( A ? B) ? card ( A) ? card ( B) ; ② A ? B 的必要条件是 card ( A) ? card ( B) ; ③ A ? B 的充分条件是 card ( A) ? card ( B) ; ④ A ? B 的充要条件是 card ( A) ? card ( B) ; 其中真命题的序号是 A.③④ B.①② C.①④ D.②③

解:① A ? B ? ? ?集合 A 与集合 B 没有公共元素,正确 ② A ? B ?集合 A 中的元素都是集合 B 中的元素,正确 ③ A ? B ?集合 A 中至少有一个元素不是集合 B 中的元素,因此 A 中元素的个数有可能多
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于 B 中元素的个数,错误 ④ A ? B ?集合 A 中的元素与集合 B 中的元素完全相同,两个集合的元素个数相同,并不 意味着它们的元素相同,错误,故选 B 5. (湖南卷)“a=1”是“函数 f ( x) ?| x ? a | 在区间[1, +∞)上为增函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

6. (江西卷)下列四个条件中, p 是 q 的必要不充分条件的是( ..... A. p : a ? b , q : a2 ? b2 B. p : a ? b , q : 2a ? 2b C. p : ax 2 ? by 2 ? c 为双曲线, q : ab ? 0
2 D. p : ax ? bx ? c ? 0 , q :



c b ? ?a?0 x2 x

解:A. p 不是 q 的充分条件,也不是必要条件;B. p 是 q 的充要条件;C. p 是 q 的充分条 件,不是必要条件;D.正确 7. (山东卷)设 p:x -x-20>0,q:
2

1? x2 <0,则 p 是 q 的 x ?2
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

8. (山东卷)设 p∶ x ? x ? 2<0, q ∶
2

1? x < 0,则 p 是 q 的 x?2
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
14

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

解:p: x ? x ? 2<0 ?-1?x?2,q:
2

1? x < 0?x?-2 或-1?x?2,故选 A | x | ?2

9. (天津卷)设集合 M ? {x | 0 ? x ? 3} , N ? {x | 0 ? x ? 2} ,那么“ a ? M ”是 “ a ? N ”的( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

【2005 高考试题】 1.(北京卷)“m= 的 (A)充分必要条件 (C)必要而不充分条件

1 ”是“直线(m+2)x+3my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直” 2
(B) (B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

3. (福建卷)已知直线 m、n 与平面 ? , ? ,给出下列三个命题: ①若 m // ? , n // ? , 则m // n; ②若 m // ? , n ? ? , 则n ? m; ③若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? . 其中真命题的个数是
15

( C A.0

) B.1 C.2 D.3 )

4. (福建卷)已知 p: | 2 x ? 3 |? 1, q : x( x ? 3) ? 0, 则 p 是 q 的( A A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.(湖北卷)对任意实数 a,b,c,给出下列命题: ①“ a ? b ”是“ ac ? bc ”充要条件; ②“ a ? 5 是无理数”是“a 是无理数”的充 要条件③“a>b”是“a >b ”的充分条件;④“a<5”是“a<3”的必要条件. 其中真命题的个数是 ( B A.1 ) B.2 C.3 D.4
2 2

8.(辽宁卷)极限 lim f ( x ) 存在是函数 f (x) 在点 x ? x0 处连续的
x? x0

(B)

A.充分而不必要的条件 C.充要条件

B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

9.(辽宁卷)已知 m、n 是两条不重合的直线,α 、β 、γ 是三个两两不重合的平面,给出 下列四个命题:①若 m ? ? , m ? ? , 则? // ? ; ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ;

16

③若 m ? ? , n ? ? , m // n, 则? // ? ; ④若 m、n 是异面直线, m ? ? , m // ? , n ? 其中真命题是 A.①和② B.①和③ C.③和④ D.①和④

? , n // ? , 则? // ?
(D )

11.湖南卷) ( 设集合 A= x| { 的( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件 【2004 高考试题】

x ?1 <0 } , {x || x -1|<a } , B= 若“a=1”是“A∩B≠ x ?1



B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

5. (04. 上海春季高考)若非空集合 M ? N ,则“ a ? M 或 a ? N ”是“ a ? M ? N ”的 ( B )

(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件

7. (2004. 天 津 卷 ) 已 知数 列 {an } , 那 么 “ 对 任 意 的 n ? N , 点 Pn (n, a n ) 都 在 直 线
*

y ? 2 x ? 1 上”是“ {an } 为等差数列”的(B)
(A)必要而不充分条件 (C)充要条件 【2003 高考试题】 一、选择题
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(B)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

1.(2003 京春理,11)若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2) ,则实数 a 等于( A.8 B.2 C.-4 D.-8



3.(2002 北京,1)满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( A.4 B.3 C.2 D.1



4.(2002 全国文 6,理 5)设集合 M={x|x= 则( ) B.M N

k 1 k 1 ? ,k∈Z},N={x|x= ? ,k∈Z}, 2 4 4 2

A.M=N

C.M N

D.M∩N= ?

7.(2000 北京春,2)设全集 I={a,b,c,d,e},集合 M={a,b,c},N={b,d,e},那么
I

M∩

I

N 是(

) B.{d} C.{a,c} D.{b,e}

A. ?

8.(2000 全国文,1)设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1} B={x|x∈B 且|x| , ≤5} ,则 A∪B 中元素的个数是( A.11 B.10 ) C.16
2 2

D.15 )

9. 2000 上海春, “a=1”是“函数 y=cos ax-sin ax 的最小正周期为 π ”的 ( 15) ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既非充分条件也非必要条件 )

10.(2000 广东,1)已知集合 A={1,2,3,4},那么 A 的真子集的个数是( A.15 B.16 C.3
18

D.4

12.(1998 上海,15)设全集为 R,A={x|x -5x-6>0} B={x||x-5|<a} a 为常 , ( 数) ,且 11∈B,则( A. C.
R

2

) B.A∪
R

A∪B=R A∪
R

B=R

R

B=R

D.A∪B=R
2

13.(1997 全国,1)设集合 M={x|0≤x<2} ,集合 N={x|x -2x-3<0} ,集合 M∩ N等于( ) B.{x|0≤x<2 } D.{x|0≤x≤2}

A.{x|0≤x<1 } C.{x|0≤x≤1}

16.(1996 全国文,1)设全集 I={1,2,3,4,5,6,7} ,集合 A={1,3,5,7} B= , {3,5} ,则( A.I=A∪B C.I=A∪
I

) B.I=
I

A∪B A∪
I

B

D.I=
*

I

B
*

17.(1996 全国理,1)已知全集 I=N ,集合 A={x|x=2n,n∈N } B={x|x=4n, ,

n∈N} ,则(



19

A.I=A∪B C.I=A∪
I

B.I=

I

A∪B A∪
I

B

D.I=

I

B

19. (1995 上海, 如果 P= x| x-1) x-5) } , = x|0<x<10} 那么 2) { ( (2 <0 Q { , ( A.P∩Q= ? C.P Q B.P Q D.P∪Q=R



20.(1995 全国文,1)已知全集 I={0,-1,-2,-3,-4} ,集合 M={0,-1, -2} N={0,-3,-4} , ,则 A.{0} C.{-1,-2}
I

M∩N 等于(

) B.{-3,-4} D. ?

23.(1994 全国,1)设全集 I={0,1,2,3,4} ,集合 A={0,1,2,3} ,集合 B={2, 3,4} ,则
I

A∪

I

B 等于(

) B.{0,1} D.{0,1,2,3,4} )

A.{0} C.{0,1,4}

24. (1994 上海, 设 I 是全集, 15) 集合 P、 满足 P Q, Q 则下面的结论中错误的是 ( A.P∪
I

Q= ?

B.

I

P∪Q=I

20

C.P∩

I

Q= ?

D.

I

P∩

I

Q=

I

P

二、填空题

27.(2001 天津理,15)在空间中 ①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线; ②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是_____. 28.(2000 上海春,12)设 I 是全集,非空集合 P、Q 满足 P Q I.若含 P、Q 的一个集 合运算表达式,使运算结果为空集 ? ,则这个运算表达式可以是 个表达式). (只要写出一

图 1—2

29.(1999 全国,18)α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直 线,给出四个论断: ①m⊥n ②α ⊥β ③n⊥β ④m⊥α

以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题: _____. .. 三、解答题

?x 2 ? 6x ? 8 ? 0 ? 30.(2003 上海春,17)解不等式组 ? x ? 3 . ?2 ? x ?1 ?

21

31.(2000 上海春,17)已知 R 为全集,A={x|log 1 (3-x)≥-2},B={x|
2

5 ≥1}, x?2



R

A∩B.

32.(1999 上海,17)设集合 A={x||x-a|<2},B={x| 的取值范围. ●答案解析

2x ?1 <1},若 A ? B,求实数 a x?2

解得 a=-4,当 a=0 时,原不等式的解集为 R,与题设不符(舍去) ,故 a=-4. 评述:本题主要考查绝对值不等式的解法,方程的根与不等式解集的关系,考查了分类 讨论的数学思想方法及逻辑思维能力, 此题也可以利用选项的值代入原不等式, 去寻找满足 题设条件的 a 的值.

3.答案:C 解析:M={2,3}或 M={1,2,3} 评述:因为 M ? {1,2,3},因此 M 必为集合{1,2,3}的子集,同时含元素 2,3. 4.答案:B

22

5.答案:D 解析:若 a +b =0,即 a=b=0 时,f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x|x|=-f(x) ∴a +b =0 是 f(x)为奇函数的充分条件. 又若 f(x)为奇函数即 f(-x)=-x|(-x)+a|+b=-(x|x+a|+b) ,则 必有 a=b=0,即 a +b =0,∴a +b =0 是 f(x)为奇函数的必要条件. 6.答案:C 解析:当 a=3 时,直线 l1:3x+2y+9=0,直线 l2:3x+2y+4=0 显然 a=3 ? l1∥l2.
2 2 2 2 2 2 2 2

9.答案:A 解析:若 a=1,则 y=cos x-sin x=cos2x,此时 y 的最小正周期为 π ,故 a=1 是充分条 件. 而由 y=cos ax-sin ax=cos2ax,此时 y 的周期为 ∴a=±1,故 a=1 不是必要条件.
23
2 2 2 2

2? =π , | 2a |

评述:本题考查充要条件的基本知识,难点在于周期概念的准确把握. 10.答案:A 解析:根据子集的计算应有 2 -1=15(个). 评述:求真子集时千万不要忘记空集 ? 是任何非空集合的真子集.同时,A 不是 A 的真 子集.
4

12.答案:D 解析:由已知 A={x|x>6 或 x<-1},B={x|5-a<x<5+a},而 11∈B, ∴?

?5 ? a ? 11 ? a>6. ?5 ? a ? 11

此时:5-a<-1,5+a>6,∴A∪B=R. 评述:本题考查集合基本知识,一元二次不等式、绝对值不等式的解法及分析问题解决 问题的能力.

14.答案:B 解析: 故
R R

M={x|x>1+ 2 ,x∈R},又 1+ 2 <3.

M∩N={3,4}.故选 B.

15.答案:D 解析:

24

方法一:解方程组 ?

? x ? y ? 2, ? x ? 3, 得? 故 M∩N={ (3,-1),所以选 D. } ? x ? y ? 4, ? y ? ?1.

方法二:因所求 M∩N 为两个点集的交集,故结果仍为点集,显然只有 D 正确. 评述:要特别理解集合中代表元素的意义,此题迎刃而解.

17.答案:C 解析: 方法一: IA 中元素是非 2 的倍数的自然数, IB 中元素是非 4 的倍数的自然数, 显然,只有C选项正确. 方法二:因 A={2,4,6,8?} B={4,8,12,16,?} , , 所以 为C. 图 1—4 方法三:因 B A,所以
I I

B={1,2,3,5,6,7,9?} ,所以 I=A∪

I

B,故答案

A

I

B,

I

A∩

I

B=

I

A,故 I=

A∪

I

A=A∪

I

B.

18.答案:D 解析:由奇函数定义可知:若 f(x)为奇函数,则对定义域内任意一个 x,都有 f(-

x)=-f(x) ,即 f(-x)+f(x)=0,反之,若有 f(x)+f(-x)=0,即 f(-x)=-f
(x) ,由奇函数的定义可知 f(x)为奇函数. 评述:对于判断奇偶性问题应注意:x 为定义域内任意值,因此定义域本身应关于原点 对称,这是奇偶性问题的必要条件.

25

19.答案:B 解析:由集合 P 得 1<x<

5 ,由集合 Q 有 0<x<10.利用数轴上的覆盖关系,易得 P Q. 2

22.答案:A

c c x2 y2 解析: 如果方程 ax +by =c 表示双曲线, 即 因此有 ? ? 0 , ? ? 1 表示双曲线, c c a b a b
2 2

即 ab<0.这就是说“ab<0”是必要条件;若 ab<0,c 可以为 0,此时,方程不表示双曲线, 即 ab<0 不是充分条件. 评述:本题考查充要条件的推理判断和双曲线的概念.

26

27.答案:② 解析:①中的逆命题是:若四点中任何三点都不共线,则这四点不共面. 我们用正方体 AC1 做模型来观察:上底面 A1B1C1D1 中任何三点都不共线,但 A1B1C1D1 四点 共面,所以①中逆命题不真. ②中的逆命题是:若两条直线是异面直线,则两条直线没有公共点. 由异面直线的定义可知,成异面直线的两条直线不会有公共点. 所以②中逆命题是真命题.

29.答案:m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β

?m⊥n,或 m⊥n,m⊥α



n⊥β



⊥β .(二者任选一个即可)

解析:假设①、③、④为条件,即 m⊥n,n⊥β ,m⊥α 成 立, 如图 1—9,过 m 上一点 P 作 PB∥n,则 PB⊥m,PB⊥β ,设 垂足为 B. 又设 m⊥α 的垂足为 A, 过 PA、PB 的平面与 α 、β 的交线 l 交于点 C,
27

图 1—9

因为 l⊥PA,l⊥PB,所以 l⊥平面 PAB,得 l⊥AC,l⊥BC,∠ACB 是二面角 α -l-β 的平面角. 显然∠APB+∠ACB=180°,因为 PA⊥PB,所以∠ACB=90°,得 α ⊥β .由①、③、④推 得②成立. 反过来,如果②、③、④成立,与上面证法类似可得①成立.

30.解:由 x -6x+8>0,得(x-2) x-4)>0,∴x<2 或 x>4. ( 由

2

x?3 ? x?5 >2,得 >0,∴1<x<5. x ?1 x ?1

∴原不等式组的解是 x∈(1,2)∪(4,5) 评述:本题主要考查二次不等式、分式不等式的解法.

32.解:由|x-a|<2,得 a-2<x<a+2,所以 A={x|a-2<x<a+2}. 由

2x ?1 x ?3 <1,得 <0,即-2<x<3,所以 B={x|-2<x<3}. x?2 x?2

28

2013 年高考数学试题分类汇编——不等式
?一、选择题

?2 x ? y ? 3, ? x ? 2 y ? 3, ? 1、 (2010 上海文数)15.满足线性约束条件 ? 的目标函数 z ? x ? y 的最大值是 x ? 0, ? ?y ? 0 ?
( (A)1. ) (B)

3 . 2

(C)2.

(D)3.

解析:当直线 z ? x ? y 过点 B(1,1)时,z 最大值为 2

? x ? 3 y ? 3 ? 0, ? 2、 (2010 浙江理数) (7) 若实数 x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0, 且 x ? y 的最大值为 9, ? x ? my ? 1 ? 0, ?
则实数 m ? (A) ?2 (B) ?1 (C)1 (D)2

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,将 m 等价为斜率的倒数,数形结合可知答案选 C,本 题主要考察了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思想, 属中 档题

3、 (2010 全国卷 2 理数) (5)不等式

x2 ? x ? 6 >0 的解集为 x ?1
29

(A) x x< ? 2, 或x>3 (C)

?

?

(B) x x< ? 2,或1<x<3

?

? ?

? x ?2<x<1,或x>3?

1 (D) x ?2<x< ,或1<x<3

?

【答案】C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法.

【解析】 法解得-2<x<1 或 x>3,故选 C

利用数轴穿根

? x ? ?1 ? 4、 (2010 全国卷 2 文数)(5)若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x 则 z=2x+y 的最大值 ?3 x ? 2 y ? 5 ?
为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

【解析】C:本题考查了线性规划的知识。 ∵ 作出可行域,作出目标函数线,可得直线与 y ? x 与 3x ? 2 y ? 5 的交点为最优解点, ∴即为(1,1) ,当 x ? 1, y ? 1 时

zmax ? 3

5、 (2010 全国卷 2 文数) (2)不等式 (A) x ?2 ? x ? 3

x?3 <0 的解集为 x?2

?

?

(B) x x ? ? 2

?

?

(C) x x ? ?2或x ? 3

?

?

(D) x x ? 3

?

?

【解析】A :本题考查了不等式的解法



x?3 ?0 x?2 ,∴

?2 ? x ? 3 ,故选 A

x?2 x?2 ? x x 6、 (2010 江西理数)3.不等式
2) A. (0,
【答案】 A

的解集是(



0) B. ( ??,

C. (2, ?) ?

D.(-?,0) (0, ?) ? ?

30

【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数. 或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。

x?2 ? 0 ,解得 A。 x

? 2 x ? y ? 6 ? 0, ? 7、 (2010 安徽文数) (8)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 6 ? 0, 则目标函数 z=x+y 的最大值 ? y ? 0, ?
是 (A)3 8.C 【解析】 不等式表示的区域是一个三角形, 个顶点是 (3,0),(6,0),(2, 2) , 3 目标函数 z ? x ? y 在 (6, 0) 取最大值 6。 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区 域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入目标函数即可求出最大 值. (B) 4 (C) 6 (D)8

( 2010 重 庆 文 数 ) 7 ) 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 (

? x ? 0, ? 则 z ? 3x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 0, ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
(A)0 (C)4 (B)2 (D)6

解析:不等式组表示的平面区域如图所示, 当直线 z ? 3x ? 2 y 过点、B 时,在 y 轴上截距最小,z 最大 由 B(2,2)知 zmax ? 4 8、

31

解析:将最大值转化为 y 轴上的截距,可知答案选 A,本题主要考察了用平面区域二元一次 不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属中档题

9、 (2010 重庆理数) (7)已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是 A. 3 B. 4

9 11 C. 2 D. 2

解析:考察均值不等式

? x ? 2y ? 2 x ? 2 y ? 8 ? x ? (2 y ) ? 8 ? ? ? ,整理得 ?x ? 2 y ? ? 4?x ? 2 y ? ? 32 ? 0 ? 2 ?
2

即 ?x ? 2 y ? 4??x ? 2 y ? 8? ? 0 ,又 x ? 2 y ? 0 ,? x ? 2 y ? 4

?y ? 0 ? 10、 (2010 重庆理数) (4)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2x+y 的最大值 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
为 A.—2 B. 4 C. 6 D. 8

解析:不等式组表示的平面区域如图所示 当直线过点 B(3,0)的时候,z 取得最大值 6

? x ? y ? 11 ? 0 ? 11、 (2010 北京理数) (7)设不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?5 x ? 3 y ? 9 ? 0 ?
数 y= a 的图像上存在区域 D 上的点,则 a 的取值范围是
32
x

表示的平面区域为 D,若指数函

(A)(1,3] 答案:A

(B )[2,3]

(C ) (1,2]

(D )[ 3, ?? ]

12、 (2010 四川理数) (12)设 a ? b ? c ? 0 ,则 2a ?
2

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 的最 ab a(a ? b)

小值是 (A)2 解析: 2a ?
2

(B)4

(C) 2 5

(D)5

1 1 ? ? 10ac ? 25c 2 ab a(a ? b)
2 2

= (a ? 5c) ? a ? ab ? ab ?

1 1 ? ab a(a ? b)

= (a ? 5c) ? ab ?
2

1 1 ? a ( a ? b) ? ab a ( a ? b)

≥0+2+2=4 当且仅当 a-5c=0,ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b= 答案:B

2 2 ,c= 满足条件. 2 5

13、 (2010 四川理数) (7)某加工厂用某原料由甲车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产 品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元,乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得 超过 480 小时,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为 (A)甲车间加工原料 10 箱,乙车间加工原料 60 箱 (B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱 70 x
33

y 80 70 (15,55)

0

48

? x ? y ? 70 ? 则 ?10 x ? 6 y ? 480 ? x, y ? N ?
目标函数 z=280x+300y 结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案:B

? x ? y ? 3, ? 14、 (2010 天津文数)(2)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, ? y ? 1, ?
则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 (A)12 【答案】B 【解析】本题主要考查目标函数最值的求法,属于容易题,做 出可行域,如图由图可知,当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点(2,1)时 z 取得最大值 10. (B)10 (C)8 (D)2

(2010 福建文数)

15、 (2010 全国卷 1 文数) (10)设 a ? log3 2, b ? ln 2, c ? 5 ?2 则
1

(A) a ? b ? c (B) b ? c ? a

(C) c ? a ? b (D) c ? b ? a

10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实
34

数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用. 【解析 1】 a= log3 2=
1 2

1 1 , b=In2= ,而 log2 3 ? log 2 e ? 1 ,所以 a<b, log 2 3 log 2 e

c= 5

?

=

1 ,而 5 ? 2 ? log2 4 ? log2 3 ,所以 c<a,综上 c<a<b. 5
1 1 1 1 1 ,b=ln2= , 1 ? loge ? log3 ? 2 , ? ? ? 1; 2 2 3 e 3 log 2 log 2 2 log 2 log e 2

【解析 2】 a= log3 2=
1 2

c= 5

?

?

1 1 1 ? ? ,∴c<a<b 5 4 2

? y ? 1, ? 16、 (2010 全国卷 1 文数)(3)若变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
大值为 (A)4 (B)3 (C)2 (D)1

3.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力. 【解析】画出可行域(如右图) z ? x ? 2 y ? y ? , A(1,-1)时,z 最大,且最大值为 zmax

1 1 x ? z ,由图可知,当直线 l 经过点 2 2 y ? 1 ? 2 ? (?1) ? 3 . y?x
x? y ?0
A

l0 : x ? 2 y ? 0
L0

1

O
?2
A

2

x

x? y?2 ?0

17、 (2010 全国卷 1 理数) (8)设 a= log3 2,b=ln2,c= 5 (A) a<b<c (B)b<c<a (C) c<a<b

?

1 2

,则

(D) c<b<a

35

(2010 全国卷 1 理数)

18、 (2010 四川文数) (11)设 a>b>0 ,则 a ?
2

1 1 ? 的最小值是 ab a ? a ? b ?

(A)1 解析: a ?
2

(B)2

(C)3

(D)4

1 1 ? ab a ? a ? b ?
1 1 ? ab a(a ? b)

= a ? ab ? ab ?
2

= ab ?

1 1 ? a ( a ? b) ? ab a ( a ? b)

≥2+2=4 当且仅当 ab=1,a(a-b)=1 时等号成立 如取 a= 2 ,b= 答案:D

2 满足条件. 2

19、 (2010 四川文数) (8)某加工厂用某原料由车间加工出 A 产品,由乙车间加工出 B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时可加工出 7 千克 A 产品,每千克 A 产品获利 40 元.乙车间加工一箱原料需耗费工时 6 小时可加工出 4 千克 B 产品,每千克 B 产品获利 50 元.甲、乙两车间每天功能完成至多 70 多箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和 不得超过 480 小时,甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为(A)甲车间加工原料 10 箱, y 乙车间加工原料 60 箱 80
36

70 (15,55)

(B)甲车间加工原料 15 箱,乙车间加工原料 55 箱 (C)甲车间加工原料 18 箱,乙车间加工原料 50 箱 (D)甲车间加工原料 40 箱,乙车间加工原料 30 箱 解析:解析:设甲车间加工原料 x 箱,乙车间加工原料 y 箱

? x ? y ? 70 ? 则 ?10 x ? 6 y ? 480 ? x, y ? N ?
目标函数 z=280x+300y 结合图象可得:当 x=15,y=55 时 z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验. 答案:B

37

20、 (2010 山东理数)

?x ? 1 ? 21、 (2010 福建理数) 设不等式组 ? x-2y+3 ? 0 所表示的平面区域是 ? ,平面区域是 ?2 与 8. 1 ?y ? x ?

?1 关于直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, | AB | 的
最小值等于( A. ) B.4 C.

28 5

12 5

D.2

【答案】B 【解析】由题意知,所求的 | AB | 的最小值,即为区域 ? 中的点到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距 1 离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,

38

可看出点(1,1)到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离最小,故 | AB | 的最小值为

2?

| 3 ?1 ? 4 ?1 ? 9 | ? 4 ,所以选 B。 5

二、填空题

2? x ? 0 的解集是 ?x | ?4 ? x ? 2? 。 x?4 2? x ? 0 等价于(x-2)(x+4)<0,所以-4<x<2 解析:考查分式不等式的解法 x?4
22、 (2010 上海文数)2.不等式

? x ? 2 y ? 4, ? 23、 (2010 陕西文数)14.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则目标函数 z=3x-y 的最 ? x ? 2 ? 0, ?
大值为 5 .

解析:不等式组表示的平面区域如图所示, 当直线 z=3x-y 过点 C(2,1)时,在 y 轴上截距最小 此时 z 取得最大值 5

24、 (2010 辽宁文数) (15)已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范 围是 (答案用区间表示) .

? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 4 ? 解析:填 (3,8) . 利用线性规划,画出不等式组 ? 表示的平面区域,即可求解. ?x ? y ? 2 ?x ? y ? 3 ?
25、 (2010 辽宁理数) (14)已知 ?1 ? x ? y ? 4 且 2 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范 围是_______(答案用区间表示) 【答案】 (3,8) 【命题立意】 本题考查了线性规划的最值问题, 考查了同学们数形结合解决问题的能 力。
39

【解析】 画出不等式组 ?

??1 ? x ? y ? 4 表示的可行域, 在可行域内平移直线 z=2x-3y, ?2 ? x ? y ? 3

当直线经过 x-y=2 与 x+y=4 的交点 A(3,1)时,目标函数有最小值 z=2?3-3?1=3;当直 线经过 x+y=-1 与 x-y=3 的焦点 A(1,-2)时,目标函数有最大值 z=2?1+3?2=8.

26、 (2010 安徽文数) (15)若 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 , 则下列不等式对一切满足条件的 a , b 恒 成立的是 ① ab ? 1 ;
3 3 ④ a ? b ? 3;

(写出所有正确命题的编号). ② a? b? ⑤

2;

③ a 2 ? b2 ? 2 ;

1 1 ? ?2 a b

15.①,③,⑤ 【解析】令 a ? b ? 1 ,排除②②;由 2 ? a ? b ? 2 ab ? ab ? 1,命题①正确;

1 1 a?b 2 ? ? 2 ,命题⑤正 a2 ? b2 ? (a ? b)2 ? 2ab ? 4 ? 2ab ? 2 ,命题③正确; ? ? a b ab ab
确。

27、 (2010 浙江文数) (15)若正实数 X,Y 满足 2X+Y+6=XY , 则 XY 的最小值是 答案:18 (2010 山东文数) (14)已知 x, y ? R? ,且满足 答案:3



x y ? ? 1 ,则 xy 的最大值为 3 4

.

28、 (2010 北京文数) (11)若点 p(m,3)到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4,且点 p 在不等式 2x ? y <3 表示的平面区域内,则 m= 答案:-3 。

29、 (2010 全国卷 1 文数)(13)不等式 13.

x?2 ? 0 的解集是 x ? 3x ? 2
2

.

? x ?2 ? x ? ?1,

或 x ? 2? 【命题意图】本小题主要考查不等式及其解法

40

【解析】:

x?2 x?2 ?0 ? ? 0 ? ? x ? 2 ?? x ? 2 ?? x ? 1? ? 0 ,数轴标根 x ? 3x ? 2 ? x ? 2?? x ? 1?
2

得: x ?2 ? x ? ?1, 或 x ? 2

?

?
.

30、 (2010 全国卷 1 理数)(13)不等式 2x2 ? 1 ? x ? 1 的解集是

? y ? x, ? 31、 (2010 湖北文数)12.已知: 2 x ? y, 式中变量 x , y 满足的束条件 ? x ? y ? 1, 则 z 的最大 ?x ? 2 ?
值为______。 【答案】5 【解析】同理科 32、 (2010 山东理数)

33、 (2010 安徽理数)

41

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 34 、 2010 安 徽 理 数 ) 13 、 设 x , y 满 足 约 束 条 件 ?8 x ? y ? 4 ? 0 , 若 目 标 函 数 ( ?x ? 0 , y ? 0 ?

z ? abx ? y ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 8,则 a ? b 的最小值为________。
13. 4 【解析】不等式表示的区域是一个四边形,4 个顶点是

1 (0, 0), (0, 2), ( , 0), (1, 4) ,易见目标函数在 (1, 4) 取最大值 8, 2
所以 8 ? ab ? 4 ? ab ? 4 ,所以 a ? b ? 2 ab ? 4 ,在 a ? b ? 2 时是等号成立。 所以 a ? b 的最小值为 4. 【规律总结】线性规划问题首先作出可行域,若为封闭区域(即几条直线围成的区域)则区 域端点的值是目标函数取得最大或最小值,求出直线交点坐标代入得 ab ? 4 ,要想求 a ? b 的最小值,显然要利用基本不等式.

? y ? x, ? 35、 (2010 湖北理数)12.已知 z ? 2 x ? y ,式中变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, ,则 z ? x ? 2, ?
的最大值为___________. 12.【答案】5 【解析】依题意,画出可行域(如图示) , 则对于目标函数 y=2x-z, 当直线经过 A(2,-1)时, z 取到最大值, Z max ? 5 . 36、 (2010 湖北理数)15.设 a>0,b>0,称

2ab 为 a,b 的调和平均数。 a?b

如图,C 为线段 AB 上的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直 径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD,AD,BD。过点 C 作 OD 的垂线, 垂足为 E。 则图中线段 OD 的长度是 a, 的算术平均数, b 线段 的长度是 a,b 的几何平均数,线段 DE 的长度是 a,b 的调和平均数。

15.【答案】CD

【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高,则由射影定理可得 CD 2 ? AC ? CB ,故 CD ? ab ,即 CD

42

a ?b a ?b a?b 代 ? , CD ? ab , OD ? 2 2 2 ( a ? b) 2 a ?b 入 OD ? CE ? OC ? CD 可得 CE ? ,所以 ab 故 OE ? OC 2 ? CE 2 ? 2(a ? b) a?b

长度为 a,b 的几何平均数,将 OC= a ?

ED=OD-OE=

2ab ,故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数. a?b

x2 x3 37、 (2010 江苏卷)12、设实数 x,y 满足 3≤ xy ≤8,4≤ ≤9,则 4 的最大值 y y
2



。 。

[解析] 考查不等式的基本性质,等价转化思想。

(

x2 2 x3 x3 x2 1 1 1 1 ) ?[16,81] , 2 ? [ , ] , 4 ? ( )2 ? 2 ? [2, 27] , 4 的最大值是 27。 xy 8 3 y y y y xy

三、解答题 38、 (2010 广东理数)19.(本小题满分 12 分) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的 碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐? 解: 设该儿童分别预订 x , y 个 单位的午餐和晚餐, 共花费 z 元,则 z ? 2.5x ? 4 y 。 可行域为 12 x+8 y ≥64 6 x+6 y ≥42 6 x+10 y ≥54 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 即

43

3 x+2 y ≥16 x+ y ≥7 3 x+5 y ≥27 x≥0, x∈N y≥0, y∈N 作出可行域如图所示: 经试验发现,当 x=4,y=3 时,花费最少,为 z ? 2.5 x ? 4 y =2.5?4+4?3=22 元. 39、 (2010 广东文数)19.(本题满分 12 分) 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物, 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物, 个单 6 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这两餐需要的营状中至少含 64 个单位的 碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C. 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求, 并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 解: 设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐, 设费用为 F, F ? 2.5 x ? 4 y , 则 由题意知:

12x ? 8 y ? 64
6 x ? 6 y ? 42 6 x ? 10y ? 54
x ? 0, y ? 0
画出可行域:

变换目标函数: y ? ?

5 F x? 8 4

44

40、 (2010 湖北理数)15.设 a>0,b>0,称

2ab 为 a,b 的调和平均数。 a?b

如图,C 为线段 AB 上的点,且 AC=a,CB=b,O 为 AB 中点,以 AB 为直 径做半圆。过点 C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD,AD,BD。过点 C 作 OD 的垂线, 垂足为 E。 则图中线段 OD 的长度是 a, 的算术平均数, b 线段 的长度是 a,b 的几何平均数,线段 DE 的长度是 a,b 的调和平均数。

15.【答案】CD

【解析】在 Rt△ADB 中 DC 为高,则由射影定理可得 CD 2 ? AC ? CB ,故 CD ? ab ,即 CD
a ?b a ?b a?b 代 ? , CD ? ab , OD ? 2 2 2 ( a ? b) 2 a ?b 入 OD ? CE ? OC ? CD 可得 CE ? ,所以 ab 故 OE ? OC 2 ? CE 2 ? 2(a ? b) a?b

长度为 a,b 的几何平均数,将 OC= a ?

ED=OD-OE=

2ab ,故 DE 的长度为 a,b 的调和平均数. a?b

45

函数

§2.1 函数及其表示?

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) -x2-3x+4 1.(2009· 江西改编)函数 y= 的定义域为________________. x ?-x2-3x+4≥0, ? 解析 由题意得? ? ?x≠0, 因此-4≤x≤1 且 x≠0. 答案 [-4,0)∪(0,1] 1 2.(2009· 福建改编)下列函数中,与函数 y= 有相同定义域的是________. x 1 ①f(x)=ln x ②f(x)= x ③f(x)=|x| ④f(x)=ex 1 1 解析 y= 定义域为(0,+∞),f(x)=ln x 定义域为(0,+∞),f(x)= 定义域为{x|x≠0}. x x x f(x)=|x|定义域为 R,f(x)=e 定义域为 R. 答案 ① ? ?log2x, x>0, 1 3.(2010· 广州模拟)已知函数 f(x)=? x 若 f(a)= ,则 a=________. 2 ? ?2 , x≤0. 1 解析 当 a>0 时,log2a= ,∴a= 2, 2 1 -1 a 当 a≤0 时,2 = =2 ,∴a=-1.∴a=-1 或 2. 2 答案 -1 或 2 4.(2008· 陕西理,11)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2, 则 f(-3)=________. 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2?0?1 =f(0)+f(1),∴f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2?(-1)?1 =f(-1)+f(1)-2,∴f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2?(-2)?1 =f(-2)+f(1)-4,∴f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2?(-3)?1 =f(-3)+f(1)-6,∴f(-3)=6. 答案 6
46

5.(2009· 金华模拟)已知 f?

?1-x?=1-x ,则 f(x)的解析式为__________. ? ?1+x? 1+x2
2

1-x 1-t 解析 令 t= ,则 x= , 1+x 1+t ?1-t?2 1-? ? ?1+t? 2t 因此 f(t)= = , 1-t?2 1+t2 ? 1+? ? ?1+t? 2x 因此 f(x)的解析式为 f(x)= . 1+x2 2x 答案 f(x)= 1+x2 6.(2009· 江苏海安高级中学)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且 f(x)= ? (-1<x≤0) ?1 ? ,则 f(3)=________. ?-1 (0<x≤1) ? 解析 f(3)=f(2+1)=-f(2) =-f(1+1)=f(1)=-1. 答案 -1 7.(2010· 泉州第一次月考)已知函数 φ(x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是 x 的正比例函数,g(x)是 x 1 的反比例函数,且 φ?3?=16,φ(1)=8,则 φ(x)=____________. ? ? 解析 设 f(x)=mx (m 是非零常数), n n g(x)= (n 是非零常数),则 φ(x)=mx+ , x x 1? 由 φ?3?=16,φ(1)=8, ? ?16=1m+3n ? ? ?m=3 3 得? ,解得? . ?n=5 ? ?8=m+n ? 5 故 φ(x)=3x+ . x 5 答案 3x+ x 8.(2010· 宿迁模拟)如右图所示,在直角坐标系的第一象限内,△AOB 是边 长为 2 的等边三角形,设直线 x=t (0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线 左方的图形的面积为 f(t), 则函数 y=f(t)的图象(如下图所示)大致是 (填序号).

解析 首先求出该函数的解析式. 当 0≤t≤1 时,如下图甲所示,

47

32 t. 2 当 1≤t<2 时,如下图乙所示, 有 f(t)=S△MON=

有 f(t)=S△AOB-S△MNB=-

3 (2-t)2+ 3, 2

? 3 2 (0 ? t ? 1) ? t ? 2 ? f (t ) ? ? . ?? 3 (t ? 2) 2 ? 3 (1 ? t ? 2) ? 2 ?
答案 ④ 9.(2009· 浙江温州十校联考)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点, 如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n∈N*)个整点,则称函数 f(x)为 n 阶整点函数.有下列函 数: 1 ①f(x)=sin 2x;②g(x)=x3;③h(x)=( )x; 3 ④φ(x)=ln x,其中是一阶整点函数的是____________________________________. 解析 对于函数 f(x)=sin 2x,它只通过一个整点(0,0),故它是一阶整点函数;对于函数 g(x)=x3,当 x∈Z 时,一定有 g(x)=x3∈Z,即函数 g(x)=x3 通过无数个整点,它不是一 1 阶整点函数;对于函数 h(x)=( )x,当 x=0,-1,-2,?时,h(x)都是整数,故函数 h(x) 3 通过无数个整点,它不是一阶整点函数;对于函数 φ(x)=ln x,它只通过一个整点(1,0), 故它是一阶整点函数. 答案 ①④ 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2009· 泰州二模)(1)已知 f(x)的定义域是[0,4],求 ①f(x2)的定义域; ②f(x+1)+f(x-1)的定义域. (2)已知 f(x2)的定义域为[0,4],求 f(x)的定义域. 解 (1)∵f(x)的定义域为[0,4], ①f(x2)以 x2 为自变量,∴0≤x2≤4,∴-2≤x≤2, 故 f(x2)的定义域为[-2,2]. ? ?0≤x+1≤4, ②f(x+1)+f(x-1)以 x+1,x-1 为自变量,于是有? ∴1≤x≤3. ?0≤x-1≤4, ? 故 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3]. (2)∵f(x2)的定义域为[0,4],∴0≤x≤4, ∴0≤x2≤16,故 f(x)的定义域为[0,16]. 11.(16 分)(2010· 徐州模拟)已知 f(x)=x2-2x+1,g(x)是一次函数,且 f[g(x)]=4x2,求 g(x) 的解析式. 解 设 g(x)=ax+b(a≠0), 则 f[g(x)]=(ax+b)2-2(ax+b)+1 =a2x2+(2ab-2a)x+b2-2b+1=4x2.

48

?a =4, ? ∴?2ab-2a=0, ?b2-2b+1=0. ?

2

解得 a=± 2,b=1.

∴g(x)=2x+1 或 g(x)=-2x+1. 12.(16 分)(2009· 广东三校一模)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3 000 元 时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的 车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解 (1)当每辆车的月租金为 3 600 元时, 3 600-3 000 未租出的车辆数为 =12, 50 所以这时租出了 88 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公司的月收益为 x-3 000 x-3 000? f(x)=?100- (x-150)- ?50, 50 50 ? ? x2 整理得 f(x)=- +162x-21 000 50 1 =- (x-4 050)2+307 050. 50 ∴当 x=4 050 时,f(x)最大, 最大值为 f(4 050)=307 050. 答 (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出 88 辆车; (2)当每辆车的月租金定为 4 050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307 050 元.

§2.2 函数的单调性及最大(小)值

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2010· 江苏盐城一模)函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是________. 解析 函数 f(x)的定义域是(-1,4), 令 u(x)=-x2+3x+4 3 3 25 =-?x-2?2+ 的减区间为?2,4?, ? ? 4 ? ? 3 ∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为?2,4?. ? ? 3 答案 [ ,4) 2 2.(2009· 湖南改编)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 ? ?f(x), f(x)≤K, 1 - fK(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为_ 2 ? ?K, f(x)>K. _________________. 1 - 解析 由 f(x)=2 |x|≤ 得-|x|≤-1, 2
49

∴|x|≥1.∴x≥1 或 x≤-1. -|x| ?2 ,x≥1或x≤-1, ? ∴fK(x)=?1 ?2,-1<x<1. ? 1 - 当 x∈(1,+∞)时,fK(x)=2 x=?2?x,在(1,+∞)上为减函数. ? ? 当 x∈(-∞,-1)时,fK(x)=2x,在(-∞,-1)上为增函数. 答案 (-∞,-1) 1 3.(2009· 江苏扬州模拟)已知 f(x)是 R 上的减函数,则满足 f( )>f(1)的 x 的取值范围为 x __________________. 1-x 1 1 解析 由题意 f( )>f(1), <1,即 <0, x x x ∴x>1 或 x<0. 答案 (-∞,0)∪(1,+∞) 3 4.(2010· 徐州调研)若 f(x)在(0,+∞)上是减函数,则 f(a2-a+1)与 f( )的大小关系是 4 ________________. 1 3 3 解析 ∵a2-a+1=(a- )2+ ≥ , 2 4 4 3 f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(a2-a+1)≤f( ). 4 3 2 答案 f(a -a+1)≤f( ) 4 a 5.(2010· 山东临沂模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的 x+1 取值范围是____________________. a 解析 由 f(x)=-x2+2ax 得对称轴为 x=a, 在[1,2]上是减函数, 所以 a≤1, 又由 g(x)= x+1 在[1,2]上是减函数,所以 a>0,综合得 a 的取值范围为(0,1]. 答案 (0,1] 6.(2009· 山东烟台调研)关于下列命题: ①若函数 y=2x 的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|y≤1}; 1 1 ②若函数 y= 的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y|y≤ }; x 2 2 ③若函数 y=x 的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}; ④若函数 y=log2x 的值域是{y|y≤3},则它的定义域是{x|0<x≤8}.其中不正确的命题的 序号是________.(注:把你认为不正确的命题的序号都填上) 1 1 解析 ①中, x≤0, x∈(0,1]; y=2 ②中, x>2, ∈(0, ); y= ③中, 2 的值域是{y|0≤y≤4}, y=x x 2 但它的定义域不一定是{x|-2≤x≤2};④中,y=log2x≤3,∴0<x≤8,故①②③错,④ 正确. 答案 ①②③ 7.(2010· 惠州一模)已知 y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若 f(m-1)<f(1-2m),则 m 的 取值范围是______________. 解析 依题意,原不等式等价于

?-2<m-1<2 ? ?-2<1-2m<2 ?m-1<1-2m ?

? 1 3 ?- <m< 2 ?? 2 ?m<2 ? 3

-1<m<3 1 2 ?- <m< . 2 3

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1 2 答案 ?-2,3? ? ? 8.(2009· 福建厦门适应性考试)若函数 f(x)=(m-1)x2+mx+3 (x∈R)是偶函数,则 f(x)的单 调减区间是____________________. 解析 ∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴(m-1)x2-mx+3 =(m-1)x2+mx+3,∴m=0. 这时 f(x)=-x2+3, ∴单调减区间为[0,+∞). 答案 [0,+∞) 25 9.(2010· 湛江调研)若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],值域为[- ,-4],则 m 的取 4 值范围是__________________. 3 25 解析 ∵f(x)=x2-3x-4=(x- )2- , 2 4 3 25 ∴f( )=- ,又 f(0)=-4, 2 4 故由二次函数图象可知 3 ≤m, 2 3 解得 ≤m≤3. 2 3 3 m- ≤ -0. 2 2 3 答案 [ ,3] 2 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2010· 无锡模拟)已知 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,试解不等式 f(x)+f(x-8)≤2. 解 根据题意,由 f(3)=1, 得 f(9)=f(3)+f(3)=2. 又 f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)], 故 f[x(x-8)]≤f(9). ∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,

? ? ?

?x>0, ? ∴?x-8>0, 解得 8<x≤9. ?x(x-8)≤9, ?
∴原不等式的解集为{x|8<x≤9}. x 11.(16 分)(2010· 镇江模拟)已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. (1)证明 任设 x1<x2<-2, x1 x2 则 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 2(x1-x2) = . (x1+2)(x2+2) ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1<x2,则
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x1 x2 - x1-a x2-a a(x2-x1) = . (x1-a)(x2-a) ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述,0<a≤1. 12.(16 分)(2010· 无锡调研)函数 f(x)对任意的实数 m、n 有 f(m+n)=f(m)+f(n),且当 x>0 时 有 f(x)>0. (1)求证:f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (2)若 f(1)=1,解不等式 f[log2(x2-x-2)]<2. (1)证明 设 x2>x1, 则 x2-x1>0. ∵f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-f(x1) =f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1), 故 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. (2)解 ∵f(1)=1, ∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2). 又 f[log2(x2-x-2)]<2, ∴f[log2(x2-x-2)]<f(2). ∴log2(x2-x-2)<2, ?x2-x-2>0, ? 于是? 2 ? ?x -x-2<4. f(x1)-f(x2)=
?x<-1或x>2, ? ∴? ?-2<x<3, ? 即-2<x<-1 或 2<x<3. ∴原不等式的解集为{x|-2<x<-1 或 2<x<3}.

§2.3 函数的奇偶性

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1. (2009· 江西改编)已知函数 f(x)是(-∞, +∞)上的偶函数, 若对于 x≥0, 都有 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 008)+f(2 009)的值为____. 解析 f(-2 008)+f(2 009)=f(2 008)+f(2 009) =f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1. 答案 1 2.(2010· 江苏南京模拟)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 在 R 上 f(x)的表达式为____________. 解析 设 x<0,则-x>0,由 f(x)为奇函数知 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. ?x2-2x (x≥0), ? ∴f(x)=? 2 ? ?-x -2x (x<0). 即 f(x)=x(|x|-2). 答案 f(x)=x(|x|-2) 3.(2010· 浙江宁波检测)已知函数 f(x)=g(x)+2,x∈[-3,3],且 g(x)满足 g(-x)=-g(x),若
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f(x)的最大值、最小值分别为 M、N,则 M+N=________. 解析 因为 g(x)是奇函数,故 f(x)关于(0,2)对称, 所以 M+N=4. 答案 4 4.(2010· 泰州模拟)f(x)、g(x)都是定义在 R 上的奇函数,且 F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若 F(a) =b,则 F(-a)=____________. 解析 令 G(x)=F(x)-2=3f(x)+5g(x), 故 G(x)是奇函数, ? ?G(a)=F(a)-2, 又? ? ?G(-a)=F(-a)-2, 解得 F(-a)=-b+4. 答案 -b+4 5.(2010· 无锡模拟)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是 ______(填序号). ①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x· f(x);④y=f(x)+x. 解析 ∵f(x)的定义域为 R,∴f(|-x|)=f(|x|), ∴y=f(|x|)是偶函数; 令 F(x)=f(-x), 则 F(-x)=f(x)=-f(-x)=-F(x), ∴F(x)是奇函数,∴②是奇函数; 令 M(x)=x· f(x), 则 M(-x)=-x· f(-x)=x· f(x)=M(x), ∴M(x)是偶函数; 令 N(x)=f(x)+x, 则 N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x =-[f(x)+x]=-N(x), ∴N(x)是奇函数,故②、④是奇函数. 答案 ②④ 1 6.(2009· 重庆)若 f(x)= x +a 是奇函数,则 a=________________. 2 -1 1 1 解析 ∵f(-x)=-f(x),即 -x +a=- x -a, 2 -1 2 -1 2x+a-a·x -1-a·x+a 2 2 ∴ = , 1-2x 2x-1 ∴(a-1)2x-a=-a·x+(a-1), 2 ? ?a-1=-a, 1 ∴? ∴a= . 2 ? ?-a=a-1, 答案 1 2

2? x 7. (2010· 江苏如东模拟)定义两种运算: b= a2-b2, a? a?b= (a-b)2, 则函数 f(x)= (x?2)-2 的奇偶性为________________. 4-x2 4-x2 解析 由题意知:f(x)= = , (x-2)2-2 |x-2|-2 定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 ∴f(x)= ,x∈[-2,0)∪(0,2]. -x

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4-x2 =-f(x). x ∴函数 f(x)为奇函数. 答案 奇函数 8. (2009· 四川改编)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 5?? 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 f?f?2??的值是________. ?? 解析 由 xf(x+1)=(1+x)f(x)可得 3 ?5? 5 ?3? 1 ?3? 3 ?1? f = f , f = f , 2 ?2? 2 ?2? 2 ?2? 2 ?2? 1 1 1 1 1 1 - f?2?= f?-2?.又∵f?2?=f?-2?, ? ? 2? ? ? ? ? ? 2 1 3 5 ∴f?2?=0,f?2?=0,f?2?=0. ? ? ? ? ? ? 又∵-1· f(-1+1)=(1-1)f(-1), ∴-f(0)=0f(-1)=0. ∴f(0)=0, 5 ∴f?f?2??=f(0)=0. ? ? ?? 答案 0 9.(2009· 连云港模拟)函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上单调递增,则 f(-1),f(0), f(2)的大小关系是________. 解析 ∵f(x)是偶函数,∴其图象关于 y 轴对称, 又∵y=f(x-2)的图象是由 y=f(x)向右平移 2 个单位得到的, y=f(x-2)在[0,2]上单调递 而 增, ∴f(x)在[-2,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减, ∴f(-1)=f(1)且 f(0)>f(1)>f(2), ∴其大小关系为 f(0)>f(-1)>f(2). 答案 f(0)>f(-1)>f(2) 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2009· 江苏金陵中学三模)已知 f(x)是实数集 R 上的函数,且对任意 x∈R,f(x)= f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)已知 f(3)=2,求 f(2 004). (1)证明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1) ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1), 则 f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1)-f(x) =f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1). ∴f(x+3)=f[(x+1)+2]=-f[(x+1)-1] =-f(x). ∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x). ∴f(x)是周期函数且 6 是它的一个周期. (2)解 f(2 004)=f(334?6)=f(0)=-f(3)=-2. 11.(16 分)(2009· 广东东莞模拟)已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. (1)试判断 f(x)的奇偶性; 1 1 (2)若- ≤a≤ ,求 f(x)的最小值. 2 2 解 (1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数. 当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时,f(x)为非奇非偶函数. 又∵f(-x)=

54

1 3 (2)当 x≤a 时,f(x)=x2-x+a+1=?x-2?2+a+ , ? ? 4 1 ∵a≤ ,故函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减, 2 从而函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f(a)=a2+1. 1 3 当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=?x+2?2-a+ , ? ? 4 1 ∵a≥- ,故函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f(a) 2 2 =a +1. 1 1 综上得,当- ≤a≤ 时,函数 f(x)的最小值为 a2+1. 2 2 12.(16 分)(2009· 东北三省联考)设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x) =f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数,并证明你的结论. ? ? ?f(2-x)=f(2+x) ?f(x)=f(4-x) 解 (1)由? ?? ? ? ?f(7-x)=f(7+x) ?f(x)=f(14-x) ?f(4-x)=f(14-x)?f(x)=f(x+10), 从而知函数 y=f(x)的周期为 T=10. 又 f(3)=f(1)=0,而 f(7)≠0,故 f(-3)≠0. 故函数 y=f(x)是非奇非偶函数. (2)由(1)知 y=f(x)的周期为 10.又 f(3)=f(1)=0, f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0, 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2 005]上有 402 个解, 在[-2 005,0]上有 400 个解,所以函数 y=f(x)在[-2 005,2 005]上有 802 个解.

§2.4 指数与指数函数

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) - 1.(2010· 镇江模拟)若 0<x<1,则 2x,2 x,0.2x 的大小关系是________. 1 1 1 2 1 解析 取 x= ,则 2 = 2,2- = ,0.2 = 0.2, 2 2 2 2 2 2 - ∴ 2> > 0.2,即 2x>2 x>0.2x. 2 - 答案 2x>2 x>0.2x 5-1 2.(2009· 江苏,10)已知 a= ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的 2 大小关系为________. 5-1 解析 ∵0<a= <1, 2 ∴函数 f(x)=ax 在 R 上是减函数. 又∵f(m)>f(n), ∴m<n. 答案 m<n - 3.(2009· 山东烟台模拟)函数 y=2 |x|的单调增区间是______________.

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解析 画出函数 y=2

-|x|

?2 ? =? x ? ?2

-x

x≥0 x<0

的图象,如图.

答案

(-∞,0]

?2x, ? 4.(2010· 泰州月考)设函数 f(x)=? ? ?g(x),

x<0, x>0

若 f(x)是奇函数,则 g(2)=________.

1 - 解析 ∵f(-2)=2 2= =-f(2) 4 1 ∴f(2)=- , 4 又∵f(2)=g(2), 1 ∴g(2)=- . 4 1 答案 - 4 5.(2010· 扬州调研)若函数 y=4x-3·x+3 的定义域为集合 A,值域为[1,7],集合 B=(-∞, 2 0]∪[1,2],则集合 A 与集合 B 的关系为________. 解析 因为 y=4x-3·x+3 的值域为[1,7], 2 所以 1≤(2x)2-3·x+3≤7, 2 所以 x≤0 或 1≤x≤2. 答案 A=B - 6.(2010· 南京调研)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的 取值范围是______________. ?a≤1, ? - 解析 f(x)=-x2 +2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,即 ? 故 ? ?a+1>1. 0<a≤1. 答案 (0,1] a 7.(2010· 锦州模拟)函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值是 2 _______. 解析 当 a>1 时,y=ax 在[1,2]上单调递增, a 3 故 a2-a= ,得 a= ; 2 2 x 当 0<a<1 时,y=a 在[1,2]上单调递减, a 1 1 3 故 a-a2= ,得 a= .故 a= 或 a= . 2 2 2 2 1 3 答案 或 2 2 8.(2010· 盐城模拟)函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 x f(b )________f(cx).(用“≤”,“≥”,“>”,“<”填空) 解析 ∵f(1+x)=f(1-x). ∴f(x)的对称轴为直线 x=1,由此得 b=2 又 f(0)=3,∴c=3, ∴f(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增. 若 x≥0,则 3x≥2x≥1,
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∴f(3x)≥f(2x), 若 x<0,则 3x<2x<1, ∴f(3x)>f(2x), ∴f(3x)≥f(2x). 答案 ≤ 9.(2009· 湖北黄冈四市联考)设函数 f(x)=|2x-1|的定义域和值域都是[a,b](b>a),则 a+b =________. 解析 因为 f(x)=|2x-1|的值域为[a,b], 所以 b>a≥0, 而函数 f(x)=|2x-1|在[0,+∞)上是单调递增函数, ?|2a-1|=a ?a=0 ? ? 因此应有? b ,解得? , ? ? ?|2 -1|=b ?b=1 所以有 a+b=1. 答案 1 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2009· 广东韶关一模)要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. 解 由题意得 1+2x+4xa>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立, 1+2x 即 a>- x 在 x∈(-∞,1]上恒成立. 4 1+2x 1 1 又∵- x =-?2?2x-?2?x ? ? ? ? 4 1 1 1 =-??2?x+2?2+ , ? ? ? ? 4 1 1 ∵x∈(-∞,1],∴?2?x∈?2,+∞?. ? ? ? ? 1?x 1?2 1 令 t=?2? ,则 f(t)=-?t+2? + , ? ? 4 1 t∈?2,+∞?, ? ? 1 则 f(t)在?2,+∞?上为减函数, ? ? 1? 1 1?2 1 3 f(t)≤f?2?=-?2+2? + =- , ? ? 4 4 3? 即 f(t)∈?-∞,-4?. ? 1 ∵a>f(t),在[ ,+∞)上恒成立, 2 3 ∴a∈?-4,+∞?. ? ? 11.(16 分)(2009· 江苏苏北四市期末)设 f(x)=ax+b 同时满足条件 f(0)=2 和对任意 x∈R 都 有 f(x+1)=2f(x)-1 成立. (1)求 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)的定义域为[-2,2],且在定义域内 g(x)=f(x),且函数 h(x)的图象与 g(x)的图 象关于直线 y=x 对称,求 h(x); (3)求函数 y=g(x)+h(x)的值域. 解 (1)由 f(0)=2,得 b=1, 由 f(x+1)=2f(x)-1,得 ax(a-2)=0, 由 ax>0 得 a=2, 所以 f(x)=2x+1. (2)由题意知,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)=2x+1. 设点 P(x,y)是函数 h(x)的图象上任意一点,它关于直线 y=x 对称的点为 P′(y,x),依
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题意点 P′(y, x)应该在函数 g(x)的图象上, x=2y+1, 即 所以 y=log2(x-1), h(x)=log2(x 即 -1). 5 (3)由已知得 y=log2(x-1)+2x+1,且两个函数的公共定义域是[ ,2],所以函数 y=g(x) 4 5 x +h(x)=log2(x-1)+2 +1(x∈[ ,2]). 4 5 由于函数 g(x)=2x+1 与 h(x)=log2(x-1)在区间[ ,2]上均为增函数, 4 5 4 因此当 x= 时,y=2 2-1, 4 5 4 当 x=2 时,y=5,所以函数 y=g(x)+h(x)(x∈[ ,2])的值域为[2 2-1,5]. 4 1 12.(16 分)(2010· 南通模拟)已知函数 f(x)=( )x,x∈[-1,1],函数 g(x)=f2(x)-2af(x)+3 的最 3 小值为 h(a). (1)求 h(a); (2)是否存在实数 m,n,同时满足以下条件: ①m>n>3; ②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2].若存在,求出 m,n 的值;若不存在, 说明理由. 1 1 解 (1)因为 x∈[-1,1],所以( )x∈[ ,3]. 3 3 1x 1 设( ) =t,t∈[ ,3], 3 3 则 g(x)=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2. 1 1 28 2a 当 a< 时,h(a)=φ( )= - ; 3 3 9 3 1 当 ≤a≤3 时,h(a)=φ(a)=3-a2; 3 当 a>3 时,h(a)=φ(3)=12-6a.

? 9 - 3 (a<3) ? 1 所以 h(a)=? 3-a ( ≤a≤3) 3 ? ?12-6a (a>3)
28 2a
2

1

.

(2)因为 m>n>3,a∈[n,m],所以 h(a)=12-6a. 因为 h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],且 h(a)为减函数, ?12-6m=n2 ? 所以? 2 ,两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n),因为 m>n,所以 m-n≠0,得 ? ?12-6n=m m +n=6,但这与“m>n>3”矛盾,故满足条件的实数 m,n 不存在.

§2.5 对数与对数函数

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1. (2009· 全国Ⅱ改编)设 a=log2π, b=log2 3, c=log3 2, a, c 的大小关系为________. 则 b,
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1 1 解析 ∵a=log3π>1,b= log23<1,c= log32<1, 2 2 log23 lg23 ∴a>b,a>c.又 = >1,∴b>c, log32 lg22 ∴a>b>c. 答案 a>b>c 2.(2009· 福建厦门模拟)函数 y=lg x+lg(x-1)的定义域为 A,y=lg(x2-x)的定义域为 B,则 A、B 的关系是______________. ? ?x>0 解析 由已知得? ,∴A={x|x>1},由 x2-x>0 ? ?x-1>0 得 x>1 或 x<0,∴B={x|x>1 或 x<0},∴A? B. 答案 A? B 3.(2009· 广东改编)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a, a)则 f(x)=__________________. 解析 由 y=ax 得,x=logay,即 f(x)=logax, 1 1 由于 a=loga a= ,因此 f(x)=log x. 2 2 1 答案 log x 2 ? ?(3a-1)x+4a, x<1, 4.(2009· 南京十三中三模)已知 f(x)=? 是 R 上的减函数,那么 a 的 ? ?logax, x≥1 取值范围是________________. ?0<a<1 解析 由已知?3a-1<0 1 1 解得 ≤a< . 7 3 1 1 答案 [ , ) 7 3 1 5.(2010· 江苏泰州月考)函数 y=log (x2-3x+2)的递增区间是__________. 2 解析 由 x2-3x+2>0 得 x<1 或 x>2, 当 x∈(-∞,1)时,f(x)=x2-3x+2 单调递减, 1 1 而 0< <1,由复合函数单调性可知 y=log (x2-3x+2)在(-∞,1)上是单调递增的,在(2, 2 2 +∞)上是单调递减的. 答案 (-∞,1) 6.(2010· 泰州模拟)方程 log3(x2-10)=1+log3x 的解是________. 解析 log3(x2-10)=log33x. ∴x2-10=3x.∴x2-3x-10=0. ∴x=-2 或 x=5. 检验知 x=5 适合. 答案 5 1 7.(2009· 辽宁改编)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=?2?x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1).则 ? ? f(2+log23)=________. 解析 因为 2+log23<4,故 f(2+log23)=f(2+log23+1) =f(3+log23).又因为 3+log23>4,故 f(3+log23)

?

?(3a-1)+4a≥0 ?



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1 1 1 1 =?2?3+log23=?2?3·= . ? ? ? ? 3 24 1 答案 24 8.(2010· 淮北调研)函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值 为________. 解析 ∵y=ax 与 y=loga(x+1)具有相同的单调性. ∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调, ∴f(0)+f(1)=a,即 a0+loga1+a1+loga2=a, 1 化简得 1+loga2=0,解得 a= . 2 1 答案 2 9.(2009· 广东五校联考)设 a>0,a≠1,函数 f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,则不等式 loga(x2 -5x+7)>0 的解集为________________. 解析 设 t=lg(x2-2x+3)=lg[(x-1)2+2]. 当 x=1 时,tmin=lg 2. 又函数 y=f(x)有最大值,所以 0<a<1. 由 loga(x2-5x+7)>0,得 0<x2-5x+7<1, 解得 2<x<3.故不等式解集为{x|2<x<3}. 答案 (2,3) 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 1 1 10.(14 分)(2010· 江苏启东中学模拟)已知函数 f(x)=log (x2-ax-a)在区间(-∞,- )上为增 2 2 函数,求 a 的取值范围. 解 令 g(x)=x2-ax-a. 1 1 ∵f(x)=log g(x)在(-∞,- )上为增函数, 2 2 1 ∴g(x)应在(-∞,- )上为减函数且 g(x)>0 2 1 在(-∞,- )上恒成立. 2 a 1 ≥- 2 2 因此 , 1 g(- )>0 2

? ? ?

?a≥-1 ? 即?1 a . ?4+2-a>0 ?
1 解得-1≤a< , 2 1 故实数 a 的取值范围是-1≤a< . 2 11.(16 分)(2010· 舟山调研)已知函数 y=loga2(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数,求 a 的取值范围. 解 因为 μ(x)=x2-2ax-3 在(-∞,a]上是减函数, 在[a,+∞)上是增函数, 要使 y=loga2(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数, 首先必有 0<a2<1, 即 0<a<1 或-1<a<0,且有

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?μ(-2)≥0, ? 1 ? 得 a≥- .综上, 4 ? ?a≥-2,

1 得- ≤a<0 或 0<a<1. 4 x+b 12.(16 分)(2010· 扬州模拟)已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1,b>0). x-b (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)讨论 f(x)的单调性. x+b 解 (1)由 >0?(x+b)(x-b)>0. x-b 解得 f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞). ?-x+b? (2)∵f(-x)=loga? ? ?-x-b? ?x-b?=log ?x+b?-1=-f(x), =loga? ? ? a? ?x+b? ?x-b? ∴f(x)为奇函数. x+b 2b (3)令 u(x)= ,则 u(x)=1+ . x-b x-b 它在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数. ∴当 0<a<1 时,f(x)分别在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函数; 当 a>1 时,f(x)分别在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数.

§2.6 幂函数

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2010· 潍坊模拟)已知函数 f(x)=xα 的图象经过点(4,2),则 log2f(2)=________. 1 解析 由已知得 2=4α,∴α= , 2 1 ∴f(x)=x , 2 1 1 ∴log2f(2)=log22 = . 2 2 1 答案 2 1 1 2.(2009· 江苏靖江调研)设 α∈{-2,- , ,2},则使函数 y=xα 为偶函数的所有 α 的和为 2 2 ____________. 解析 符合题意的 α 为-2 和 2,则-2+2=0. 答案 0 3.(2009· 山东临沂模拟)已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a、b、c 按从小到大的顺序 排列为________________. 解析 由指数函数 y=0.8x 知, ∵0.7<0.9,∴0.80.9<0.80.7<1, 即 b<a,又 c=1.20.8>1,∴b<a<c. 答案 b<a<c - - 4.(2010· 连云港模拟)幂函数 y=(m2-m-1)· 5m 3,当 x∈(0,+∞)时为减函数,则实数 m x
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的值为________. ? 2 ?m -m-1=1, 解析 由题意知? ∴m=2. ?-5m-3<0. ? 答案 2 -x ?2 -1, x≤0, ? 5.(2010· 盐城模拟)设函数 f(x)=? 1 ?x2, x>0. ?

若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是

________________. 解析 f(x0)>1, 当 x0≤0 时,2-x0-1>1, 即 2-x0>2,-x0>1,∴x0<-1; 1 当 x0>0 时,x 0>1,∴x0>1. 2 综上,x0∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 1 6.(2010· 西安调研)函数 y=(0.5x-8)- 的定义域是______________. 2 1x - 解析 由题意知 0.5x-8>0,即( ) >8,即 2 x>23, 2 ∴-x>3,则 x<-3. 答案 (-∞,-3) 1 1 7.(2009· 宝城第一次月考)若(a+1)- <(3-2a)- ,则 a 的取值范围是______________. 3 3 1 1 解析 ∵(a+1)- <(3-2a)- , 3 3

?a+1>0 ? ∴?3-2a>0 ?a+1>3-2a ?

?a+1<0 ? 或?3-2a<0 ?a+1>3-2a ?

? ?3-2a>0 或? ?a+1<0 ?

2 3 解之得 <a< 或 a<-1. 3 2 2 3 答案 <a< 或 a<-1 3 2 8.(2009· 南京二模)给出封闭函数的定义:若对于定义域 D 内的任意一个自变量 x0,都有函 数值 f(x0)∈D,则称函数 y=f(x)在 D 上封闭.若定义域 D=(0,1),则函数 ①f1(x)=3x-1; 1 1 ②f2(x)=- x2- x+1; 2 2 ③f3(x)=1-x; 1 ④f4(x)=x ,其中在 D 上封闭的是________.(填序号即可) 2 1 解析 ∵f1?3?=0?(0,1),∴f1(x)在 D 上不封闭. ? ? 1 1 ∵f2(x)=- x2- x+1 在(0,1)上是减函数, 2 2 ∴0=f2(1)<f2(x)<f2(0)=1,∴f2(x)适合. ∵f3(x)=1-x 在(0,1)上是减函数, ∴0=f3(1)<f3(x)<f3(0)=1,∴f3(x)适合. 1 又∵f4(x)=x 在(0,1)上是增函数, 2 且 0=f4(0)<f4(x)<f4(1)=1,∴f4(x)适合. 答案 ②③④
62

1 2 9.(2010· 泉州模拟)已知幂函数 f(x)的图象经过点( , ),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数 8 4 图象上的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2); ②x1f(x1)<x2f(x2); f(x1) f(x2) f(x1) f(x2) ③ > ; ④ < . x1 x2 x1 x2 其中正确结论的序号是________________. 1 2 1 11 1 1 解析 依题意,设 f(x)=xα,则有( )α= ,即( )α=( ) ,所以 α= ,于是 f(x)=x . 8 4 8 82 2 2 1 由于函数 f(x)=x 在定义域[0,+∞)内单调递增,所以当 x1<x2 时,必有 f(x1)<f(x2),从而 2 f(x1) f(x2) 有 x1f(x1)<x2f(x2),故②正确;又因为 , 分别表示直线 OP、OQ 的斜率,结合函数 x1 x2 f(x1) f(x2) 图象,容易得出直线 OP 的斜率大于直线 OQ 的斜率,故 > ,所以③正确. x1 x2 答案 ②③ 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 1 3 10.(14 分)(2009· 辽宁丹东检测)已知幂函数 y=x- p2+p+ (p∈Z)在(0,+∞)上单调递增, 2 2 且在定义域内图象关于 y 轴对称,求 p 的值. 1 3 1 解 由题意知:- p2+p+ =- (p-1)2+2. 2 2 2 因为 p∈Z,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且在定义域上为偶函数,所以 p=1. 1 11.(16 分)(2010· 四平调研)已知 f(x)=x (n=2k,k∈Z)的图象在[0,+∞)上单 -n2+2n+3 调递增,解不等式 f(x2-x)>f(x+3). 1 解 由条件知 >0,即-n2+2n+3>0, -n2+2n+3 解得-1<n<3.又 n=2k,k∈Z, 1 ∴n=0,2.当 n=0,2 时,f(x)=x . 3 ∴f(x)在 R 上单调递增. ∴f(x2-x)>f(x+3),∴x2-x>x+3. 解得 x<-1 或 x>3. ∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). x 12.(16 分)(2010· 南通模拟)已知函数 f(x)= , 1+x (1)画出 f(x)的草图; (2)由图象指出 f(x)的单调区间; (3)设 a>0,b>0,c>0,a+b>c,证明:f(a)+f(b)>f(c). (1)解 由 f ( x) ?

x 得 1? x

f ( x) ? 1 ?

1 . x ?1
1 的图象向左平移 1 个 x

∴f(x)的图象可由 y ? ?

单位,再向上平移 1 个单位得到如图. (2)解 由图象知(-∞,-1),(-1,+∞) 均为 f(x)的单调增区间. (3)证明 ∵f(x)在(-1,+∞)为增函数,

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a a b b > >0, > >0,a+b>c>0, 1+a 1+a+b 1+b 1+a+b a+b a b c ∴f(a)+f(b)= + > > =f(c), 1+a 1+b 1+a+b 1+c ∴f(a)+f(b)>f(c).

§2.7 函数与方程

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2010· 福建厦门模拟)如果函数 y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,则 m 的取值范围 是________. 解析 方程 x2+mx+(m+3)=0 有两个不同的根?Δ=m2-4(m+3)>0,∴m>6 或 m<-2. 答案 (-∞,-2)∪(6,+∞) 2.(2010· 金华一模)如果函数 f(x)=x2+mx+m+2 的一个零点是 0,则另一个零点是 ________________. 解析 依题意知:m=-2. ∴f(x)=x2-2x, ∴方程 x2-2x=0 的另一个根为 2, 即另一个零点是 2. 答案 2 3.(2009· 江苏盐城模拟)用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时,现在已经将一根锁 定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为________. 解析 令 f(x)=x3-2x-1, 3 5 则 f(1)=-2<0,f(2)=3>0,f( )=- <0, 2 8 3 3 由 f( )f(2)<0 知根所在区间为( ,2). 2 2 3 答案 ( ,2)(说明:写成闭区间也对) 2 4.(2010· 江苏兴化模拟)根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区 间为________. x 0 1 2 3 -1 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08 1 2 3 4 5 x+2 解析 令 f(x)=ex-x-2, 由表知 f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0, ∴方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为(1,2). 答案 (1,2) 5.(2009· 江苏扬州模拟)已知函数 f(x)=3x+x-5 的零点 x0∈[a,b],且 b-a=1,a,b∈N*, 则 a+b=________. 解析 ∵b-a=1,a,b∈N*,f(1)=4-5=-1<0, f(2)=6>0,∴f(1)f(2)<0,∴a+b=3. 答案 3 6.(2009· 山东,14)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是______________. 解析 设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1) 有两个零点,就是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点,由图 1 可知,当
64

0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合;由图 2 知,当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)与 y 轴交于点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点,所 以实数 a 的取值范围是 a>1.

答案 a>1 7.(2010· 苏州模拟)偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x) =0 在区间[-a,a]内根的个数是________. 解析 由 f(0)· f(a)<0,且 f(x)在[0,a](a>0)上单调知 f(x)=0 在[0,a]上有一根,又函数 f(x) 为偶函数, f(x)=0 在[-a,0]上也有一根. 答案 2 8. (2010· 浙江温州一模)关于 x 的实系数方程 x2-ax+2b=0 的一根在区间[0,1]上, 另一根在 区间[1,2]上,则 2a+3b 的最大值为________. 解析 令 f(x)=x2-ax+2b,据题意知函数在[0,1],[1,2]内各存在一零点,结合二次函数 图象可知满足条件

?f(0)≥0 ?b≥0 ? ? ?f(1)≤0 ??1-a+2b≤0 ?f(2)≥0 ?4-2a+2b≥0 ? ?



在直角坐标系中作出满足不等式的点(a, b)所在的可行域, 问题转化为确定线性目标函数: z=2a+3b 的最优解,结合图形可知当 a=3,b=1 时,目标函数取得最大值 9. 答案 9 9.(2009· 江苏启东中学月考)若关于 x 的方程 3tx2+(3-7t)x+4=0 的两实根 α,β 满足 0<α<1<β<2,则实数 t 的取值范围是______________. 解析 依题意, 函数 f(x)=3tx2+(3-7t)x+4 的两个零点 α, 满足 0<α<1<β<2, β 且函数 f(x) 过点(0,4),则必有 ?4>0 ?f(0)>0

? ? ?f(1)<0 ,即?3t+3-7t+4<0 , ? ?12t+6-14t+4>0 ?f(2)>0 ?

7 解得 <t<5. 4 7 答案 <t<5 4 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2010· 江苏镇江调研)已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1] 内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0,求实数 p 的取值范围. 解 二次函数 f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c, f(c)>0 的否定是对于区间[-1,1] 使 内的任意一个 x 都有 f(x)≤0, 2 ? ? ?f(1)≤0 ?4-2(p-2)-2p -p+1≤0 ∴? ,即? 2 ?f(-1)≤0 ?4+2(p-2)-2p -p+1≤0 ? ?
?2p2+3p-9≥0 ? 整理得? 2 , ? ?2p -p-1≥0

3 解得 p≥ 或 p≤-3. 2
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∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c, 3 使 f(c)>0 的实数 p 的取值范围是?-3,2?. ? ? 11. 分)(2010· (16 扬州模拟)x1 与 x2 分别是实系数方程 ax2+bx+c=0 和-ax2+bx+c=0 的一 a 个根,且 x1≠x2,x1≠0,x2≠0.求证:方程 x2+bx+c=0 有一个根介于 x1 和 x2 之间. 2 2 证明 由于 x1 与 x2 分别是方程 ax +bx+c=0 和-ax2 +bx+c=0 的根,所以有 ?ax2+bx1+c=0, ? 1
? 2 ? ?-ax2+bx2+c=0.

a 设 f(x)= x2+bx+c, 2 a a 则 f(x1)= x2+bx1+c=- x2, 1 2 2 1 a 3a f(x2)= x2+bx2+c= x2. 2 2 2 2 3 于是 f(x1)f(x2)=- a2x2x2, 4 1 2 由于 x1≠x2,x1≠0,x2≠0, 所以 f(x1)f(x2)<0, a 因此方程 x2+bx+c=0 有一个根介于 x1 和 x2 之间. 2 12.(16 分)(2009· 江苏江阴模拟)已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3. (1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)问是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间 D,且区间 D 的长度为 12-t.(视区间[a,b]的长度为 b-a) 解 (1)∵函数 f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. ∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有 ? ? ?f(1)≤0 ?1-16+q+3≤0 ? ,即? ,∴-20≤q≤12. ?f(-1)≥0 ?1+16+q+3≥0 ? ? (2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是 x=8. ①当 0≤t≤6 时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小, ∴f(t)-f(8)=12-t,即 t2-15t+52=0, 15- 17 15± 17 解得 t= ,∴t= ; 2 2 ②当 6<t≤8 时,在区间[t,10]上 f(10)最大,f(8)最小, ∴f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8; ③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小, ∴f(10)-f(t)=12-t,即 t2-17t+72=0, 解得 t=8 或 t=9,∴t=9. 15- 17 综上可知,存在常数 t= ,8,9 满足条件. 2

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§2.8 函数模型及应用

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 2 1.(2009· 广东揭阳调研)计算机的价格大约每 3 年下降 ,那么今年花 8 100 元买的一台计算 3 机,9 年后的价格大约是________. 1 解析 9 年后的价格大约是 8 100?( )3=300 元. 3 答案 300 元 2.(2010· 江苏南通一模)从盛满 20 升纯消毒液的容器中倒出 1 升,然后用水加满,再倒出 1 升,再用水加满.这样继续下去,则所倒次数 x 和残留消毒液 y 之间的函数解析式为_ _______. 解析 所倒次数 1 次,则 y=19 19 所倒次数 2 次,则 y=19? 20 ?? 19 - 19 所倒次数 x 次,则 y=19( )x 1=20( )x. 20 20 19 答案 y=20( )x 20 3.(2009· 扬州期末)某电信公司推出手机两种收费方式:A 种方式是 月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时 间(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分 钟时,这两种方式电话费相差________. 解析 如题图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费差为 BD 50 线段 BD 的长度,根据相似三角形的性质可得 = , 20 100 ∴BD=10. 答案 10 元 4. (2009· 锡、 镇调研)某市出租车收费标准如下: 苏、 常、 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价收费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费; 超过 8 km 时,超过的部分按每千米 2.85 元收费,每次乘车需付燃油附加费 1 元,现某人 乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了____________千米. 解析 设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元,由题意得, 0<x≤3 ?8+1, ? f(x)=?9+(x-3)?2.15, 3<x≤8 ?9+5?2.15+(x-8)?2.85, x>8 ? ,

令 f(x)=22.6,解得 x=9. 答案 9 5.(2010· 山东烟台模拟)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检 测,服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的关系用如图所示曲线表 示.据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于 0.25 毫克时,治疗疾病有效,则服药一 次治疗该疾病有效的时间为________小时.

67

解析 本小题考查函数与不等式.由图知

0 ? t ?1 ?4t , ? f (t ) ? ? 1 t ?3 , 则f (t ) ? 0.25. ?( 2 ) , 0 ? t ? 1 ? t ? 5. . 解之得 16 15 答案 4 16
6.(2010· 河南新乡模拟)甲、乙二人沿同一方向从 A 地去 B 地,途中都使用两种不同的速度 v1 与 v2(v1<v2),甲一半的路程使用速度 v1,另一半的路程使用速度 v2;乙一半时间使用 速度 v1,另一半的时间使用速度 v2.关于甲、乙二人从 A 地到达 B 地的路程与时间的函数 图象及关系,有如图中所示四个不同的图示分析(其中横轴 t 表示时间,纵轴 s 表示路程), 则其中可能正确的图示分析为______________.

解析 因为开始时甲、乙的速度是相同的,所以其图象的前一段是重合的,故排除③④; 又 v1<v2,反映在图象上即后一段的增长率大于前一段的增长率,图象增长得快,只有① 符合题意. 答案 ① 7.(2009· 江苏盐城二模)水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水速度如图甲、 乙所示,某天 0 点到 6 点该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口):给出以下三个 论断: ①0 点到 3 点只进水不出水; ②3 点到 4 点不进水只出水; ③4 点到 6 点不进水也不出水. 则一定正确的论断是________.

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解析 从丙图可知在 0 点到 3 点,蓄水量由 0 增加到 6,因此是两个进水口同时打开了, 且出水口没有打开,故①正确;从 3 点到 4 点,蓄水量由 6 减少到 5,减少了 1,所以是 一个进水口和一个出水口同时打开了,故②错误;从 4 点到 6 点,蓄水量不变,由于题设 要求至少打开一个水口,故在该时段内是打开了两个进水口和一个出水口,故③错误. 答案 ① 8.(2010· 连云港模拟)某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: ①如一次购物不超过 200 元,不予以折扣; ②如一次购物超过 200 元,但不超过 500 元,按标价予以九折优惠; ③如一次购物超过 500 元的,其中 500 元给予九折优惠,超过 500 元的给予八五折优惠; 某人两次去购物,分别付款 176 元和 432 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款 ________元. 解析 由题意知付款 432 元, 10 实际标价为 432? =480 元, 9 如果一次购买标价 176+480=656 元的商品应付款 500?0.9+156?0.85=582.6 元. 答案 582.6 9.(2010· 苏州模拟)鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童,准备在山东省体育中心体育场举 行一场足球义赛,预计卖出门票 2.4 万张,票价有 3 元、5 元和 8 元三种,且票价 3 元和 5 元的张数的积为 0.6 万张.设 x 是门票的总收入,经预算,扣除其他各项开支后,该俱 乐部的纯收入为函数 y=lg 2x,则这三种门票的张数分别为______________万张时可以为 失学儿童募捐的纯收入最大. 解析 该函数模型 y=lg 2x 已给定,因而只需要将条件信息提取出来,按实际情况代入, 应用于函数即可解决问题. 设 3 元、5 元、8 元门票的张数分别为 a、b、c,则 ① ?a+b+c=2.4 ? ?ab=0.6 ② ?x=3a+5b+8c ③ ? .

①代入③有 x=19.2-(5a+3b)≤19.2-2 15ab =13.2(万元), ? ?5a=3b 当且仅当? 时等号成立, ? ?ab=0.6 解得 a=0.6,b=1,所以 c=0.8. 由于 y=lg 2x 为增函数,即此时 y 也恰有最大值. 故三种门票的张数分别为 0.6、1、0.8 万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大. 答案 0.6、1、0.8 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2009· 江苏台州调研)我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好, 但收费方式不同.甲俱乐部每张球台每小时 5 元;乙俱乐部按月计费,一个月中 30 小时 以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下 个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超 过 40 小时. (1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40), 在乙俱乐部租一 张球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40),试求 f(x)和 g(x); (2)你认为小张选择哪家俱乐部比较合算?请说明理由. 解 (1)f(x)=5x,15≤x≤40. ? 15≤x≤30, ?90, g(x)=? ?90+2(x-30), 30<x≤40. ?
69

(2)①若 15≤x≤30,当 5x=90 时,x=18, 即当 15≤x<18 时,f(x)<g(x), 当 x=18 时,f(x)=g(x), 当 18<x≤30 时,f(x)>g(x). ②若 30<x≤40,5x>30+2x 恒成立, 即 f(x)>g(x)恒成立. 综上所述,当 15≤x<18 时,小张选甲俱乐部比较合算; 当 x=18 时,两家一样合算; 当 18<x≤40 时,选乙俱乐部比较合算. 11.(16 分)(2010· 淮安模拟)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每 吨为 1.80 元,当用水超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元, 已知甲、乙两用户该月用水量分别为 5x,3x 吨. (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解 (1)当甲的用水量不超过 4 吨, 5x≤4, 即 乙的用水量也不超过 4 吨时, y=(5x+3x)?1.8 =14.4x; 当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时, 即 3x≤4 且 5x>4, y=4?1.8+3x?1.8+3?(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过 4 吨时, 即 3x>4,y=8?1.8+3(8x-8)=24x-9.6,

? ? 4 4 所以 y=?20.4x-4.8, 5<x≤3 ?24x-9.6, x>4 ? 3
14.4x,

4 0≤x≤ 5 .

(2)由于 y=f(x)在各段区间上均为单调递增, 4 4 当 x∈?0,5?时,y≤f?5?<26.4; ? ? ? ? 4 4 4 当 x∈?5,3?时,y≤f?3?<26.4; ? ? ? ? 4 当 x∈?3,+∞?时,令 24x-9.6=26.4, ? ? 解得 x=1.5, 所以甲户用水量为 5x=7.5 吨, 付费 S1=4?1.8+3.5?3=17.70(元); 乙户用水量为 3x=4.5 吨, 付费 S2=4?1.8+0.5?3=8.70(元). 12.(16 分)(2009· 广东九校联考)2008 年北京奥运会中国跳水梦之队取 得了辉煌的成绩.据科学测算,跳水运动员进行 10 米跳台跳水训 练时,身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一经过坐标 原点的抛物线(图中标出数字为已知条件),且在跳某个规定的翻腾 2 动作时,正常情况下运动员在空中的最高点距水面 10 米,入水处 3 距池边 4 米,同时运动员在距水面 5 米或 5 米以上时,必须完成规 定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这个抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线, 3 且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为 3 米,问此次跳水会不会失误? 5
70

请通过计算说明理由; (3)某运动员按(1)中抛物线运行,要使得此次跳水成功,他在空中调整好入水姿势时,距 池边的水平距离至多应为多大? ? ?f(0)=0 解 (1)由题设可设抛物线方程为 y=f(x)=ax2+bx+c(a<0),且? ,∴c=0,b ? ?f(2)=-10 =-5-2a, 即 y=f(x)=ax2-(5+2a)x 5+2a 2 (5+2a)2 =a(x- )- (a<0), 2a 4a 2 (5+2a) 2 5+2a ∴[f(x)]max=- = (a<0)且 >0, 4a 3 2a 5 得(6a+25)(2a+3)=0 且 a<- , 2 25 10 25 10 ∴a=- ,b= ,∴解析式为 y=- x2+ x. 6 3 6 3 3 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为 3 米时, 5 3 8 即 x=3 -2= 时, 5 5 8 25 8 2 10 8 16 y=f( )=- ?( ) + ? =- , 5 6 5 3 5 3 16 14 ∴此时运动员距水面的距离为 10- = <5, 3 3 故此次跳水会出现失误. (3)设要使此次跳水成功,调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 m(m>2),则 f(m-2)≥ -5. 25 10 ∴- (m-2)2+ (m-2)≥-5, 6 3 12+ 34 即 5m2-24m+22≤0,∴2<m≤ , 5 12+ 34 ∴运动员此时距池边的水平距离最大为 米. 5

【2012 年高考试题】
1. 【2012 高考真题浙江理 1】 设集合 A={x|1<x<4}, 集合 B ={x| x2 -2x-3≤0}, 则 A∩ RB) (C = A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪(3,4)

2.



2012

















1











71

A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;,则 B 中所含元素
的个数为( )

( A) 3

(B) 6

(C ) ?

( D) ??

3. 2012 高考真题陕西理 1】 【 集合 M ? {x | lg x ? 0} , ? {x | x2 ? 4} , M ? N ? 则 ( N A. (1, 2) 【答案】C. 【解析】? M ? {x | lg x ? 0} ? {x | x ? 1 N ? {x | x 2 ? 4} ? {x | ?2 ? x ? 2} , }, B. [1, 2) C. (1, 2] D. [1, 2]



? M ? N ? (1,2] ,故选 C.
4.【2012 高考真题山东理 2】已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? ,集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2,4? ,则

CU A ?B 为
(A) ?1, 2, 4? 【答案】C 【解析】 CU A ? {0,4} ,所以 CU A) B ? {0,2, ,选 C. ( ? 4} 5.【2012 高考真题辽宁理 1】已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,集合 A={0,1,3,5,8} , 集合 B={2,4,5,6,8} ,则 (CU A) ? (CU B) 为 (A){5,8} (B){7,9} (C){0,1,3} (D){2,4,6} (B) ?2,3,4? (C) ?0,2,4? (D) ?0,2,3,4?

2. 集合 (CU A) ? (CU B) 为即为在全集 U 中去掉集合 A 和集合 B 中的元素, 所剩的元素形成 的集合,由此可快速得到答案,选 B
72

6.【2012 高考真题江西理 1】若集合 A={-1,1} B= , {0,2} ,则集合{z︱z=x+y,x∈A,y∈B} 中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2

7.【2012 高考真题湖南理 1】设集合 M={-1,0,1},N={x|x ≤x},则 M∩N= A.{0} 【答案】B 【解析】? N ? ?0,1? M={-1,0,1} ? M∩N={0,1}. 8【2012 高考真题广东理 2】设集合 U={1,2,3,4,5,6}, M={1,2,4 },则 CuM= A.U B. {1,3,5} C.{3,5,6} D. {2,4,6} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0}

2

【答案】C 【解析】 CU M ? {3,5,6} ,故选 C. 9. 2012 高考真题北京理 1】 【 已知集合 A={x∈R|3x+2>0} B={x∈R| x+1) ( (x-3)>0} 则 A∩B= A (- ? ,-1)B (-1,【答案】D 【解析】因为 A ? {x ? R | 3 x ? 2 ? 0} ? x ? ?

2 2 ) C (- ,3)D (3,+ ? ) 3 3 2 ,利用二次不等式可得 B ? {x | x ? ?1 或 3

x ? 3} 画出数轴易得: A ? B ? {x | x ? 3} .故选 D.
10.【2012 高考真题全国卷理 2】已知集合 A={1.3. A 0或 3 B 0或3 C 1或 3

m },B={1,m} ,A ? B=A, 则 m=
D 1或3

73

11.【2012 高考真题四川理 13】设全集 U ? {a, b, c, d },集合 A ? {a, b} , B ? {b, c, d } , 则 CU A ? CU B ___________。 【答案】 ?a, c, d? 【解析】 CU A ? {c, d}, CU B ? {a} ,?CU A ? CU B ? {a, c, d} 12. 【 2012 高 考 真 题 上 海 理 2 】 若 集 合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} , B ? {x || x ? 1 |? 2} , 则

A? B ?



13. 【 2012 高 考 真 题 天 津 理 11 】 已 知 集 合 A ? {x ? R | x ? 2 ? 3}, 集 合

B ? {x ? R | ( x ? m)(x ? 2) ? 0}, 且 A ? B ? (?1, n), 则 m =__________,n = __________.
【答案】 ? 1,1 【解析】由 x ? 2 ? 3 ,得 ? 3 ? x ? 2 ? 3 ,即 ? 5 ? x ? 1 ,所以集合 A ? {x ?5 ? x ? 1 , } 因为 A ? B ? (?1 n) ,所以 ? 1 是方程 ( x ? m)(x ? 2) ? 0 的根,所以代入得 3(1 ? m) ? 0 , , 所以 m ? ?1 ,此时不等式 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 的解为 ? 1 ? x ? 2 ,所以 A ? B ? (?1 1) ,即 ,

n ? 1。
2 4} 4 6} 14.【2012 高考江苏 1】 分)已知集合 A ? {1, , , B ? {2 , , ,则 A ? B ? (5
▲ .

74

2 … n 15.【2012 高考江苏 26】 (10 分)设集合 Pn ? {1, , , } , n ? N * .记 f (n) 为同时满足
下列条件的集合 A 的个数: ① A ? Pn ;②若 x ? A ,则 2x ? A ;③若 x ? C pn A ,则 2 x ? C p A 。
n

(1)求 f (4) ; (2)求 f (n) 的解析式(用 n 表示) .

【2011 年高考试题】 一、选择题: 1.(2011 年高考北京卷理科 1)已知集合 P={x︱x ≤1},M={a}.若 P∪M=P,则 a 的取值范 围是 A.(-∞, -1] C.[-1,1]
75
2

B.[1, +∞) D.(-∞,-1] ∪[1,+∞)

【答案】C 【解析】因为 P∪M=P,所以 P ? M ,故选 C. 2.(2011 年高考福建卷理科 1)i 是虚数单位,若集合 S= ?1.0.1 A. i ? S B. i ? S
2

?

? ,则
D.

C. i ? S
3

2 ?S i

3.(2011 年高考辽宁卷理科 2)已知 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,若

N ? ?C1M ? ? ?, 则M ? N ? ( )
(A)M 答案: A 解析:因为 N ? ?C1M ? ? ?, 且 M,N 不相等,得 N 是 M 的真子集,故答案为 M. 4.(2011 年高考广东卷理科 2)已知集合 A={ (x,y)|x,y 为实数,且 x +y =l},B={(x,y) |x,y 为实数,且 y=x}, 则 A ∩ B 的元素个数为( A.0 B. 1 C.2 D.3 )
2 2

(B) N

(C)I

(D) ?

5 . (2011 年 高 考 江 西 卷 理 科 2) 若 集 合 A ? { x ?? ? ? x?? ? ?}, B? { x

x?? ? ? }, 则 x

A? B ?
A. {x ??? x ? ?} C. B. {x ? ? x ??} D. {x ? ? x ??}

{x ? ? x ? ?}

76

二、填空题: 1.(2011 年高考天津卷理科 13)已知集合

1 ? ? A ? ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9? , B ? ? x ? R | x ? 4t ? ? 6, t ? (0, ??) ? ,则集合 t ? ?
A ? B =________
【答案】 ?x | ?2 ? x ? 5? 【解析】因为 t ? 0 ,所以 4t ? ? 4 ,所以 B ? ?x ? R | x ? ?2? ;由绝对值的几何意义可 得: A ? ? x ? R| ?4 ? x ? 5 ,所以 A ? B = ?x | ?2 ? x ? 5 . ? ? 2.(2011 年高考江苏卷 1)已知集合 A ? {?1,1, 2, 4}, B ? {?1,0, 2}, 则 A ? B ? _______,

1 t

3.(2011 年高考江苏卷 14)设集合 A ? {( x, y ) |

m ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? m 2 , x, y ? R} , 2

B ? {( x, y) | 2m ? x ? y ? 2m ? 1, x, y ? R} , 若 A ? B ? ? , 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是
______________ 答案:

1 ? m ? 2 ?1 2

77

【2010 年高考试题】 (2010 辽宁理数) 1.已知 A, 均为集合 U={1,3,5,7,9}的子集, A∩B={3}, ?u B∩A={9}, B 且 则 A= (A){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}

2 (2010 江西理数)2.若集合 A= x | x ? 1,x ? R , B= y | y ? x ,x ? R ,则 A ? B =

?

?

?

?



) A. C.

?x | ?1 ? x ? 1? ?x | 0 ? x ? 1?

B.

?x | x ? 0?

D. ?

78

2 (2010 北京理数) (1) 集合 P ? {x ? Z 0 ? x ? 3}, M ? {x ? Z x ? 9} ,则 P I M =

(A) {1,2} 答案:B

(B) {0,1,2}

(C){x|0≤x<3}

(D) {x|0≤x≤3}



2010











(7)







A ??

x

|

B ??| ?

x x ?-

a ?x若?

|

x< , 1R a 的取值范围是 ? 则实数 ? , x

?R

? ,

?

(A) ?a | 0 ? a ? 6? (C) a | a ? 0, 或a ? 6

(B) a | a ? 2, 或a ? 4

?

?

?

?

(D) ?a | 2 ? a ? 4?

(2010 广东理数)1.若集合 A={ x -2< x <1},B={ x 0< x <2}则集合 A ∩ B=( A. { x -1< x <1} C. { x -2< x <2} B. { x -2< x <1} D. { x 0< x <1}



1. D. A ? B ? {x | ?2 ? x ? 1} ? {x | 0 ? x ? 2} ? {x | 0 ? x ? 1}. (2010 山东理数)1.已知全集 U=R,集合 M={x||x-1| ? 2},则 CU M= (A){x|-1<x<3} 【答案】C (B){x|-1 ? x ? 3} (C){x|x<-1 或 x>3} (D){x|x ? -1 或 x ? 3}

79

【 解 析 】 因 为 集 合 M=

?x|x-1| ? 2? ? ?x|-1 ? x ? 3?

, 全 集 U = R, 所 以

CU M ?x | x < - 1 ? x > 3 = 或
【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题.

1.(2010 安徽理数)2、若集合 A ? ? x log 1 x ?

? ? ? ?

2

1? ? ? ,则 ?R A ? 2? ?

A、 (??, 0] ? ? 2.A

? 2 ? ? 2 , ?? ? ? ? ?

B、 ?

? 2 ? , ?? ? ? 2 ? ? ?

C、 (??, 0] ? [

2 , ??) 2

D、 [

2 , ??) 2

(2010 湖南理数)1.已知集合 M={1,2,3},N={2,3,4},则 A. M ? N B. N ? M

C. M ? N ? {2,3} D. M ? N{1, 4}

(2010 湖北理数)2.设集合 A ? {? x, y ? | 子集的个数是 A.4 B.3 C .2 D.1

x2 y 2 ? ? 1} ,B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 A ? B 的 4 16

2. 【答案】A 【解析】画出椭圆

x2 y 2 ? ? 1 和指数函数 y ? 3x 图象,可知其有两个不同交点,记为 4 16

80

A1、A2,则 A ? B 的子集应为 ?,? A1? ,? A2 ? ,? A1 , A2 ? 共四种,故选 A. (2010 江苏卷) 设集合 A={-1,1,3}, 1、 B={a+2,a +4},A∩B={3}, 则实数 a=______▲_____. [解析] 考查集合的运算推理。3 ? B, a+2=3, a=1.
2
2

(2010 浙江理数) (1)设 P={x︱x<4},Q={x︱ x <4} ,则 (A)p ? Q (B) ? P Q (C)p ?

CQ
R

(D) ? Q

CP
R

【2009 高考试题】 1.(2009?安徽理 2)若集合 A ? x | 2 x ? 1|? 3 , B ? ? x A. ? x ?1 ? x ? ? 1 或2 ? x ? 3? ? ? 2 ? ?

?

?

? 2x ?1 ? ? 0? , 则 A∩B 是 ? 3? x ?
D. ? x ?1 ? x ? ? 1 ? ? ?
? 2?

B.

?x 2 ? x ? 3?

? 1 ? C. ? x ? ? x ? 2? 2 ? ?

2.(2009?福建理 2)已知全集 U=R,集合 A ? {x | x ? 2 x ? 0},则 ? A 等于 U
2

A. { x ∣0 ? x ? 2} C. { x ∣x<0 或 x>2} 答案:A

B { x ∣0<x<2} D { x ∣x ? 0 或 x ? 2}

解析:∵计算可得 A ? x x ? 0 或 x ? 2? ∴ CuA ? x 0 ? x ? 2? .故选 A 3. (2009?福建文 1)若集合 A ? ?x | x ? 0.? B ? ?x | x ? 3? ,则 A ? B 等于 A. {x | x ? 0} 答案:B 解析:易知道: A ? B ? {0 ? x ? 3} 选 B 4 . (2009? 广 东 理 1) 已 知 全 集 U ? R , 集 合 M ? { x ?2 ? x ? ?2} 和 1 B {x | 0 ? x ? 3} C {x | x ? 4} D R

?

?

81

N ? {x x ? 2k ?1, k ? 1,2,? 的关系的韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集 }
合的元素共有 A. 3 个 C. 1 个 B. 2 个 D. 无穷多个

5. (2009?辽宁理 1)已知集合 M ? {x | ?3 ? x ? 5}, N ? {x | ?5 ? x ? 5} ,则集合 M ? N = (A) {x | ?5 ? x ? 5} 答案:B 解析: M ? N = {x | ?3 ? x ? 5} 。故选 B
2 6. (2009?山东文理 1) 集合 A ? ?0, 2, a? , B ? 1, a ,若 A ? B ? ?0,1,2,4,16? ,则 a 的

(B) {x | ?3 ? x ? 5} (C) {x | ?5 ? x ? 5} (D) {x | ?3 ? x ? 5}

?

?

值为( A.0

) B.1 C.2 D.4

7.(2009?宁夏海南理 1)已知集合 A ? 1,3,5,7,9? , B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A ? CN B ? (A) (C) 答案:A 解析:集合 B 中有 3,故所选答案不能有元素 3,所以选 A 8. (2009?江苏 11)已知集合 A ? x log 2 x ? 2 , B ? (??, a ) ,若 A ? B 则实数 a 的取值 范围是 (c, ??) ,其中 c = 答案: c ? 4 解析:考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。
82

?

?1,5,7? ?1,3,9?

(B) (D)

?3,5,7?
?1, 2,3?

?

?

.

由 log2 x ? 2 得 0 ? 【2008 高考试题】

x ? 4 , A ? (0,4] ;由 A ? B 知 a ? 4 ,所以 c ? 4

2 1.(2008?江苏 4) A ? x ( x ? 1) ? 3 x ? 7 , 则 A ? Z 的元素个数为

?

?



【2007 高考试题】 2. 2007?山东) ( 已知集合 M ? ??11 ,N ? ? x , ? A. ??11? , B. ??1? C. ?0?

? 1 ? 则 ? 2 x ?1 ? 4,x ? Z ? , M ? N ?( ? 2 ?
D. ??1 0? ,



3. (2007?广东) 已知函数 f ( x) ? (A) {x | x ? ?1} (B) {x | x ? 1} 答案:C

1 1? x

的定义域为 M, g(x)= ln(1 ? x) 的定义域为 N, M∩N= 则 (D) ?

(C) {x | ?1 ? x ? 1}

解析:由解不等式 1-x>0 求得 M=(- ? ,1),由解不等式 1+x>0 求得 N=(-1,+ ? ), 因而 M ? N=(-1,1),故选 C。 【2006 高考试题】
2 B 1.安徽卷) ( 设集合 A ? x x ? 2 ? 2, x ? R , ? y | y ? ? x , ?1 ? x ? 2 , CR ? ? 则 A B

?

?

?

?

?

等于( A. R

) B. x x ? R, x ? 0

?

?

C. ?0?

D. ?

解: A ? [0, 2] , B ? [?4, 0] ,所以 CR ? A ? B ? ? CR{0},故选 B。 2. (安徽卷)设全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} ,集合 S ? {1,3,5} ,T ? {3,6} ,则 CU ?S ? T 等于( ) B. {2, 4,7,8} C. {1,3,5, 6} D. {2, 4,6,8}

?

A. ?

83

解: S ? T ? {1,3,5,6} ,则 CU ? S ?T ? = {2, 4,7,8} ,故选 B 3. (北京卷)设集合 A= x 2 x ? 1 3 ,B= x ? 3<x<2 ,则 A ? B 等于( < (A)

?

?

?

?

) (D){x|x?1}

?x ? 3<x<1? ? ?

(B)

?x1<x<2?

(C){x|x?-3}

解:集合 A= x 2 x ? 1 3 ={x|x?1} ,借助数轴易得选 A < 4. (福建卷)已知全集 U=R,且 A={x︱︱x-1︱>2},B={x︱x -6x+8<0} ,则( U A)∩B 等 于( ) B. (2,3) C. (2,3) D.(-1,4)
2

A.[-1,4]

5. (福建卷)已知全集 U=R,且 A={x︱︱x-1︱≤2},B={x︱x -6x+8<0} ,则 A∩B 等于 ( ) B. (2,3) C. (2,3) D.(-1,4)

2

A.[-1,4]

6. (湖北卷)集合 P={x」x -16<0},Q={x」x=2n,n ? Z},则 P ? Q=
2

A.{-2,2}
2

B.{-2,2,-4,4}

C.{2,0,2}

D.{-2,2,0,-4,4}

解:P={x|x -16<0}={x|-4?x?4} ,故 P ? Q={-2,0,2} ,故选 C 7. (湖南卷)设函数 f ( x) ? 则实数 a 的取值范围是 ( A.(-∞,1) B.(0,1)

x?a ,集合 M= {x | f ( x) ? 0} ,P= {x | f ' ( x) ? 0} ,若 M P, x ?1
)

C.(1,+∞)

D. [1,+∞)

解:设函数 f ( x) ?

x?a , 集合 M ? {x | f ( x) ? 0} ,若 a>1 时,M={x| 1<x<a};若 a<1 时 x ?1

84

M={x| a<x<1},a=1 时,M= ? ; P ? {x | f ?( x) ? 0} ,∴ f '( x) = 时,P={ x| x≠1 },a<1 时,P= ? ; 已知 M ? P ,所以选 C.

( x ? 1) ? ( x ? a) >0,∴ a>1 ( x ? 1) 2

8. (江苏卷)若 A、B、C 为三个集合, A ? B ? B ? C ,则一定有 (A) A ? C (B) C ? A (C) A ? C (D) A ? ?

9. (江西卷)已知集合 M={x| A.? B. {x|x?1}

x 2 ? 0} ,N={y|y=3x +1,x?R} ,则 M?N=( 3 (x-1)



C.{x|x?1} D. {x| x?1 或 x?0}

解:M={x|x?1 或 x?0} ,N={y|y?1}故选 C 10. (江西卷)已知集合 P ? x x ( x ? 1) ≥ 0 , Q ? ? x A. ? B. x x ≥ 1

?

?

?

1 ? ? 0? ,则 P ? Q 等于( ? x ?1 ?
D. x x ≥ 1或x ? ?



?

?

C. x x ? 1

?

?

?

?

解:P={x|x?1 或 x?0} ,Q={x|x?1}故选 C 17. (辽宁卷)设集合 A ? {1, 2},则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是 (A)1 (B)3 (C)4 (D)8

11. (全国卷 I)设集合 M ? x x ? x ? 0 , N ? x x ? 2 ,则
2

?

?

?

?

A. M ? N ? ?

B. M ? N ? M

C. M ? N ? M

D. M ? N ? R

解: M ? x x ? x ? 0 = {x | 0 ? x ? 1} , N ? x x ? 2 = {x | ?2 ?
2

?

?

?

?

x ? 2} ,

∴ M ? N ? M ,选 B. 12. (全国 II)已知集合 M={x|x<3} N={x|log2x>1} , ,则 M∩N= (A) ? (B) x|0<x<3} { (C) x|1<x<3} { (D) x|2<x<3} {

85

解析: N ? x log 2 x ? 1 ? x x ? 2 ,用数轴表示可得答案 D 13.(陕西卷)已知集合 P={x∈N|1≤x≤10},集合 Q={x∈R|x +x-6≤0}, 则 P∩Q 等于( ) A. {2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}
2

?

? ?

?

15. (四川卷) 已知集合 A ? x x ? 5 x ? 6 ? 0 , 集合 B ? x 2 x ? 1 ? 3 , 则集合 A ? B ?
2

?

?

?

?

(A) x 2 ? x ? 3 (C) x 2 ? x ? 3

? ?

? ?
2

(B) x 2 ? x ? 3

?

?
?

(D) x ?1 ? x ? 3

?

解:已知集合 A ? x x ? 5 x ? 6 ? 0 = {x | 2 ≤ x ≤ 3} ,集合 B ? x 2 x ? 1 ? 3 = {x | x ? 2或 x ? ?1} ,则集合 x 2 ? x ? 3 ,选 C.

?

?

?

?


?

?

16. (天津卷)已知集合 A ? x | ?3 ≤ x ≤1 , B ? x ≤ 2 ,则 A ? B ? ( A. x | ?2 ≤ x ≤1

?

?

?

?

?

? ?

B. x | 0 ≤ x ≤1 D. x |1≤ x ≤ 2

? ?

? ?

C. x | ?3 ≤ x ≤ 2

?

17. (浙江卷)设集合 A ? {x | ?1 ≤x≤2},B={x|0≤x≤4},则 A∩B= (A)[0,2] (B)[1,2] (C)[0,4] (D)[1,4]

【考点分析】本题考查集合的运算,基础题。 解析: A ? B ? ?0,2? ,故选择 A。 18.(重庆卷)已知集合 U={1,2,3,4,5,6,7}, A={2,4,5,7},B={3,4,5},则(uA)∪(uB)=

86

(A){1,6}

(B){4,5}

(C){1,2,3,4,5,7}

(D){1,2,3,6,7}

解析:已知集合 U ? ? ,2,3,4,5,6,7? A ? ?2,4,5,7? B ? ? ,4,5?,(uA) ={1,3,6},(uB) ={1, 1 , , 3 2,6,7},则(uA)∪(uB)={1,2,3,6,7},选 D.
1 ? ? ? ? 1 ? ? 19. (上海春) 若集合 A ? ? y y ? x 3 , ?1 ? x ? 1? , B ? ? y y ? 2 ? ,0 ? x ? 1? , A∩B 等于( 则 x ? ? ? ? ? ?

)

(A) ( ? ?, 1 ] .

(B) ? ? 1, 1 ? .

(C) ? .

(D) {1} .

二、填空题(共 3 题) 20. (山东卷)下列四个命题中,真命题的序号有 (写出所有真命题的序号).

①将函数 y= x ? 1 的图象按向量 v=(-1,0)平移,得到的图象对应的函数表达式为 y= x ②圆 x +y +4x+2y+1=0 与直线 y= ③若 sin( ? + ? )=
2 2

1 2

1 x 相交,所得弦长为 2 2 1 ,sin( ? - ? )= ,则 tan ? cot ? =5 3

④如图,已知正方体 ABCD- A1B1C1D1,P 为底面 ABCD 内一动点,

P 到平面 AA1D1D 的距离与到直线 CC1 的距离相等,则 P 点的轨迹是抛物线的一部分.

87

21.(上海卷)已知集合 A= { -1,3,2 m -1 } ,集合 B= { 3, m 2 } .若 B ? A,则实数 m = .

【2005 高考试题】 1.(全国卷Ⅰ)设 I 为全集, S1、S 2、S3 是 I 的三个非空子集,且 S1 ? S 2 ? S 3 ? I ,则 下面论断正确的是(C) (A) CI S1 ? S 2 ? S3) ? ( ? (C) CI S1 ? CI S 2 ? CI S 3) ? ? (B) S1 ? CI S2 ? CI S3) ( (D) S1 ? CI S2 ? CI S3) (
2

2.(北京卷)设全集 U=R,集合 M={x| x>1,P={x| x >1},则下列关系中正确的是(C) (A)M=P (B)P ? M (C)M ? P ( D) ? M ? P ? ? U

4、 (上海卷)已知集合 M ? ?x || x ? 1 |? 2, x ? R? , P ? ? x | 等于 (B) A. ?x | 0 ? x ? 3, x ? Z ? C. ?x | ?1 ? x ? 0, x ? Z ?

? ?

5 ? ? 1, x ? Z ? ,则 M ? P x ?1 ?

B. ?x | 0 ? x ? 3, x ? Z ? D. ?x | ?1 ? x ? 0, x ? Z ? 则 A∩B= (D)

5.(天津卷)设集合 A ? ?x 4x ? 1 ? 9, x ? R?, B ? ? x x ? 0, x ? R? , ? ? ? x?3 ? A. (?3,?2] B. ( ?3,?2] ? [0, ]

5 2

C. (?? ,?3] ? [ 5 ,?? ) 2

D. (?? ,?3) ? [ ,?? )

5 2

6. (天津卷)给出下列三个命题
88

①若 a ? b ? ?1 ,则 a ? b
1? a

1? b

②若正整数 m 和 n 满足 m ? n ,则 m(n ? m) ? n

2

③设 P( x1 , y1 ) 为圆 O1 : x 2 ? y 2 ? 9 上任一点,圆 O2 以 Q(a, b) 为圆心且半径为 1.当
(a ? x1 ) 2 ? (b ? y1 ) 2 ? 1 时,圆 O1 与圆 O2 相切

其中假命题的个数为 A.0 B.1 C.2

( B D.3



8. (福建卷)已知集合 P ?| x || x ? 1 |? 1, x ? R|, Q ? {x | x ? N}, 则P ? Q 等于(D) A.P B.Q C.{1,2} D.{0,1,2}

9. (福建卷)已知直线 m、n 与平面 ? , ? ,给出下列三个命题: ①若 m // ? , n // ? , 则m // n; ②若 m // ? , n ? ? , 则n ? m; ③若 m ? ? , m // ? , 则? ? ? . 其中真命题的个数是 ( C A.0 ) B.1 C.2 D.3

2 11.(广东卷)若集合 M ? x x ? 2 , N ? x x ? 3x ? 0 ,则 M ? N ? (B)

?

?

?

?

(A) ?3? (B) ?0? (C) ?0, 2? (D) ?0,3?
89

13.(湖北卷)设 P、Q 为两个非空实数集合,定义集合 P+Q= {a ? b | a ? P, b ? Q}, 若P ? {0,2,5}, Q ? {1,2,6} ,则 P+Q 中元素的个数是 ( B A.9 ) B.8 C.7 D.6

( ? 15.(江苏卷)设集合 A={1,2} ,B={1,2,3},C={2,3,4}则 A ? B) C ? (D )
( A ) {1,2,3} ( B ) {1,2,4} ( C ) {2,3,4} ( D ) {1,2,3,4}

16(江苏卷)设 ?,?,? 为两两不重合的平面,l,m,n 为两两不重合的直线,给出下列四个 命题: ① 若

? ? ?,? ? ?,则? // ?;




若 ④

m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? , 则? // ?;

若? // ? , l ? ? , 则l // ?;

若? ? ? ? l , ? ? ? ? m, ? ? ? ? n, l // ? , 则m // n.
其中真命题的个数是(B ) ( A ) 1 ( B ) 2 ( C ) 3 ( D )4

17. (江西卷) 设集合 I ? {x || x |? 3, x ? Z}, A ? {1,2}, B ? {?2,?1,2}, 则A ?( CI B )(D) =
90

A.{1}

B.{1,2}

C.{2}

D.{0,1,2}

19(辽宁卷)极限 lim f ( x ) 存在是函数 f (x) 在点 x ? x0 处连续的
x? x0

(B)

A.充分而不必要的条件 C.充要条件

B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

21. (浙江卷)设全集 U={1,2,3,4,5,6,7},P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6, 7},则 P∩ ? Uq=( A (A) {1,2} ) (C) {1,2,6,7} (D) {1,2,3,4,5}

(B) (3,4,5)

22. (浙江卷)设 ? 、 ? 为两个不同的平面,l、m 为两条不同的直线,且 l ? ? ,m ? ? , 有如下的两个命题:①若 ? ∥ ? ,则 l∥m;②若 l⊥m,则 ? ⊥ ? . 那么 ( D ) (B) ①是假命题,②是真命题 (D) ①②都是假命题
?

(A) ①是真命题,②是假命题 (C) ①②都是真命题

23. (浙江卷)设 f(n)=2n+1(n∈N),P={1,2,3,4,5},Q={3,4,5,6,7},记 P = {n∈N|f(n)∈P}, Q ={n∈N|f(n)∈Q},则( P ∩ ?N Q )∪( Q ∩ ?N P )=( A (A) {0,3} (B){1,2} (C) (3,4,5) (D){1,2,6,7}
?

?

?

?

?

)

24. (湖南卷)设全集 U={-2,-1,0,1,2},A={-2,-1,0},B={0,1,2},则( UA) ∩B= (C)
91

A.{0}

B.{-2,-1}

C.{1,2}

D. {0,1,2} ”

25.湖南卷) ( 设集合 A= x| { 的( A ) A.充分不必要条件 C.充要条件

x ?1 <0 } , {x || x -1|<a } , B= 若“a=1”是“A∩B≠ x ?1

B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

填空题: 1. (福建卷)把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题: 若函数 f ( x) ? 3 ? log2 x 的图象与 g (x) 的图象关于 。 对称,则函数 g (x) =

(注:填上你认为可以成为真命题的一件情形即可,不必考虑所有可能的情形). .如 ①x 轴,-3-log2x ②y 轴,3+log2(-x)
x-3

③原点,-3-log2(x) ④直线 y=x, 2

【2004 高考试题】 1.(江苏 2004 年 5 分)设集合 P={1,2,3,4},Q={x||x|≤2,x∈R},则 P∩Q 等于【 (A){1,2} 【答案】A。
92



(B) {3,4}

(C) {1}

(D) {-2,-1,0,1,2}

【分析】先求出集合 P 和 Q,然后再求 P∩Q: ∵P={1,2,3,4},Q={x||x|≤2,x∈R}={-2≤x≤2,x∈R}={1,2}, ∴P∩Q={1,2}。故选 A。 2.(江苏 2004 年 5 分)设函数 f ( x) ? ? N={ y y ? f ( x), x ? M }, 则使 M=N 成立的实数对( a , b )有【 (A)0 个 (B)1 个 】 (C)2 个 (D)无数多个
x ( x ? R ) ,区间 M=[ a , b ]( a < b ),集合 1? x

3.(2004.全国理)设 A、B、I 均为非空集合,且满足 A ? B ? I,则下列各式中错误的是 .. ( A.( B )
I

A)∪B=I
I

B.( D.(

I

A)∪( A)∪(

I

B)=I B)=
2
I

C.A∩(

B)= ?

I

I

B

4. (2004.湖北理)设集合 P ? {m | ?1 ? m ? 0}, Q ? {m ? R | mx ? 4mx ? 4 ? 0 对任意实 数 x 恒成立},则下列关系中成立的是 A.P Q B.Q P C.P=Q ( A )

D.P ? Q=

93

5. (2004. 福建理)命题 p:若 a、b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件; 命题 q:函数 y= | x ? 1 | ?2 的定义域是(-∞,-1 ] ∪[3,+∞ ) .则( D A.“p 或 q”为假 C.p 真 q 假 B.“p 且 q”为真 D.p 假 q 真 )

7、 (2004. 人教版理科)设集合 M ? ?x, y ? x ? y ? 1, x ? R, y ? R ,
2 2

?

?

N ? ?x, y ? x 2 ? y ? 0, x ? R, y ? R ,则集合 M ? N 中元素的个数为(
A、1 B、2 C、3
2

?

?



D、4
2

8.(2004. 四川理)已知集合 M={x|x <4},N={x|x -2x-3<0},则集合 M∩N=( C ) A {x|x<-2} 【2003 高考试题】 一、选择题 1.(2003 京春理,11)若不等式|ax+2|<6 的解集为(-1,2) ,则实数 a 等于( A.8 B.2 C.-4 D.-8 ) B {x|x>3} C {x|-1<x<2} D {x|2<x<3}

3.(2002 北京,1)满足条件 M∪{1}={1,2,3}的集合 M 的个数是( A.4 B.3 C.2

) D.1

4.(2002 全国文 6,理 5)设集合 M={x|x= 则( ) B.M N
94

k 1 k 1 ? ,k∈Z},N={x|x= ? ,k∈Z}, 2 4 4 2

A.M=N

C.M N

D.M∩N= ?

5.(2002 河南、广西、广东 7)函数 f(x)=x|x+a|+b 是奇函数的充要条件是( A.ab=0 B.a+b=0 C.a=b D.a +b =0
2 2



7.(2000 北京春,2)设全集 I={a,b,c,d,e},集合 M={a,b,c},N={b,d,e},那么
I

M∩

I

N 是(

) B.{d} C.{a,c} D.{b,e}

A. ?

8.(2000 全国文,1)设集合 A={x|x∈Z 且-10≤x≤-1} B={x|x∈B 且|x| , ≤5} ,则 A∪B 中元素的个数是( A.11 B.10 ) C.16
2 2

D.15 )

9. 2000 上海春, “a=1”是“函数 y=cos ax-sin ax 的最小正周期为 π ”的 ( 15) ( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既非充分条件也非必要条件

12.(1998 上海,15)设全集为 R,A={x|x -5x-6>0} B={x||x-5|<a} a 为常 , ( 数) ,且 11∈B,则( A. C.
R

2

) B.A∪
R

A∪B=R A∪
R

B=R

R

B=R

D.A∪B=R
2

13.(1997 全国,1)设集合 M={x|0≤x<2} ,集合 N={x|x -2x-3<0} ,集合 M∩ N等于( ) B.{x|0≤x<2 }
95

A.{x|0≤x<1 }

C.{x|0≤x≤1}

D.{x|0≤x≤2}

15.(1996 上海,1)已知集合 M={ x,y)|x+y=2} N={ x,y)|x-y=4} ( , ( , 那么集合 M∩N 为( A.x=3,y=-1 C.{3,-1} ) B.(3,-1) D.{(3,-1)}

16.(1996 全国文,1)设全集 I={1,2,3,4,5,6,7} ,集合 A={1,3,5,7} ,

B={3,5} ,则(
A.I=A∪B C.I=A∪
I

) B.I=
I

A∪B A∪
I

B

D.I=

I

B

19. (1995 上海, 如果 P= x| x-1) x-5) } , = x|0<x<10} 那么 2) { ( (2 <0 Q { , ( A.P∩Q= ? C.P Q B.P Q D.P∪Q=R



20.(1995 全国文,1)已知全集 I={0,-1,-2,-3,-4} ,集合 M={0,-1,

96

-2} N={0,-3,-4} , ,则 A.{0} C.{-1,-2}

I

M∩N 等于(

) B.{-3,-4} D. ?

22.(1995 上海,9)“ab<0”是“方程 ax +by =c 表示双曲线”的( A.必要条件但不是充分条件 C.充分必要条件

2

2



B.充分条件但不是必要条件 D.既不是充分条件又不是必要条件

23.(1994 全国,1)设全集 I={0,1,2,3,4} ,集合 A={0,1,2,3} ,集合 B ={2,3,4} ,则 A.{0} C.{0,1,4}
I

A∪

I

B 等于(

) B.{0,1} D.{0,1,2,3,4}

二、填空题 25.(2003 上海春,5)已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且 A B,则实数

a 的取值范围是_____.
26.(2002 上海春,3)若全集 I=R,f(x) g(x)均为 x 的二次函数,P={x|f(x)< 、 0},Q={x|g(x)≥0},则不等式组 ?

? f ( x) ? 0 的解集可用 P、Q 表示为_____. ? g ( x) ? 0

27.(2001 天津理,15)在空间中 ①若四点不共面,则这四点中任何三点都不共线; ②若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线. 以上两个命题中,逆命题为真命题的是_____.

97

29.(1999 全国,18)α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直 线,给出四个论断: ①m⊥n ②α ⊥β ③n⊥β ④m⊥α

以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题: _____. .. 三、解答题

?x 2 ? 6x ? 8 ? 0 ? 30.(2003 上海春,17)解不等式组 ? x ? 3 . ? x ?1 ? 2 ?

●答案解析 1.答案:C 解析:∵|ax+2|<6,∴-6<ax+2<6,-8<ax<4 当 a>0 时,有 ?

8 4 ? x ? ,而已知原不等式的解集为(-1,2) ,所以有: a a

?4 ?a ? 2 ? .此方程无解(舍去). ? 8 ? ? ? ?1 ? a ?

98

? 8 ?? a ? 2 8 4 ? 当 a<0 时,有 ? ? x ? ,所以有 ? a a ? 4 ? ?1 ?a ?

2.答案:C 解析:依题意可得 ? 3.答案:C 解析:M={2,3}或 M={1,2,3} 评述:因为 M ? {1,2,3},因此 M 必为集合{1,2,3}的子集,同时含元素 2,3.

?? 1 ? x ? 1 ,可得 0<x<1. ?0 ? x ? 3

5.答案:D 解析:若 a +b =0,即 a=b=0 时,f(-x)=(-x)|x+0|+0=-x|x|=-f(x) ∴a +b =0 是 f(x)为奇函数的充分条件. 又若 f(x)为奇函数即 f(-x)=-x|(-x)+a|+b=-(x|x+a|+b) ,则 必有 a=b=0,即 a +b =0,∴a +b =0 是 f(x)为奇函数的必要条件. 6.答案:C 解析:当 a=3 时,直线 l1:3x+2y+9=0,直线 l2:3x+2y+4=0
99
2 2 2 2 2 2 2 2

显然 a=3 ? l1∥l2.

5}共有 16 个元素. 9.答案:A 解析:若 a=1,则 y=cos x-sin x=cos2x,此时 y 的最小正周期为 π ,故 a=1 是充分条 件. 而由 y=cos ax-sin ax=cos2ax,此时 y 的周期为 ∴a=±1,故 a=1 不是必要条件. 评述:本题考查充要条件的基本知识,难点在于周期概念的准确把握.
2 2 2 2

2? =π , | 2a |

11.答案:C 解析:由图知阴影部分表示的集合是 M∩P 的子集且是
I

S 的子集,故答案为C.

评述:本题源于课本,属送分题,是前几年高考题的回归. 12.答案:D 解析:由已知 A={x|x>6 或 x<-1},B={x|5-a<x<5+a},而 11∈B, ∴?

?5 ? a ? 11 ? a>6. 5 ? a ? 11 ?

此时:5-a<-1,5+a>6,∴A∪B=R. 评述:本题考查集合基本知识,一元二次不等式、绝对值不等式的解法及分析问题解决 问题的能力.
100

13.答案:B 解析:方法一:N={x|x -2x-3<0}={x|-1<x<3} ,所以 M∩N={x|0≤x <2} ,故选 B.
2

14.答案:B 解析: 故
R R

M={x|x>1+ 2 ,x∈R},又 1+ 2 <3.

M∩N={3,4}.故选 B.

15.答案:D 解析: 方法一:解方程组 ?

? x ? y ? 2, ? x ? 3, 得? 故 M∩N={ (3,-1),所以选 D. } ? x ? y ? 4, ? y ? ?1.

方法二:因所求 M∩N 为两个点集的交集,故结果仍为点集,显然只有 D 正确. 评述:要特别理解集合中代表元素的意义,此题迎刃而解.

17.答案:C 解析: 方法一: IA 中元素是非 2 的倍数的自然数, IB 中元素是非 4 的倍数的自然数, 显然,只有C选项正确. 方法二:因 A={2,4,6,8?} B={4,8,12,16,?} , , 所以 为C. 图 1—4
101
I

B={1,2,3,5,6,7,9?} ,所以 I=A∪

I

B,故答案

方法三:因 B A,所以

I

A

I

B,

I

A∩

I

B=

I

A,故 I=

A∪

I

A=A∪

I

B.

方法四:根据题意,我们画出文氏图 1—4 来解,易知 B A,如图:可以清楚看到 I=

A∪

I

B 是成立的.

评述:本题考查对集合概念和关系的理解和掌握,注意数形结合的思想方法,用无限集 考查,提高了对逻辑思维能力的要求.

19.答案:B 解析:由集合 P 得 1<x< 20.答案:B 解析:由已知
I

5 ,由集合 Q 有 0<x<10.利用数轴上的覆盖关系,易得 P Q. 2

M={-3,-4},∴

I

M∩N={-3,-4}.

22.答案:A

c c x2 y2 解析: 如果方程 ax +by =c 表示双曲线, 即 因此有 ? ? 0 , ? ? 1 表示双曲线, c c a b a b
2 2

即 ab<0.这就是说“ab<0”是必要条件;若 ab<0,c 可以为 0,此时,方程不表示双曲线, 即 ab<0 不是充分条件.
102

评述:本题考查充要条件的推理判断和双曲线的概念.

解析:∵A={x|-2≤x≤2},B={x|x≥a},又 A ? B,利用数轴上覆盖关系:如图 1—7 因此有 a≤-2. 评述:本题主要考查集合的概念和集合的关系. 图 1—7 26.答案:P∩
I

Q Q,因此 ?

解析:∵g(x)≥0 的解集为 Q,所以 g(x)<0 的解集为

I

? f ( x) ? 0 的解集 g ( x) ? 0 ?

为 P∩

I

Q.

评述:本题以不等式为载体,重点考查集合的补集、交集的概念及其运算,活而不难. 27.答案:②

103

28.答案:P∩

I

Q
I

解析:阴影部分为

Q(如图 1—8)
I

显然,所求表达式为 或
I

Q∩P= ? ,

Q∩(Q∩P)或

I

Q∩(Q∪P)= ? .

评述:本题考查集合的关系及运算. 29.答案:m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β

?m⊥n,或 m⊥n,m⊥α



n⊥β



⊥β .(二者任选一个即可)

反过来,如果②、③、④成立,与上面证法类似可得①成立.

30.解:由 x -6x+8>0,得(x-2) x-4)>0,∴x<2 或 x>4. ( 由

2

x?3 ? x?5 >2,得 >0,∴1<x<5. x ?1 x ?1

∴原不等式组的解是 x∈(1,2)∪(4,5) 评述:本题主要考查二次不等式、分式不等式的解法.

104

31.解:由已知 log 1 (3-x)≥log 1 4,因为 y=log 1 x 为减函数,所以 3-x≤4.
2 2 2

由?

?3 ? x ? 4 ,解得-1≤x<3.所以 A={x|-1≤x<3}. ?3 ? x ? 0



5 5 ? ( x ? 2) 3? x ?0? ?2 ≥1 可化为 x?2 x?2 x?2

?( x ? 3)( x ? 2) ? 0 解得-2<x≤3,所以 B={x|-2<x≤3}. ? x?2?0 ?
于是
R

A={x|x<-1 或 x≥3}.故

R

A∩B={x|-2<x<1 或 x=3}

2013 年高考数学分类汇编(1)
一、选择题 1 . (2012 年高考(辽宁文) 已知 sin ? ? cos ? )

三角函数


? 2 , ? ?(0,π ),则 sin 2? = (
2 2
D.1

A. ? 1

B. ?

2 2

C.

2 . (2012 年高考(浙江文理) 把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 )

倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

105

3 . (2012 年高考(天津文) 将函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 的图像向右平移 )

所得图像经过点 ( A.

3? , 0) ,则 ? 的最小值是 4
B.1 C.

? 个单位长度, 4
( )

1 3

5 3

D.2

4 . (2012 年高考(四川文) 如图,正方形 ABCD 的边长为 1 ,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连 )

接 EC 、 ED 则 sin ?CED ? A.

( C.


D C

3 10 10

B.

10 10

5 10

D.

5 15
E A B

??x ? ? ? ? (0 ? x ? 9) 的最大值与最小值 5 . (2012 年高考(山东文) 函数 y ? 2sin ? ) 3? ? 6

之和为 A. 2 ? 3 B.0 C.-1 D. ?1 ? 3





6 . 2012 年 高 考 ( 课 标 文 ) 已 知 ? >0, 0 ? ? ? ? , 直 线 ( )

x=

5? ? 和x= 是函数 4 4
( )

f ( x) ? sin(? x ? ? ) 图像的两条相邻的对称轴,则 ? =
π A. 4 π B. 3 π C. 2 3π D. 4

7. (2012 年高考(福建文) 函数 f ( x ) ? sin( x ? )

?
4

) 的图像的一条对称轴是





A. x ?

?
4

B. x ?

?
2

C. x ? ?

?
4

D. x ? ?

?
2


8. (2012 年高考(大纲文) 若函数 f ( x) ? sin )

A.

? 2

B.

2? 3

x ?? (? ? ? 0, 2? ?) 是偶函数,则 ? ? ( 3 3? 5? C. D. 2 3

9. (2012 年高考(安徽文) 要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图 )

106

象 A.向左平移 1 个单位 C.向左平移

( B.向右平移 1 个单位 D.向右平移



1 个单位 2

1 个单位 2

10 . (2012 年高考 (新课标理) 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? )

?

则 ? 的取值范围是 A. [ , ]

) 在 ( , ? ) 上单调递减. 2 4
( ) D. (0, 2]

?

1 5 2 4

B. [ , ]

1 3 2 4

C. (0, ]

1 2

二、解答题 11. (2012 年高考(重庆文) (本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)设函数 )

f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )在 x ?
象与轴的相邻两个交点的距离为

?
6

处取得最大值 2,其图

? (I) 求 f ( x ) 的 解 析 式 ; (II) 求 函 数 2

g ( x) ?

6 cos 4 x ? sin 2 x ? 1 f (x ? ) 6

?

的值域.

12. (2012 年高考 (陕西文) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? )

?
6

) ?1 ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其

图像相邻两条对称轴之间的距离为 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 ? ? (0,

? , 2

?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值. 2 2

?

107

参考答案
一、选择题 1.

【答案】A 【解析】?sin ? ? cos ? ? 2,?(sin ? ? cos ? )2 ? 2,?sin 2? ? ?1, 故选 A

【点评】本题主要考查三角函数中的倍角公式以及转化思想和运算求解能力,属于容易 题. 2. 【答案】A 【命题意图】 本题主要考查了三角函数中图像的性质,具体考查了在 x 轴上的伸缩变换, 在 x 轴、y 轴上的平移变化,利用特殊点法判断图像的而变换. 【解析】 由题意,y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 即 解 析 式 为 y=cosx+1,向 左 平 移 一 个 单 位为 y=cos(x-1)+1,向 下 平 移 一个 单 位 为 y=cos(x-1),利用特殊点 ?
3. 【解析】函数向右平移

?? ? ?? ? , 0 ? 变为 ? ? 1,0 ? ,选 A. ?2 ? ?2 ?

? ? ? ?? ), 得到函数 g ( x) ? f ( x ? ) ? sin ? ( x ? ) ? sin(?x ? 4 4 4 4 3? 3? ? 3? ? ?? ,0) ,所以 sin ? ( ? ) ? 0 ,即 ? ( ? )? ? k? , 所以 因为此时函数过点 ( 4 4 4 4 4 2

? ? 2k , k ? Z ,所以 ? 的最小值为 2,选 D.
4.

[答案]B

[解析]? AE ? 1,正方形的边长也为? ED ? 1
2 EC ? ( EA ? AB) ? CB ? 5 2

AE ? AD ? 2
2 2

CD ? 1 ? cos?CED ? ED ? EC - CD
2 2 2

2 ED ? EC

?

3 10 10

sin ?CED ? 1 ? cos2 ?CED ?
2 2

10 10

[点评]注意恒等式 sin α +cos α =1 的使用,需要用 α 的的范围决定其正余弦值的正负 情况.
5.

解析:由 0 ? x ? 9 可知 ?

?
3

?

?
6

x?

?
3

?

7? ,可知 6

? ? 3 ??x ? ? sin( x ? ) ? [? ,1] ,则 y ? 2sin ? ? ? ? [? 3, 2] , 3? ? 6 6 3 2
则最大值与最小值之和为 2 ? 3 ,答案应选 A.
6.

【命题意图】本题主要考查三角函数的图像与性质,是中档题.

108

? ? ? 5? ? ? ,∴ ? =1,∴ ? ? = k ? ? ( k ? Z ), = 4 2 ? 4 4 ? ? ∴ ? = k ? ? ( k ? Z ),∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? = ,故选 A. 4 4
【解析】由题设知,
7. 【答案】C

【解析】把 x ? ?

?
4

代入后得到 f ( x) ? ?1 ,因而对称轴为 x ? ?

?
4

,答案 C 正确.

【考点定位】此题主要考查三角函数的图像和性质,代值逆推是主要解法. 8.答案 C 【命题意图】本试题主要考查了偶函数的概念与三角函数图像性质,. 【解析】由 f ( x) ? sin

x ?? (? ? ? 0, 2? ?) 为偶函数可知, y 轴是函数 f ( x) 图像的对称 3 ?

轴 , 而 三 角 函 数 的 对 称 轴 是 在 该 函 数 取 得 最 值 时 取 得 , 故

f (0) ? sin
时, ? ?

?
3

? ?1 ?

?
3

?
2

? k? ? ? ?

3? ,故选答案 C. 2

3? ? 3k? (k ? Z ) ,而 ? ??0, 2? ? ,故 k ? 0 2

9. 【解析】选 C

y ? cos 2 x ? y ? cos(2 x ? 1) 左+1,平移

1 2

10、 【解析】选 A

? 5? 9? ? ? 2 ? (? x ? ) ? [ , ] 不合题意 排除 ( D)

? ? ? ? ? 3? ) ? ? ? ? ? 2 , (? x ? ) ? [ ? ? , ?? ? ] ? [ , ] 2 4 2 4 4 2 2 ? ? ? ? 3? 1 5 ? ?? ? 得: ? ? ? , ?? ? ? 2 4 2 4 2 2 4
另: ? (? ?

4 4 3? 5? ? ? 1 ? (? x ? ) ? [ , ] 合题意 排除 ( B)(C ) 4 4 4

?

4

?

二、 11. 【答案】:(Ⅰ) ? ?

?
6

(Ⅱ) [1, ) ? ( , ]

7 4

7 5 4 2

109

1 1 (cos 2 x ? ) 因 cos2 x ?[0,1] ,且 cos 2 x ? 2 2 7 7 5 故 g ( x) 的值域为 [1, ) ? ( , ] 4 4 2 ?
12. 解析:(1)∵函数 f ( x ) 的最大值为 3,∴ A ? 1 ? 3, 即 A ? 2

3 cos 2 x ? 1 2

? ,∴最小正周期为 T ? ? 2 ? ∴ ? ? 2 ,故函数 f ( x ) 的解析式为 y ? sin(2 x ? ) ? 1 6 ? ? (2)∵ f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 1 ? 2 2 6 ? 1 即 sin(? ? ) ? 6 2 ? ? ? ? ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ? ? ? 2 6 6 3 ? ? ? ∴ ? ? ? ,故 ? ? 3 6 6
∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为

导数及其应用
考点一 导数的几何意义
π sinx 1 例 1 [2011· 湖南卷] 曲线 y= - 在点 M?4,0?处的切线的斜率为( ) ? ? sinx+cosx 2 1 1 2 2 A.- B. C.- D. 2 2 2 2 【答案】B sinx 1 【解析】 对 y= - 求导得到: sinx+cosx 2 cosx?sinx+cosx?-sinx?cosx-sinx? 1 y′= = , 2 ?sinx+cosx? ?sinx+cosx?2 π 1 1 ? 当 x= ,得到 y′?x=π = = . 4 2 2?2 2 ? 4 ? + 2? ?2 例 2 [2011· 山东卷] 曲线 y=x3+11 在点 P(1,12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( ) A.-9 B.-3 C.9 D.15 【答案】C 【解析】 因为 y′=3x2,所以 k=y′|x=1=3,所以过点 P(1,12)的切线方程为 y-12=3(x- 1),即 y=3x+9,所以与 y 轴交点的纵坐标为 9.
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考点二 导数的运算
例 3 [2011· 江西卷] 若 f(x)=x2-2x-4lnx,则 f′(x)>0 的解集为( )

110

A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0) 【答案】C 4 2?x-2??x+1? 【解析】 方法一:令 f′(x)=2x-2- = >0,又∵f(x)的定义域为{x|x>0}, x x ∴(x-2)(x+1)>0(x>0),解得 x>2.故选 C. 4 方法二:令 f′(x)=2x-2- >0,由函数的定义域可排除 B、D,取 x=1 代入验证,可排除 x A,故选 C. 例 4 [2011· 辽宁卷] 函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x +4 的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 【答案】B 【解析】 设 G(x)=f(x)-2x-4,所以 G′(x)=f′(x)-2,由于对任意 x∈R,f′(x)>2,所 以 G′(x)=f′(x)-2>0 恒成立,所以 G(x)=f(x)-2x-4 是 R 上的增函数,又由于 G(-1) =f(-1)-2?(-1)-4=0,所以 G(x)=f(x)-2x-4>0,即 f(x)>2x+4 的解集为(-1,+∞), 故选 B.

考点三 利用导数研究函数的单调性
例 5[2011· 广东卷] 设 a>0,讨论函数 f(x)=lnx+a(1-a)x2-2(1-a)x 的单调性. 【解答】 函数 f(x)的定义域为(0,+∞). 2a?1-a?x2-2?1-a?x+1 f′(x)= , x

?a-1??3a-1? 1 x2= + <0, 2a 2a?1-a? 所以 f′(x)在定义域内有唯一零点 x1, 且当 0<x<x1 时,f′(x)>0,f(x)在(0,x1)内为增函数;当 x>x1 时,f′(x)<0,f(x)在(x1, +∞)内为减函数. f(x)的单调区间如下表: 1 1 a>1 0<a< ≤a≤1 3 3 (0,x1) (x1,x2) (x2,+∞) (0,+∞) (0,x1) (x1,+∞) ? ? ? ? ? ? ?a-1??3a-1? ?a-1??3a-1? 1 1 (其中 x1= - ,x2= + ) 2a 2a 2a?1-a? 2a?1-a? 例 6 [2011· 福建卷] 已知 a,b 为常数,且 a≠0,函数 f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=
111

2.71828?是自然对数的底数). (1)求实数 b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)当 a=1 时,是否同时存在实数 m 和 M(m<M),使得对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 1 与曲线 y=f(x)?x∈?e,e??都有公共点?若存在,求出最小的实数 m 和最大的实数 M;若不 ? ? ?? 存在,说明理由. 【解答】 (1)由 f(e)=2 得 b=2. (2)由(1)可得 f(x)=-ax+2+axlnx. 从而 f′(x)=alnx. 因为 a≠0,故: ①当 a>0 时,由 f′(x)>0 得 x>1,由 f′(x)<0 得 0<x<1; ②当 a<0 时,由 f′(x)>0 得 0<x<1,由 f′(x)<0 得 x>1. 综上,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1); 当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞). (3)当 a=1 时,f(x)=-x+2+xlnx,f′(x)=lnx. 1 由(2)可得,当 x 在区间? e,e?内变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: ? ? 1 ?1,1? x 1 e (1,e) e ?e ? 0 f′(x) - + 2 f(x) 2 2- 单调递减 极小值 1 单调递增 e 1 2 又 2- <2,所以函数 f(x)(x∈? e,e?)的值域为[1,2]. ? ? e
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? ?m=1, 1 据此可得,若? 相对每一个 t∈[m,M],直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈?e,e??都有公 ? ? ?? ? ?M=2 共点; 1 并且对每一个 t∈(-∞, m)∪(M, +∞), 直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈?e,e??都没有公共点. ? ? ?? 综上,当 a=1 时,存在最小的实数 m=1,最大的实数 M=2,使得对每一个 t∈[m,M], 1 直线 y=t 与曲线 y=f(x)?x∈?e,e??都有公共点. ? ? ?? ex 例 7[2011· 安徽卷] 设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 2 x1+ax -2ax 【解答】 对 f(x)求导得 f′(x)=e .① ?1+ax2?2 4 3 1 (1)当 a= 时,若 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0,解得 x1= ,x2= . 3 2 2 结合①可知 1 3 ?-∞,1? ?1,3? ?3,+∞? x 2? 2 2 ? ?2 2? ?2 ? 0 0 f′(x) + - + f(x) ? ? ? 极大值 极小值 3 1 所以,x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上不变号,结合①与条件 a>0,知 ax2-2ax +1≥0 在 R 上恒成立,因此 Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合 a>0,知 0<a≤1.

112

【解题技巧点睛】单调性是函数的最重要的性质,函数的极值、最值等问题的解决都离不开 函数的单调性, 含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、 分类讨论的良好 素材. 函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点. 函数单调性的讨 论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论,对一元二次不等式,在二次项系 数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论, 即分类讨论的标 准是先二次项系数、再根的大小.对于在指定区间上不等式的恒成立问题,一般是转化为函 数最值问题加以解决, 如果函数在这个指定的区间上没有最值, 则可转化为求函数在这个区 间上的值域,通过值域的端点值确定问题的答案.

考点四 利用导数研究函数的极值问题
例 8 [2011· 安徽卷] 函数 f(x)=axm(1-x)n 在区间[0,1]上的图像如图 1-2 所示,则 m,n 的值 可能是( )

A.m=1,n=1 B.m=1,n=2 C.m=2,n=1 D.m=3,n= 1 【答案】B 1 【解析】 由图可知 a>0.当 m=1,n=1 时,f(x)=ax(1-x)的图像关于直线 x= 对称,所以 2 A 不可能; 当 m=1,n=2 时,f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x), f′(x)=a(3x2-4x+1)=a(3x-1)(x-1), 1 所以 f(x)的极大值点应为 x= <0.5,由图可知 B 可能. 3 当 m=2,n=1 时,f(x)=ax2(1-x)=a(x2-x3), f′(x)=a(2x-3x2)=-ax(3x-2), 2 所以 f(x)的极大值点为 x= >0.5,所以 C 不可能; 3 当 m=3,n=1 时,f(x)=ax3(1-x)=a(x3-x4), f′(x)=a(3x2-4x3)=-ax2(4x-3), 3 所以 f(x)的极大值点为 x= >0.5,所以 D 不可能,故选 B. 4 例 9[2011· 浙江卷] 设函数 f(x)=(x-a)2lnx,a∈R. (1)若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a; (2)求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈(0,3e],恒有 f(x)≤4e2 成立. 注:e 为自然对数的底数.

113

从而,当 x∈(0,x0)时,f′(x)>0;当 x∈(x0,a)时,f′(x)<0;当 x∈(a,+∞)时,f′(x) >0,即 f(x)在(0,x0)内单调递增,在(x0,a)内单调递减,在(a,+∞)内单调递增. 所以要使 f(x)≤4e2 对 x∈(1,3e]恒成立,只要 ?f?x0?=?x0-a?2lnx0≤4e2,?1? ? ? 成立. 2 2 ? ?f?3e?=?3e-a? ln?3e?≤4e ?2? a 由 h(x0)=2lnx0+1- =0,知 x0 a=2x0lnx0+x0.(3) 将(3)代入(1)得 4x2ln3x0≤4e2.又 x0>1,注意到函数 x2ln3x 在[1,+∞)内单调递增,故 0 1<x0≤e.再由(3)以及函数 2xlnx+x 在(1,+∞)内单调递增,可得 1<a≤3e. 2e 2e 由(2)解得,3e- ≤a≤3e+ , ln?3e? ln?3e? 2e 所以 3e- ≤a≤3e. ln?3e? 2e 综上,a 的取值范围 3e- ≤a≤3e. ln?3e?
【解题技巧点睛】 函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本, 函数的单调递增区间和单调递 减区间的分界点就是函数的极值点, 在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的 极值点把函数的定义域区间进行分段,在各个段上研究函数的导数的符号,确定函数的单调性, 也确定了函数的极值点,这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则.
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考点四 利用导数研究函数的最值问题
x 例 10[2011· 北京卷] 已知函数 f(x)=(x-k)2e . k (1)求 f(x)的单调区间; 1 (2)若对于任意的 x∈(0,+∞),都有 f(x)≤ ,求 k 的取值范围. e 1 2 2 x 【解答】 (1)f′(x)= (x -k )e . k k
114

令 f′(x)=0,得 x=± k. 当 k>0 时,f(x)与 f′(x)的情况如下: x k (-∞,-k ) -k (-k,k) (k,+∞) 0 0 f′(x) + - + - f(x) ? ? 0 ? 4k2e 1 所以,f(x)的单调递增区间是(-∞,-k)和(k,+∞);单调递减区间是(-k,k). 当 k<0 时,f(x)与 f′(x)的情况如下: x k (-∞,k) (k,-k) -k (-k,+∞) 0 0 f′(x) - + - 2 -1 f(x) ? 0 ? ? 4k e 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k)和(-k,+∞);单调递增区间是(k,-k). k+1 1 1 (2)当 k>0 时,因为 f(k+1)=e > ,所以不会有?x∈(0,+∞),f(x)≤ . k e e 4k2 当 k<0 时,由(1)知 f(x)在(0,+∞)上的最大值是 f(-k)= . e 1 4k2 1 所以?x∈(0,+∞),f(x)≤ ,等价于 f(-k)= ≤ . e e e 1 解得- ≤k<0. 2 1 1 故当?x∈(0,+∞),f(x)≤ 时,k 的取值范围是?-2,0?. ? ? e 1 3 1 2 例 11 [2011· 江西卷] 设 f(x)=- x + x +2ax. 3 2 2 (1)若 f(x)在?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; ? ? 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 1 1 【解答】 (1)由 f′(x)=-x2+x+2a=-?x-2?2+ +2a, ? ? 4

考点六 利用导数与不等式相联系
alnx b 例 12 [2011· 课标全国卷] 已知函数 f(x)= + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+1 x x+2y-3=0. (1)求 a,b 的值; lnx k (2)如果当 x>0,且 x≠1 时,f(x)> + ,求 k 的取值范围. x-1 x
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x+1 ? a? ? x -lnx? b 【解答】 (1)f′(x)= - 2, x ?x+1?2

?f?1?=1, ? 1 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为- ,且过点(1,1),故? 1 2 ? ?f′?1?=-2,
解得 a=1,b=1.

?b=1, ? 即?a 1 ? ?2-b=-2,

lnx 1 (2)由(1)知 f(x)= + ,所以 x+1 x lnx k ?k-1??x2-1?? 1 ? f(x)-?x-1+x?= 2lnx+ x ? ? 1-x2? ?. ?k-1??x2-1? 考虑函数 h(x)=2lnx+ (x>0), x ?k-1??x2+1?+2x 则 h′(x)= . x2 2 k?x +1?-?x-1?2 ①设 k≤0,由 h′(x)= 知, x2 当 x≠1 时,h′(x)<0,而 h(1)=0, 1 故当 x∈(0,1)时,h(x)>0,可得 h(x)>0; 1-x2 1 当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0,可得 h(x)>0. 1-x2 lnx k 从而当 x>0,且 x≠1 时,f(x)-?x-1+x?>0, ? ? lnx k 即 f(x)> + . x-1 x 1 ②设 0<k<1, 由于当 x∈?1,1-k?时, (k-1)(x2+1)+2x>0, h′(x)>0, h(1)=0, 故 而 ? ? 1 1 故当 x∈?1,1-k?时,h(x)>0,可得 h(x)<0.与题设矛盾. ? ? 1-x2 1 ③设 k≥1,此时 h′(x)>0,而 h(1)=0,故当 x∈(1,+∞)时,h(x)>0,可得 h(x) 1-x2 <0,与题设矛盾. 综合得,k 的取值范围为(-∞,0]. 例 13 [2011· 辽宁卷]已知函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. (1)讨论 f(x)的单调性; 1 1 1 (2)设 a>0,证明:当 0<x< 时,f?a+x?>f?a-x?; ? ? ? ? a ( 3)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A, 两点, B 线段 AB 中点的横坐标为 x0, 证明 f′(x0) <0. ?2x+1??ax-1? 1 【解答】 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),f′ (x)= -2ax+(2-a)=- . x x ①若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)单调增加. 1 1 1 ②若 a>0,则由 f′(x)=0 得 x= ,且当 x∈?0,a?时,f′(x)>0,当 x> 时,f′(x) ? ? a a 1? 1 <0.所以 f(x)在?0,a?单调增加,在?a,+∞?单调减少. ? ? ? 1 ? ?1 ? (2)设函 数 g(x)=f?a+x?-f?a-x?,则 ? g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax,
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a a 2a3x2 g′(x)= + -2a= . 1+ax 1-ax 1-a2x2 1 当 0<x< 时,g′(x)>0,而 g(0)=0,所以 g(x)>0. a 1 1 1 故当 0<x< 时,f?a+x?>f?a-x?. ? ? ? ? a (3)由(1)可得, a≤0 时, 当 函数 y=f(x)的图像与 x 轴至多有一个交点, a>0, 故 从而 f(x) ?1?,且 f?1?>0. 的最大值为 f?a? ?a? 1 不妨设 A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,则 0<x1< <x2. a 2 1 1 由(2)得 f?a-x1?=f?a+a-x1?>f(x1)=0. ? ? ? ? x1+x2 1 2 从而 x2> -x1,于是 x0= > . a 2 a 由(1)知,f′(x0)<0. 【解题技巧点睛】 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况, 基本的题 目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式), 研究不等式在一 个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围,研究含有指数式、对数式、三角函数式等超 越式的方程在某个区间上的根的个数等,这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力, 就需要根据导数的方法进行解决.使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函 数,通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值,根据函数的性质推断 不等式成立的情况以及方程实根的个数. 在高考题的大题中, 每年都要设计一道函数大题.因为导数的引入, 为函数问题的解决 提供了操作工具 .因此入手大家比较清楚,但是深入解决函数与不等式相结合的题目时,往 往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点,不清楚解决技巧.解题技巧总结如下: (1)树立服务意识:所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质(一般第一问先让解 决出来) ,如函数的单调性、最值等,服务于第二问要证明的不等式. (2)强化变形技巧:所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手,可 考虑对不等式进行必要的等价变形后,再去证明.例如采用两边取对数(指数) ,移项通分等 等.要注意变形的方向:因为要利用函数的性质,力求变形后不等式一边需要出现函数关系 式. (3)巧妙构造函数:所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征,构造函数,利用 函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样,注意积累经验,体现一个“巧妙”.

考点七 利用导数研究实际问题
例 14 [2011· 山东卷]某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米) ,其中容器 的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为

80? 立方米,且 3

l ? 2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3
千元,半球形部分每平方米建造费用为 c ( c ? 3 )千元.设该容器的 建造费用为 y 千元. (Ⅰ) 写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (Ⅱ) 求该容器的建造费用最小时的 r .
117

【解答】 (1)设容器的容积为 V, 4 80π 由题意知 V=πr2l+ πr3,又 V= , 3 3 4 3 V- πr 3 80 4 4 20 故 l= = 2- r= ? r2 -r?. ? πr2 3r 3 3? 由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 4 20 所以建造费用 y=2πrl?3+4πr2c=2πr? ? r2 -r??3+4πr2c, ? 3? 160π 2 因此 y=4π(c-2)r + ,0<r≤2. r 160π (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- 2 r 8π?c-2?? 3 20 ? r- = c-2?,0<r≤2. r2 ? 由于 c>3,所以 c-2>0, 3 20 20 当 r3- =0 时,r= . c-2 c-2 20 =m,则 m>0, c-2 8π?c-2? 所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2). r2 9 ①当 0<m<2 即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2]时,y′>0. 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2 即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2]时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 令 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2 【解题技巧点睛】利用导数解决生活中优化问题的一般步骤: 1.分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学 模型,写出实际问题中变量之间的函数关系 y=f(x),根据实际意义确定定义域; 2.求函数 y=f(x)的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0 得出定义域 内的实根,确定极值点; 3.比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小,获得所求的最大(小)值; 4.还原到原实际问题中作答. 3

考点八 微积分的应用
例 15 [2011· 福建卷] ?1(ex+2x)dx 等于( ?
0

)

A.1 B.e-1 C.e D.e+1 【答案】C 【解析】 因为 F(x)=ex+x2,且 F′(x)=ex+2x,则
118

? (e +2x)dx=(e +x )|0=(e+1)-(e +0)=e,故选 C. ?0
1

x

x

2 1

0

例 16[2011 ? 新课标全国]由曲线 y ? ( ). A.

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为

10 3

B.4

C.

16 3

D.6

【答案】C

?y= x, 【解析】如图,由? ?y=x-2 又可求 A(0,-2),

解得 x=4 或 x=1.经检验 x=1 为增根,∴x=4,∴B(4,2),

所以阴影部分的面积 S =

4 ? ( x - x + 2)dx = ?0

?2x2-x + 2x?? 2 ?3 ??0 ?
3

2

4



16 . 3

【解题技巧点睛】利用定积分求平面图形面积的关键是画出几 何图形,结合图形位置,确定积分区间以及被积函数,从而得 到面积的积分表达式,再利用微积分基本定理求出积分值.求 平面图形面积的步骤: (1)根据条件作出所求面积的区域草图; (2)通过图形直接判定(或联立方程组求出交点的横坐标),确定积分上、下限; (3)根据图形的形状用积分面积公式计算所求区域的面积.

平面向量
1.(安徽理科第 13 题、文科 14 题)已知向量 a, b 满足 (a ? ?b) ? (a ? b) ? ?? ,且 a ? 1 ,

b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为

.

2 2 2 2 解:由向量等式得: a ? a ? b ? 2b ? ?6 ,又 a ? 1 , b ? 4 代入可得 a ?b ? 1

所以, cos(a, b) ?

a ?b 1 ? ? ,故 a 与 b 的夹角为 | a || b | 2 3

2.(北京理科第 10 题)已知向量 a ? ( 3,1) ,b ? (0,?1) ,c ? (k , 3 ) .若 a ? 2b 与 c 共线, 则 k ? ___________________。 解: a ? 2b ? ( 3,3) ,又 a ? 2b 与 c 共线,从而求得 k ? 1 3.(北京文科 11)已知向量 a ? ( 3,1),b ? (0? 1), ? k , 3) 。若 a ? 2b 与 c 共线,则 c (
119

k=
答案:1

.

x 4.(福建理科第 10 题)已知函数 f ( x) ? e ? x ,对于曲线 y ? f (x) 上横坐标成等差数列的

三个点 A,B,C,给出以下判断: ①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中,正确的判断是 A.①③ B.①④

C. ②③

D.②④

解:设这三个点的坐标分别是 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),C( x3 , y3 )(x1 ? x2 ? x3 ) ,
x 由于 f ( x) ? e ? x 为 R x2 ? x1 ? x3 ? x2 ,BA ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), BC ? ( x3 ? x2 , y3 ? y2 ) ,

上的增函数,所以, BA ? BC ? 0 ,故 ?B 为钝角,所以①成立,②不成立,若为等腰三角 形,只有可能是 | BA |?| BC | ,此时有 y2 ? y1 ? y3 ? y2 ,即 2e
x2

? e ? e ? 2e
x1 x3

x1 ? x3 2

,与

x2 ? x1 ? x3 ? x2 矛盾,故④正确选 B。
5.(福建理科 15) 设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射 f : V ? R 满足:对任意向量

a ? ( x1, y1 ) ?V , b ? ( x2 , y2 ) ?V , 以及任意 ? ∈R,均有
f (?a ? 1 ? ? )b) ? ?f (a) ? (1 ? ? ) f (b) ,则称映射 f 具有性质 P。 (
先给出如下映射: ① f1 : V ? R, f1 (m) ? x ? y, m ? ( x, y) ?V ; ② f 2 : V ? R, f 2 (m) ? x ? y, m ? ( x, y) ?V ;
2

③ f 3 : V ? R, f 3 (m) ? x ? y ? 1, m ? ( x, y) ?V . 其中,具有性质 P 的映射的序号为________。 (写出所有具有性质 P 的映射的序号) 答案:① ③ 6.(福建文科 13)若向量 a ? (1,1), b ? (?1,2) ,则 a ? b 等于_____________. 答案:1 7.(广东理科 3)若向量 a , b, c 满足 a ∥ b 且 a ? c ,则 c ? (a ? 2b) ? A.4 B.3 C.2 D.0

120

(D) .依题意得 c ? a , c ? b ,则 c ? (a ? 2b) ? c ? a ? 2c ? b ? 0 8.(广东文科 3)已知向量 a ? (1,2) , b ? (1,0) , c ? (3,4) 。若 ? 为实数, ( a ? ? b)∥c , 。 则? = A. 解:B

1 4

B.

1 2

C.1

D.2

? 2 ? ? ,则 2a ? b 与 a ? b 的夹角等于 1 , 1 ? 9.(湖北文科 2)若向量 a ?, ?b ?, 1
A. ? 答案: C 10、 (湖南理科 14)在边长为 1 的正三角形 ABC 中,设 BC ? 2 BD, CA? 3 CE,则

? 4

B.

?
6

C.

?
4

D.

3? 4

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

???? ??? ? AD ? BE ? ________ 。
答案: ?

? ? ? ? ? ? ? 1 ??? ??? ??? ??? ??? 1 ??? ??? CB ? CA , BE ? CE ? CB ? CA ? CB , 2 3 ???? ??? ? 1 ??? ??? 1 ??? ??? ? ? ? ? ? ? 1 1 7 ??? ??? 1 所以 AD ? BE ? ( CB ? CA) ? ( CA ? CB ) ? ? ? ? CB ? CA ? ? 。 2 3 2 3 6 4 ? ? ? ? ? ? ? 11. (湖南文科 13)设向量 a , b 满足 | a |? 2 5, b ? (2,1), 且 a与b 的方向相反,则 a 的坐标
解析:由题 AD ? CD ? CA ? 为 .

1 4

????

??? ??? ? ?

答案: (?4, ?2) 解析:由题 | b |? 22 ? 1 ? 5 ,所以 a ? ?2b ? (?4, ?2). 12.(江西理科 11)已知 | a |?| b |? 2 , a ? 2b ? a ? b ? ?2 ,则 a 与 b 的夹角为 答案: 60。 (

?

?

?

?

?? ?
2

.

解 : 由 a ? 2b ? a ? b ? ?2 得 : a ? 2b ? a ? b ? 4 ? 8 ? a ? b ? ?2 , ? a ? b ? 2 ,

?

? ) 3

?? ?
?

2

? cos(a, b) ?

a ?b | a || b |

1 ,?(a, b) ? 60? 2

??? ??? ??? ? ? ? 13. 四川理科 4、 ( 文科 7) 如图, 正六边形 ABCDEF 中,BA ? CD ? EF ? ??? ? ??? ? ???? (A)0 (B) BE (C) AD (D) CF

答案:D ??? ??? ??? ??? ???? ??? ??? ? ? ? ? ? ? 解析: BA ? CD ? EF ? CD ? DE ? EF ? CF ,选 D.

121

14 江西文科 11) ( 已知两个单位向量 e1 ,e2 的夹角为 则 b1 ? b2 =___.

?? ?? ?

?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? , 若向量 b1 ? e1 ? 2e2 , 2 ? 3e1 ? 4e2 , b 3

答案: ? 6 解析:要求 b1 ? b2 ,只需将题目已知条件代入,得:

?? ?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? ? ? ?? ? b1 ? b2 = (e1 ? 2e2 ) ? (3e1 ? 4e2 ) = 3 | e1 |2 ?2e1 ? e2 ? 8 | e2 |2 , 其 中 | e1 |2 ?| e2 |? 1 ,

e1 ? e2 ?

?? ?? ? 1 ,代入得: b1 ? b2 =3?1 ?1 ? 8 ? ?6 2

15.(浙江理科 14)若平面向量 ? , ? 满足 | ? |? 1 , | ? |? 1 ,且以向量 ? , ? 为邻边的平行四 边形的面积为

1 , 则 ? 与 ? 的夹角 ? 的取值范围是 2 ? 5 【答案】 [ , ? ] 6 6



【解析】由题意得: ?

? sin ? ?

1 1 1 ? , ,∵ ? ? 1 , ? ? 1 ,∴ sin ? ? 2? ? 2 2

又∵ ? ? (0, ? ) ,∴ ? ? [

? 5?

, ]. 6 5

16(浙江文科 15)若平面向量 α、β 满足 | ? |? 1,| ? |? 1 ,且以向量 α、β 为邻边的平行四边 形的面积为

1 ,则 α 和 β 的夹角 θ 的取值范围是____________________________。 2 ? 5 【答案】 [ , ? ] 6 6
【解析】由题意得: ?

? sin ? ?

1 1 1 ? , ,∵ ? ? 1 , ? ? 1 ,∴ sin ? ? 2? 2 2

又∵ ? ? (0, ? ) ,∴ ? ? [

? 5?

, ]. 6 5

A A A 17 山东理、 12) A1 , 2 , 3 , 4 是平面直角坐标系中两两不同的四点, A A3 ? ? A A2 ( 文 设 若 1 1
( ? ? R ), A A4 ? ? A A2 ( u ? R ),且 1 1

?????

?????

?????

?????

1

?

?

1

?

? 2 ,则称 A3 , A4 调和分割 A1 , A2 ,已知


点 C (c, 0) , D(d ,0)(c, d ? R) 调和分割点 A(0, 0), B(1, 0) ,则下面说法正确的是( (A) C 可能是线段 AB 的中点 (C) C , D 可能同时在线段 AB 上 【答案】D

(B) D 可能是线段 AB 的中点 (D) C , D 不可能同时在线段 AB 的延长线上

【解析】由 A A3 ? ? A A2 ( ? ? R ), A A4 ? ? A A2 ( u ? R )知:四点 A1 , A2 , A3 , A4 在 1 1 1 1
122

?????

?????

?????

?????

同一条直线上,因为 C,D 调和分割点 A,B,所以 A,B,C,D 四点在同一直线上,且 选 D.

1 1 ? ?2, 故 c d

18(辽宁理 10)若 a , b, c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的 最大值为 (A) 2 ? 1 (B)1 (C) 2 (D)2

解法 1:由 a , b, c 均为单位向量得 | a |?| b |?| c |? 1 ,由 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 得:

a ? b ? a ? c ? b ? c ? 1 ? 0 ,将 | a ? b ? c |2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc ? 3 ? 2 ? 1 ,选 B
解法 2 建立平面直角坐标系,不妨设 A(1,0), B(0,1), C ( x, y) ,则由 (a ? c) ? (b ? c) ? 0 得:

?x ? y ? 1 ,故它是单位圆在第一象限的圆弧 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 0 ,又 x 2 ? y 2 ? 1 ,所以 ? 2 2 ?x ? y ? 1
又 | a ? b ? c |?

( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ,可得 2 ?1 ?| a ? b ? c |? 1

19(辽宁文 3)已知向量 a ? (2,1) , b ? (?1, k ) , a ? (2a ? b) ? 0 ,则 k ? (A) ? 12 答案:D (B) ? 6 (C)6 (D)12

20 (天津理、 14) 文 已知直角梯形 ABCD 中,AD // BC , ?ADC ? 90 , AD ? 2, BC ? 1 , P
0

是腰 DC 上的动点, 则 PA ? 3PB 的最小值为____________. 答案:5 解:设 PD ? ? CD ,则 PC ? (? ?1)CD ,而 PA ? 3PB ? PD ? DA ? 3( PC ? CB)

??? ?

??? ?

? (4? ? 3)CD ? 5CB ,故 | PA ? 3PB |? (4? ? 3) 2 ? CD ? 25 ? 5 ,此时 ? ?
本题也可以建立平面直角坐标系,设点的坐标进行运算

2

3 4

a b c 21 (全国大纲理 12) 设向量 a , , 满足| a |?| b |? 1 , ? b ? ?

r

r

r

r

r

r r

r r r r 1 , a ? c, b ? c ?? 60? , ? 2

r 则 | c | 的最大值等于

(A)2 (D)1
【答案】A

(B) 3

(c) 2

B

A C
123

D

【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积运算、向量加减法、四点共圆的条 件及数形结合的思想.

uur r uuu r uuu r u r r ? 【 解 析 】 如 图 , 设 AB ? a, AD ? b, AC ? c , 则 ?B A D 1 2 0 ? B C ? 6 0 ? , D ? ,
r ?BAD ? ?BCD ? 180? ,∴ A, B, C , D 四点共圆,当 AC 为圆的直径时, | c | 最大, r 此时在 Rt?ABC 中, ?BCA ? 30?, AB ? 1,? AC ? 2 ,即 | c | 最大值为 2.
? ?

22(全国大纲文 3)设向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a ? b ? ? (A) 2 (B) 3 (C) 5

?

?

r r

? ? 1 ,则 a ? 2b ? 2

(D) 7

【答案】B 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积与长度的计算方法. r r r r r ur r r 1 【解析】 | a ? 2b |2 ?| a |2 ?4a ? b ? 4| b |2 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 4 ? 3 ,所以 a ? 2b ? 3 2
23(全国课标理 10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

? 2? ? P : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, 1 ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是 (A) P , P4 1 【答案】A 【解析】 a ? b ? (B) P , P 1 3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

(C) P2 , P 3

(D) P2 , P4

a-b ?

? a-b ?

2

1 2? ? 2 ? 2a ? b ? 2 ? 2cos ? ? 1 ? cos ? ? ? ? 0 ? ? ? 2 3 1 ? ? 2-2a ? b ? 2-2cos ? ? 1 ? cos ? ? ? ? ? ? ? .所以 p1, p4 是真 2 3

?a ? b?

2

命题,故选 A. 24(全国课标文 13)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量, k 为实数,若向量 a ? b 与向量

ka ? b 垂直,则 k ? ___ .
【答案】1 【解析】

? a ? b? ? ? ka ? b? ? 0 ,化简可得 ? k ?1??1? a ? b? ? 0 ? a , b 是不共线的单位向量

∴ 1 ? a ? b ? 0 ,? k ? 1 ? 0 即 k ? 1 .

124

25(上海理 11、文 12)在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点,若 AB ? 3, BD ? 1 ,则

??? ???? ? AB ? AD ?
【答案】



15 2 ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 【解析】 AB ? AD ? AB ? ( AC ? CD) ? AB ? AC ? AB ? CD

??? ???? ? ??? ??? ? ? 9 15 ? AB AC cos 60? ? AB CD cos 60? ? ? 3 ? . 2 2
26(重庆理 12)已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 ? __________ 答案: 3 解析: 2e1 ? e2 ?

4e12 ? 4e1 ? e2 ? e2 2 ? 4 ? 2+1= 3

27(重庆文 5)已知向量 a ? (1, k ), b ? (2, 2), 且a ? b与a 共线,那么 a ? b 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4 答案:D 解析: a ? b 与 a 共线,则存在实数 ? 满足 a ? b ? ?a ,又 b ? 0 ,所以 a // b ,所以 k ? 1 故 a ?b ? 4 28(江苏 10)已知 e1 , e2 是夹角为

??

?? ?

? ? a ? b ? 0 ,则实数 k 的值为
答案:

? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 2 ? 的两个单位向量, a ? e1 ? 2e2 , b ? ke1 ? e2 ,若 3


5 4

解析:由条件 | a |?| b |? 1, a ? b ? ?

1 ,当 a ?b ? 0 时, 2

5 1 5 (e1 ? 2e2 ) ? (k e1 ? e2 ) ? k ? 2 ? (1 ? 2k ) ? (? ) ? 2k ? ? 0 ,所以 k ? 4 2 2

【2012 高考试题】数列
一、选择题 1.【2012 高考真题重庆理 1】在等差数列 {an } 中, a2 ? 1 , a 4 ? 5 则 {an } 的前 5 项和 S5 = A.7 B.15 C.20 D.25

125

2.【2012 高考真题浙江理 7】设 Sn 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列﹛an﹜的前 n 项和, 则下列命题错误的是 A.若 d<0,则数列﹛Sn﹜有最大项 B.若数列﹛Sn﹜有最大项,则 d<0 C.若数列﹛Sn﹜是递增数列,则对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0
*

D. 若对任意 n ? N ,均有 Sn ? 0 ,则数列﹛Sn﹜是递增数列
*

3. 【2012 高考真题新课标理 5】 已知 ?an 为等比数列, 4 ? a7 ? 2 , 5a6 ? ?8 , a1 ? a ? 则 a a 0 1 ( )

?

( A) 7
【答案】D

(B) 5

(C ) ??

( D) ??

【 解 析 】 因 为 {an } 为 等 比 数 列 , 所 以 a5 a6 ? a4 a7 ? ?8 , 又 a4 ? a7 ? 2 , 所 以

a4 ? 4,a7 ? ?2 或 a4 ? ?2,a7 ? 4 . 若 a4 ? 4,a7 ? ?2 , 解 得 a1 ? ?8,a10 ? 1 ,
a1 ? a10 ? ?7 ;若 a4 ? ?2,a7 ? 4 ,解得 a10 ? ?8,a1 ? 1 ,仍有 a1 ? a10 ? ?7 ,综上
选 D. 4. 【2012 高考真题上海理 18】 a n ? 设 中,正数的个数是( A.25 ) B.50 C.75 D.100

1 n? sin ,S n ? a1 ? a2 ? ? ? an , S1 , S 2 ,?, S1 在 0 n 25

126

5.【2012 高考真题辽宁理 6】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11= (A)58 【答案】B 【解析】在等差数列中,? a1 ? a11 ? a4 ? a8 ? 16,? s11 ? (B)88 (C)143 (D)176

11? (a1 ? a11 ) ? 88 ,答案为 B 2

6.【2012 高考真题四川理 12】设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为
2 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a5 ? (

? 的等差数列, 8

) D、

A、 0

B、

1 2 ? 16

2 C、 ?

1 8

13 2 ? 16

7.【2012 高考真题湖北理 7】定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的 等比数列 {an } , { f (an )} 仍是等比数列,则称 f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在
(??,0) ? (0, ??) 上的如下函数:

① f ( x) ? x 2 ;

② f ( x) ? 2 x ;

③ f ( x) ? | x | ;

④ f ( x) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 A.① ② B.③ ④
127

C







D.② ④

8.【2012 高考真题福建理 2】等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为 A.1 【答案】B. 【解析】由等差中项的性质知 a3 ? B.2 C.3 D.4

a1 ? a5 ? 5 ,又? a4 ? 7,? d ? a4 ? a3 ? 2 .故选 B. 2

9.【2012 高考真题安徽理 4】公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则

log2 a16 =(
( A) 4
【答案】B



(B) 5

(C ) ?

( D) ?

2 【解析】 a3a11 ? 16 ? a7 ? 16 ? a7 ? 4 ? a16 ? a7 ? q9 ? 32 ? log2 a16 ? 5 .

10.【2012 高考真题全国卷理 5】已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a5=5,S5=15,则数列

的前 100 项和为 (A)

100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100

【答案】A

128

二、填空题

11. 2012 高考真题浙江理 13】 【 设公比为 (q>0) q 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn。 S2=3a2+2, 若 S4=3a4+2,则 q=______________。 【答案】
3 2

【解析】将 S2 ? 3a2 ? 2 , S4 ? 3a4 ? 2 两个式子全部转化成用 a1 ,q 表示的式子. 即?
? a1 ? a1q ? 3a1q ? 2 , 两式作差得:a1q 2 ? a1q3 ? 3a1q(q 2 ? 1) , 即:2q 2 ? q ? 3 ? 0 , a1 ? a1q ? a1q 2 ? a1q 3 ? 3a1q 3 ? 2 ?

3 或 q ? ?1 (舍去). 2 12. 【2012 高考真题四川理 16】 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数, 记 例如, ? 2 , [2] [1.5] ? 1 ,

解之得: q ?

xn ? [
[?0.3] ? ?1。设 a 为正整数,数列 {xn } 满足 x1 ? a , xn ?1 ? [
列命题: ①当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ④对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则 xn ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 【答案】①③④

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下

【解析】当 a ? 5 时, x1 ? a ? 5 x2 ? 证可得③④正确,②错误.

5?

5 5 3?[ ] 5 ? 3, x ?[ 3 ] ? 2 ,故①正确;同样验 3 2 2

129

13. 【2012 高考真题新课标理 16】 数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 , {a n } 的前 60 项 则 和为

14. 【 2012 高 考 真 题 辽 宁 理 14 】 已 知 等 比 数 列 { an } 为 递 增 数 列 , 且
2 a5 ? a10 , 2(an ? an?2 ) ? 5an?1 ,则数列{an}的通项公式 an =______________。

【答案】 2

n

2 【解析】? a5 ? a10 ,?(a1q4 )2 ? a1q9 ,?a1 ? q,?an ? qn ,

? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,? 2an (1 ? q 2 ) ? 5an q,? 2(1 ? q 2 ) ? 5q, 解得q ? 2或q ?

1 (舍去), an ? 2 n ? 2

15. 【2012 高考真题江西理 12】 设数列{an},{bn}都是等差数列, a1 ? b1 ? 7 , 3 ? b3 ? 21, 若 a 则 a5 ? b5 ? __________。 【答案】35 【解析】 设数列 {an },{bn } 的公差分别为 d, b , 则由 a3 ? b3 ? 21, a1 ? b1 ? 2(b ? d ) ? 21 , 得 即 2(b ? d ) ? 21? 7 ? 14 ,所以 b ? d ? 7 , 所以 a5 ? b5 ? a1 ? b1 ? 4(b ? d ) ? 7 ? 4 ? 7 ? 35 。

130

16.【2012 高考真题北京理 10】已知 {an } 等差数列 Sn 为其前 n 项和。若 a1 ? 则 a2 =_______。

1 , S2 ? a3 , 2

18.【2012 高考真题重庆理 12】 lim
n ??

1 n ? 5n ? n
2

?

.

【答案】

2 5

【解析】 lim
n ??

1 n 2 ? 5n ? n

? lim
n ??

n 2 ? 5n ? n ( n 2 ? 5n ? n)( n 2 ? 5n ? n)

? lim
n ??

n ? 5n ? n ? lim n ?? 5n
2

1?

5 ?1 1?1 2 n ? ? 5 5 5
1 2

19.【2012 高考真题上海理 6】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列, 体积分别记为 V1,V2, ,Vn, ,则 lim(V1 ? V2 ? ? ? Vn ) ? ? ?
n ??



【答案】

8 。 7 1 为公比的等比数列, 8

【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以 1 为首项,

1 8 n = 8 (1 ? 1 ) ,∴ lim(V ? V ? ? ? V ) ? 8 。 ∴ V1 + V2 +?+ Vn = 1 2 n n ?? 1 7 7 8n 1? 8 1?
131

20.【2012 高考真题福建理 14】数列{an}的通项公式 S2012=___________.

,前 n 项和为 Sn,则

三、解答题

21【2012 高考江苏 20】 (16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足:

a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1

?? b ? b ? ? 1 ? n , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? an ?? an ? ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

(2)设 bn?1 ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an

【答案】解: (1)∵ bn ?1 ? 1 ?

bn an ? bn ,∴ an ?1 ? = an an 2 ? bn 2

bn ?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2



?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? 。 an ?1 ? an ?
2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ? 2

2



?? b ? 2 ? ? ? ∴数列 ?? n ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 an ? ? ?? ? ?
(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴ ∴ 1 < an?1 ?

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

an ? bn an 2 ? bn 2

(﹡) ? 2。

132

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾。 q a1

【解析】 (1)根据题设 a n ?1 ?
2 2

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从而 an ?1 an ? an ?

2

?b ? ?b ? 证明 ? n ?1 ? ? ? n ? ? 1 而得证。 ? an ?1 ? ? an ?
(2)根据基本不等式得到 1 < an?1 ? 的公比 q =1 。 从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn?1 ? 2 ? 数列。最后用反证法求出 a1 =b2 = 2 。
133

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an }

bn 2 2 的等比 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

22.【2012 高考真题湖北理 18】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 前三项的和为 ?3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a3 , a1 成等比数列,求数列 {| an |} 的前 n 项和.

(Ⅱ)当 an ? ?3n ? 5 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , ?4 , 2 ,不成等比数列; 当 an ? 3n ? 7 时, a 2 , a3 , a1 分别为 ?1 , 2 , ?4 ,成等比数列,满足条件.
??3n ? 7, n ? 1, 2, 故 | an |?| 3n ? 7 |? ? ? 3n ? 7, n ? 3.

记数列 {| an |} 的前 n 项和为 S n . 当 n ? 1 时, S1 ?| a1 |? 4 ;当 n ? 2 时, S2 ?| a1 | ? | a2 |? 5 ; 当 n ? 3 时,
Sn ? S2 ? | a3 | ? | a4 | ??? | an | ? 5 ? (3 ? 3 ? 7) ? (3 ? 4 ? 7) ? ? ? (3n ? 7)

?5?

(n ? 2)[2 ? (3n ? 7)] 3 2 11 ? n ? n ? 10 . 当 n ? 2 时,满足此式. 2 2 2

n ? 1, ?4, ? 综上, Sn ? ? 3 2 11 ? 2 n ? 2 n ? 10, n ? 1. ?
23.【2012 高考真题广东理 19】 (本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数列.


(1) 求 a1 的值; (2) 求数列{an}的通项公式. (3) 证明:对一切正整数 n,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解 能力与推理论证能力,难度一般.

134

135

25.【2012 高考真题四川理 20】(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且

a2 an ? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。
(Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg 大值。 【答案】本题主要考查等比数列、等差数列的概念和前 n 项和公式,以及对数运算等基础知 识,考查逻辑推理能力,基本运算能力,以及方程与函数、化归与转化等数学思想

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时,Tn 最大?并求出 Tn 的最 an

26.【2012 高考真题四川理 22】(本小题满分 14 分) 已知 a 为正实数, 为自然数, 抛物线 y ? ? x ? n
2

an 与 x 轴正半轴相交于点 A , f ( n) 设 2

为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。 (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ;

136

(Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 成立的 a 的最小值; ? 3 f (n) ? 1 n ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) ? 的大小,并说明理由。 4 f (0) ? f (1)

【答案】本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查基本运算能力、逻辑推 理能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识,考查函数与方程、数形结合、分类讨论、 化归与转化由特殊到一般等数学思想

137

27.【2012 高考真题广东理 19】 (本小题满分 14 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn ? an ?1 ? 2n ?1 ? 1,n∈N ,且 a1,a2+5,a3 成等差数列.


(4) 求 a1 的值; (5) 求数列{an}的通项公式. (6) 证明:对一切正整数 n,有

1 1 1 3 ? ?? ? ? . a1 a2 an 2

【答案】本题考查由数列的递推公式求通项公式,不等式证明问题,考查了学生的运算求解 能力与推理论证能力,难度一般.

138

29.【2012 高考真题重庆理 21】 (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分.) 设数列 an 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 .

139

(I)求证: an 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a2 ? ?1 ,求证: S n ? 【答案】

n (a1 ? a2 ) ,并给出等号成立的充要条件. 2

140

30.【2012 高考真题江西理 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? (1)确定常数 k,求 an; (2)求数列 {

1 2 n ? kn , k ? N * ,且 Sn 的最大值为 8. 2

9 ? 2a n } 的前 n 项和 Tn。 2n

141

【答案】

31.【2012 高考真题安徽理 21】 (本小题满分 13 分)
2 数列 {xn } 满足: x1 ? 0, xn?1 ? ? xn ? xn ? c(n ? N * )

(I)证明:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 ; (II)求 c 的取值范围,使数列 {xn } 是单调递增数列。 【答案】本题考查数列的概念及其性质,不等式及其性质,充要条件的意义,数列与 函数的关系等基础知识,考查综合运用知识分析问题的能力,推理论证和运算求解能力。 【解析】 (I)必要条件
2 当 c ? 0 时, xn?1 ? ? xn ? xn ? c ? xn ? 数列 {xn } 是单调递减数列。

充分条件
2 2 数列 {xn } 是单调递减数列 ? x1 ? x2 ? ? x1 ? x1 ? c ? c ? x1 ? 0 ,

得:数列 {xn } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 。 (II)由(I)得: c ? 0 , ①当 c ? 0 时, an ? a1 ? 0 ,不合题意; ②当 c ? 0 时, x2 ? c ? x1 , x3 ? ?c ? 2c ? x2 ? c ? 0 ? c ? 1,
2

2 2 xn?1 ? xn ? c ? xn ? 0 ? xn ? c ? 1 ? 0 ? x1 ? xn ? c ,
2 2 xn?2 ? xn?1 ? ?( xn?1 ? xn ) ? ( xn?1 ? xn ) ? ?( xn?1 ? xn )( xn?1 ? xn ?1) 。

142

32.【2012 高考真题天津理 18】 (本小题满分 13 分) 已 知 {an } 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , {bn } 是 等 比 数 列 , 且

a1 ? b1 ? 2, a4 ? b4 ? 27 , S 4 ? b4 ? 10 .
(Ⅰ)求数列 {an } 与 {bn } 的通项公式; ( Ⅱ ) 记 Tn ? an b1 ? an?1b2 ? ? ? a1bn , n ? N , 证 明 Tn ? 12 ? ?2an ? 10bn
*

( n ? N ).
*

【答案】

143

33.【2012 高考真题湖南理 19】 (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+??+an,B(n)=a2+a3+??+an+1,C(n) =a3+a4+??+an+2,n=1,2,?? (1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) B(n) C(n)组成等差数列,求 , , 数列{ an }的通项公式. (2) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个 数 A(n) B(n) C(n)组成公比为 q 的等比数列. , , 【答案】解(1)对任意 n ? N ,三个数 A(n), B(n), C (n) 是等差数列,所以
? ?

144

B(n) ? A(n) ? C (n) ? B(n),
即 an?1 ? a1 ? an?2 , 亦即 an?2 ? an?1 ? a2 ? a1 ? 4. 故数列 ?an ? 是首项为1,公差为4的等差数列.于是 an ? 1 ? (n ?1) ? 4 ? 4n ? 3. (Ⅱ) (1)必要性:若数列 ?an ? 是公比为q的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

an?1 ? anq . 由 an ? 0 知, A(n), B(n), C (n) 均大于0,于是
B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 q(a1 ? a2 ? ... ? an ) ? ? ? q, A(n) a1 ? a2 ? ... ? an a1 ? a2 ? ... ? an C (n) a3 ? a4 ? ... ? an?2 q(a2 ? a3 ? ... ? an?1) ? ? ? q, B(n) a2 ? a3 ? ... ? an?1 a2 ? a3 ? ... ? an?1


B (n) C (n) = = q ,所以三个数 A(n), B(n), C (n) 组成公比为 q 的等比数列. A( n ) B ( n )

【解析】 【2011 年高考试题】 1. (2011 年高考四川卷理科 8)数列 ?an ? 的首项为 3 , ?bn ? 为等差数列且

bn ? an?1 ? an (n ? N*) .若则 b3 ? ?2 , b10 ? 12 ,则 a8 ? (
145

)

(A)0 答案:B

(B)3

(C)8

(D)11

解析:由已知知 bn ? 2n ? 8, an?1 ? an ? 2n ? 8, 由叠加法

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (a8 ? a7 ) ? ?6 ? ?4 ? ?2 ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 0 ? a8 ? a1 ? 3 .
2.(2011 年高考全国卷理科 4)设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,公差 d ? 2 ,

S A?2 ? Sn ? 24 ,则 k ?
(A)8 (B)7 (C)6 (D)5

3. (2011 年高考广东卷理科 11)等差数列 ?an ? 前 9 项的和等于前 4 项的和.若

a1 ? 1, ak ? a4 ? 0 ,则 k ?
【答案】10

.

4?3 ? 9?8 d ? 4? d 1 ?9 ? 【解析】由题得 ? ?d ? ? 2 2 6 ?1 ? (k ? 1)d ? 1 ? 3d ? 0 ?

k ? 10

5. (2011 年高考湖北卷理科 13)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子,自 下而下各节的容积成等差数列,上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为 答案: 升

67 66

解析: 设从上往下的 9 节竹子的容积依次为 a1,a2,, ,9, ?? a 公差为 d, 则有 a1+a2+a3+a4=3,

a7+a8+a9=4,即 4a5-10d=3,3a5+9d=4,联立解得: a5 ?

67 67 .即第 5 节竹子的容积 . 66 66

5.(2011 年高考陕西卷理科 14)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一 棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,使每位同学从各自 树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,这个最小值为 【答案】2000 (米) 。

146

【解析】设树苗集中放置在第 i 号坑旁边,则 20 名同学返所走的路程总和为

l ? 2[(i ?1) ? (i ? 2) ?? ?2 ? 1 ?1 ? 2 ? ? ? (19 ? i) ? (20 ? i)] ?10
= (i 2 ? 21i ? 210) ? 20 ? [(i ?

21 2 399 ) ? ] ? 20 即 i ? 10或11 时 lmin ? 2000 . 2 4

6.(2011 年高考重庆卷理科 11)在等差数列 ?an ? 中, a3 ? a7 ? 37 ,则 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 解析:74. a2 ? a8 ? a4 ? a6 ? a3 ? a7 ? 37 ,故 a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? 2 ? 37 ? 74 7.(2011 年高考江苏卷 13)设 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a7 , 其中 a1 , a3 , a5 , a7 成公比为 q 的等比数 列, a 2 , a 4 , a6 成公差为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________

8.(2011 年高考北京卷理科 11)在等比数列{an}中,a1=

1 ,a4=-4,则公比 2

q=______________; a1 ? a2 ? ... ? an ? ____________。 【答案】—2

2 n ?1 ?

1 2

9. (2011 年高考山东卷理科 20)(本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 中, a1 , a2 , a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1 , a2 , a3 中 的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第一行 第二行 第三行 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列 ?bn ? 满足: bn ? an ? (?1)ln an ,求数列 ?bn ? 的前 2n 项和 S 2n .
147

【解析】 (I)当 a1 ? 3 时,不合题意; 当 a1 ? 2 时,当且仅当 a2 ? 6, a3 ? 18 时,符合题意; 当 a1 ? 10 时,不合题意。 因此 a1 ? 2, a2 ? 6, a3 ? 18, 所以公式 q=3, 故 an ? 2 ? 3n?1.

10.(2011 年高考辽宁卷理科 17)(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8= -10 (I)求数列{an}的通项公式; (II)求数列 ?

? an ? 的前 n 项和. n ?1 ? ?2 ?
148

所以 S n ?

n . 2n ?1 n ? an ? 的前 n 项和为 S n ? n ?1 . n ?1 ? 2 ?2 ?

综上,数列 ?

11.(2011 年高考浙江卷理科 19)(本题满分 14 分)已知公差不为 0 的等差数列 {an } 的首 项 a1 ? a ( a ? R ),设数列的前 n 项和为 Sn , 且

1 1 1 , , 成等比数列 (Ⅰ) 求数列 {an } a1 a2 a4

的通项公式及 Sn (Ⅱ)记 An ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ,当 ? ? ? ... ? , Bn ? ? ? ? ... ? S1 S2 S3 Sn a1 a2 a22 a2n

n ? 2 时,试比较 An 与 Bn 的大小.[
【解析】 (Ⅰ)

1 1 1 2 ? ? ? a2 ? a1a4 ? (a1 ? d )2 ? a1 (a1 ? 3d ) ? d ? a1 ? a 2 a2 a1 a4

则 an ? a1 ? (n ?1)d ? a1 ? (n ?1)a1 ? na1 ? na ,

Sn ? a1n ?

n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) d ? an ? a? a 2 2 2

149

(Ⅱ) An ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? ? ... ? 2?3 3? 4 n(n ? 1) S1 S2 S3 Sn 1? 2 a a a a 2 2 2 2 2 1 2 1 ? ? a 1? 2 a 2 ? 3
? 2 1 2 1 2 1 ?? ? ? (1 ? ) a 3? 4 a n(n ? 1) a n ?1

1 1 ? ( )n 2 1 1 1 1 1 2 ? (1 ? 1 ) 因为 a2n ? 2n a ,所以 Bn ? ? ? ? ? ? ... ? a 2n a1 a2 a22 a2n?1 a 1 ? 1 2 1 1 0 1 2 n ? 1? n ; 当 n ? 2 时, 22 ? Cn ? Cn ? Cn ? ?? Cn ? n ? 1 即 1 ? n ?1 2
所以当 a ? 0 时, An ? Bn ;当 a ? 0 时, An ? Bn . 12.(2011 年高考安徽卷理科 18)(本小题满分 13 分) 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数, 使得这 n ? 2 个数构成递增的等比数列, 将这 n ? 2 个 数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lg Tn, n≥1 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tan an ? tan an ?1, 求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? tan an ? tan an ?1 ? tan( n ? 2) ? tan( n ?3) , n ? 1

150

又? tan[(n ? 3) ? tan(n ? 2)] ?

tan(n ? 3) ? tan(n ? 2) ? tan1 1 ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3)

? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3) ?

tan(n ? 3) ? tan(n ? 2) ?1 tan1

所以数列 {bn } 的前 n 项和为

S n ? tan(1 ? 2) ? tan(1 ? 3) ? tan(2 ? 2) ? tan(2 ? 3) ? …… ? tan( n ? 2) ? tan( n ? 3) tan(1 ? 3) ? tan(1 ?

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