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高三-圆的标准方程和一般方程

时间:2013-06-09


复习课:圆的标准方程和一般方程
教学目标 重点:掌握圆的标准方程和一般方程,能根据题目条件选择恰当的形式求圆的方程,理解圆 的一般方程和标准方程之间的关系, 并能互化.灵活运用圆的几何性质解决问题.了解参数方 程的概念,理解圆的参数方程. 难点:与圆有关的综合题的求解方法. 能力点:等价转化的数学思想、数形结合的数学思想的应用,逻辑推理能力的培养和训练. 自主探究点:了解参数方程的概念,理解圆的参数方程,利用参数方程解决求最值问题. 易错点:运算出现错误,对问题分析不全面导致漏解. 学法与教具 1.学法:学生动脑、动手总结规律,梳理知识,解决问题. 2.教具:投影仪. 一、 【知识梳理】 1.圆的定义:平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆. 在平面直角坐标系内确定一个圆需要三个独立条件:如三个点,半径和圆心(两个坐标)等. 2.圆的方程 (1)标准式: ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 ,其中 r 为圆的半径, ( a, b) 为圆心. (2)一般式: x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D2 ? E 2 ? 4F ? 0) ,其中圆心为 (?

D E , ? ) ,半径 2 2

1 D2 ? E 2 ? 4F . 2 (3)过圆与直线(或圆)交点的圆系方程:
为 i) x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C) ? 0 , ii) x2 ? y 2 ? D1x ? E1 y ? F ? ? ( x2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ) ? 0 ( ? ? ?1 时为一条过两圆交 1 点的直线,该方程不包括圆 C2 ) (4) 二 元 二 次 方 程 Ax2 ? By 2 ? Cxy ? Dx ? Ey ? F ? 0 表 示 圆 的 充 要 条 件 :

A ? B ? 0, C ? 0, D2 ? E 2 ? 4 AF ? 0 .
二、 【范例导航】 题型 1:求圆的方程 【例 1】(1)求经过点 A(5, 2), B(3, 2) ,圆心在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上的圆的方程; (2)求圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,与 y 轴相切,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 的圆方程. 【分析】 本题可以设圆的标准方程, 建立关于圆心 ( a, b) 和半径 r 的三个方程构成的方程组. 【解析】 (1)解法一:设圆的标准方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

?(5 ? a)2 ? (2 ? b)2 ? r 2 ?a ? 4 ? ? 2 2 2 根据题意可得 ?(3 ? a) ? (2 ? b) ? r ,解得 ?b ? 5 ? 2a ? b ? 3 ? 0 ? ?r ? 10 ?

所求圆的方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 10 . 解法二:因为圆过 A(5, 2), B(3, 2) 两点,所以圆心在线段 AB 的中垂线 x ? 4 上,又因为圆 心在直线 2 x ? y ? 3 ? 0 上,联立解得 a ? 4, b ? 5 .进而求得圆的半径 r ? 10 , 圆方程为: ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 10 . (2)因为圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上, 故圆方程可设为 ( x ? 3b)2 ? ( y ? b)2 ? 9b2 又因为直线 y ? x 截圆得弦长为 2 7 , 则有 (
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| 3b ? b | 2 ) ? ( 7)2 ? 9b 2 ,解得 b ? ?1 , 2
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故所求圆方程为: ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 9 或 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 9

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【点评】求圆的方程时,根据题目条件选择合适的方程形式,同时注意圆的几何性质的充分 利用,如在第(1)问解法二中,利用圆心在线段 AB 的中垂线上,可以使简化运算.第(2) 问求解时注意两组结果. 变式训练:求半径为 4,与圆 A : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 相切,且和直线 y ? 0 相切的圆 的方程. 【解析】由题意,设所求圆的方程为圆 C : ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . 圆 C 与直线 y ? 0 相切,且半径为 4,所以圆心 C 的坐标为 C1 : (a, 4) 或 C2 : (a, ?4) . 又已知圆 A : x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4 ? 0 的圆心 A 的坐标为 (2,1) ,半径为 3. 若两圆相切,则两圆心之间的距离 CA ? 4 ? 3 ? 7 或 CA ? 4 ? 3 ? 1. (1) 当 C1 : (a, 4) 时, (a ? 2)2 ? (4 ?1)2 ? 72 ,或 (a ? 2)2 ? (4 ? 1)2 ? 12 (无解), 故可得 a ? 2 ? 2 10 . ∴所求圆方程为 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 16 或 ( x ? 2 ? 2 10)2 ? ( y ? 4)2 ? 16 . (2) 当 C2 : (a, ?4) 时, (a ? 2)2 ? (?4 ? 1)2 ? 72 ,或 (a ? 2)2 ? (?4 ? 1)2 ? 12 (无解), 故 a ? 2?2 6 . ∴所求圆的方程为 ( x ? 2 ? 2 6)2 ? ( y ? 4)2 ? 16 或 ( x ? 2 ? 2 6)2 ? ( y ? 4)2 ? 16 . 【点评】对本题,易发生以下误解:(1)忽略圆心在 x 轴下方的情形, (2)只考虑两圆相外 切的情况. 题型 2:轨迹问题 【例 2】 (1)已知点 M 与两个定点 O(0,0), A(3,0) 的距离的比为
2

1 ,求点 M 的轨迹方程. 2
2

(2) 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4, 3) ,端点 A 在圆 ( x ? 1) ? y ? 4 上运动,求线段

AB 的中点 M 的轨迹方程.
【分析】第(1)问用直接法求轨迹方程,第(2)问用相关点代入法求轨迹方程,所得轨迹 都是圆. 【解析】 (1)设所求轨迹上任意一点 M ( x, y ), 根据题意:

MO

1 ? ,即: 2 MO ? MA ,即 2 x 2 ? y 2 ? ( x ? 3)2 ? y 2 , MA 2

故所求轨迹方程为: ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 .

x0 ? 4 ? ?x ? 2 ? (2)设 AB 的中点 M ( x, y ) ,点 A( x0 , y0 ) ,则 ? , ? y ? y0 ? 3 ? ? 2 ? x0 ? 2 x ? 4 得 ? ,又因为 A 在圆周上运动,故可得: (2 x ? 4 ? 1)2 ? (2 y ? 3)2 ? 4 , y0 ? 2 y ? 3 ? 3 2 3 2 所求轨迹方程为: ( x ? ) ? ( y ? ) ? 1 . 2 2
【点评】本题是比较简单的两道题目,分别用了直接法和相关点代入法求轨迹方程,旨在让 学生复习求轨迹方程的方法,同时更进一步了解哪些点的运动轨迹是圆。 变式训练:有一种大型商品, A 、 B 两地都有出售,且价格相同.某地居民从两地之一购 得商品后运回的费用是:每单位距离 A 地的运费是 B 地的运费的 3 倍.已知 A 、 B 两地距 离为 10 公里,顾客选择 A 地或 B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较 低.求 A 、 B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居 民应如何选择购货地点. 【解析】以 A 、 B 所确定的直线为 x 轴, AB 的中点 O 为坐标原点,建立如图所示的平面 直角坐标系.∵ AB ? 10 ,∴ A(?5, 0) , B(5, 0) . 设某地 P( x, y) ,且 P 地居民选择 A 地购买商品便宜,并设 A 地的运费为 3a 元/公里, B 地 的运费为 a 元/公里.因为 P 地居民购货总费用满足条件: 价格+ A 地运费≤价格+ B 地的运费
2 2 2 2 即: 3a ( x ? 5) ? y ? a ( x ? 5) ? y .

∵a ? 0,
2 2 ∴ 3 ( x ? 5) ? y ?

( x ? 5) 2 ? y 2

25 2 15 ) ? y 2 ? ( )2 4 4 25 15 , 0) 为圆心 为半径的圆是两地购的分界线. ∴以点 ( ? 4 4 圆内的居民从 A 地购货便宜,圆外的居民从 B 地购货便宜,圆上的居民从 A 、 B 两地购货 的总费用相等.因此可随意从 A 、 B 两地之一购货.
化简整理得: ( x ? 题型 3:圆中的最值问题 【例 3】 (1)圆 x ? y ? 4x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离
2 2

的差是

.

(2)已知圆 O : ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 , P( x, y) 为圆 O 上的动点,求 d ? x2 ? y 2 的最大、最 小值. 【分析】两道小题都涉及到圆上点的坐标,可考虑用圆的参数方程或数形结合解决. 【解析】 (1)∵圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 18 的圆心为 (2, 2) ,半径 r ? 3 2 , ∴圆心到直线的距离 d ?

10 ? 5 2 ? r ,∴直线与圆相离, 2

∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 (d ? r ) ? (d ? r ) ? 2r ? 6 2 . (2)解法一:由圆的标准方程 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 . 可设圆的参数方程为 ?

? x ? 3 ? cos ? ( ? 是参数) . ? y ? 4 ? sin ?

则 d ? x2 ? y 2 ? (3 ? cos? )2 ? (4 ? sin ? )2 = 8sin ? ? 6 cos ? ? 26 ? 10 cos(? ? ? ) ? 26, (其中 tan ? ? 所以 dmax ? 10 ? 26 ? 36 , dmin ? ?10 ? 26 ? 16 . 解法二: 圆上的点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离 d1 加上半径 1, 圆上的点到原 点距离的最小值等于圆心到原点的距离 d1 减去半径 1. 所以 dmax ? (5 ? 1)2 ? 36 , dmin ? (5 ?1)2 ? 16 . 变式训练:已知圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 , P( x, y) 为圆上任一点.求 求 x ? 2 y 的最大、最小值. 【解析】解法一:由 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 得圆的参数方程: ? 则

4 ). 3

y?2 的最大、最小值, x ?1

? x ? ?2 ? cos ? ? 是参数. ? y ? sin ?

y ? 2 sin ? ? 2 sin ? ? 2 ? ?t, .令 x ? 1 cos ? ? 3 cos ? ? 3

得 sin ? ? t cos ? ? 2 ? 3t , 1 ? t 2 sin(? ? ? ) ? 2 ? 3t . 所以

2 ? 3t 1? t2

? sin(? ? ? ) ? 1 ,解得:

3? 3 3? 3 ?t ? . 4 4

所以 tmax ?

3? 3 3? 3 . , tmin ? 4 4



y?2 3? 3 3? 3 的最大值为 ,最小值为 . x ?1 4 4

此时 x ? 2 y ? ?2 ? cos? ? 2sin ? ? ?2 ? 5 cos(? ? ? ) . 所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 . 解法二: 设

y?2 ? k ,则 kx ? y ? k ? 2 ? 0 .由于 P( x, y) 是圆上点,当直线与圆有交点时, x ?1

两条切线的斜率分别是最大、最小值. 由d ?

?2k ? k ? 2 1? k 2

? 1,得 k ?

3? 3 . 4

所以

y?2 3? 3 3? 3 的最大值为 ,最小值为 . x ?1 4 4

令 x ? 2 y ? m ,同理两条切线在 x 轴上的截距分别是最大、最小值. 由d ?

?2 ? m 5

? 1,得 m ? ?2 ? 5 .

所以 x ? 2 y 的最大值为 ?2 ? 5 ,最小值为 ?2 ? 5 . 【点评】 这里将圆上的点用它的参数式表示出来, 从而将求变量的范围问题转化成三角函数 的有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解,使问题变得简捷方便. 题型 4:圆中的对称问题 【例 4】自点 A(?3,3) 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,反射光线所在的直线与圆

C : x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相切.
(1)求光线 l 和反射光线所在的直线方程. (2)光线自 A 到切点所经过的路程. 【分析】(2)根据对称关系,首先求出点 A 的对称点 A? 坐标, 再求过 A? 与圆 C 相切的直线. 【解析】点 A 的对称点 A? 的坐标为 (?3, ?3) ,设过 A? 的圆 C

y M A C N

G O 的切线方程为 y ? k ( x ? 3) ? 3 ,由 d ? r , 求出圆 C 的切线的斜 率为 k ?

B

x

4 3 或k ? 3 4

A ’

图3

故反射光线所在的直线的方程为 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 因为入射光与反射光关于 x 轴对称, 所以入射光所在直线方程为 4 x ? 3 y ? 3 ? 0 或 3x ? 4 y ? 3 ? 0 光路的距离为 A' M ,可由勾股定理求得 A?M
2

? A?C ? CM
2

2

?7.

【点评】本题亦可把圆对称到 x 轴下方,再求解.充分利用圆的对称性,可以使问题简化. 变 式 训 练 : 圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 6 y ? 9 ? 0 关 于 直 线 2 x ? y ? 5? 0对 称 的 圆 的 方 程 .答案 ( x ? 7)2 ? ( y ? 1)2 ? 1 三、 【解法小结】 1.求圆的方程:主要用待定系数法,可以用圆的标准方程,求出圆心坐标和半径;或是利用 圆的一般方程求出系数 D、E、F 的值.一般地,当给出条件是圆上几点坐标时,可以考虑用 一般方程, 当已知圆心坐标或者是圆心在某条直线上以及与某条直线相切时, 可设标准方程. 2.已知圆经过两已知圆的交点,求圆的方程,可用经过两圆交点的圆系方程简捷. 3.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质,简化运算. 四、 【布置作业】
1. (2012 年高考(湖北文) 过点 )

P(1,1) 的直线,将圆形区域 ?( x, y ) | x 2 ? y 2 ? 4? 分两部分,
( D. x ? 3 y ? 4 ? 0 )

使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为 A. x ? y ? 2 ? 0 B. y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 0

2.在圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 0 内,过点 E (0,1) 的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD ,则四边 形 ABCD 的面积为 A.5 2 ( B.10 2 C.15 2 D.20 2 ( ) )

3.过点 (2,0) 的直线l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 x 有两个交点,则 斜率k 的取值范围是 A. (?2 2,2 2 ) B. (? 2 , 2 ) C. (? 2 , 2 ) 4 4 D. (? , )

1 1 8 8

4.已知直线 ax ? by ? c ? 0 与圆 O: x 2 ? y 2 ? 1相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 3 , 则 OA? OB = 5. 若 圆 x ? y ? mx ?
2 2

.

1 ? 0 与 直 线 y ? ?1 相 切 , 且其 圆 心 在 y 轴 的 左 侧, 则 m 的 值 4
2


2

.
2 2

6.若曲线 x ? y ? a x ? (1 ? a ) y ? 4 ? 0 关于直线 y ? x ? 0 的对称曲线仍是其本身,则实 数a? .

7.(2012 年高考(山东文) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一 )

单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0), 圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,

??? ? OP 的坐标为__

__.

8.(2012 年高考(江苏) 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 8x ? 15 ? 0 ,若直线 )

y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值
是_ ___.

9.设方程 x2 ? y 2 ? 2(m ? 3) x ? 2(1 ? 4m2 ) y ? 16m4 ? 9 ? 0 ,若该方程表示一个圆,求 m 的 取值范围及这时圆心的轨迹方程. 10. 已 知 圆 C 的 圆 心 在 直 线 x ? y ? 4 ? 0 上 , 并 且 通 过 两圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 和

C2 : x2 ? y 2 ? 4 y ? 3 ? 0 的交点,(1)求圆 C 的方程; (2)求两圆 C1 和 C2 相交弦所在的直线方程.
作业答案 1.A 2. B 3.C 4. ?

1 2 . 5. 3 . 6. ? 2 2

7. (2 ? sin 2,1 ? cos 2)

8.

4 3

7【解析】:根据题意可知圆滚动了 2 单位个弧长,点 P 旋转了 2 弧度,此时点 P 的坐标为

x P ? 2 ? cos(2 ? ) ? 2 ? sin 2, 2 ? y P ? 1 ? sin(2 ? ) ? 1 ? cos 2, . 2 OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos 2)
另解:根据题意可知滚动制圆心为(2,1)时的圆的参数方程

?

C D

? x ? 2 ? cos? 3? ? 2, 为? ,且 ?PCD ? 2, ? ? 2 y ? 1 ? sin ? ?

3? ? ? x ? 2 ? cos( 2 ? 2) ? 2 ? sin 2 则点 P 的坐标为 ? ,即 OP ? (2 ? sin 2,1 ? cos2) . 3? ? y ? 1 ? sin( ? 2) ? 1 ? cos 2 2 ?
8【解析】∵圆C 的方程可化为: ? x ? 4? ? y2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1.
2

∵由题意,直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A( x0 , kx0 ? 2) ,以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点; ∴存在 x0 ? R ,使得 AC ? 1 ?1 成立,即 AC min ? 2 . ∵ AC min 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 ∴ k 的最大值是

4k ? 2 k 2 ?1

,∴

4k ? 2 k 2 ?1

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 . 3

4 . 3

9. 【解析】配方得: ? x ? (m ? 3)? ? ? y ? (1 ? 4m2 ) ? ? 1 ? 6m ? 7m 2 ,该方程表示圆,则有 ? ?
2 2

?x ? m ? 3 1 ,消去 m ,得 1 ? 6m ? 7m2 ? 0 ,得 m ( ? ,1) ,此 时圆 心的 轨迹 方程 为 ? 2 7 ? y ? 4m ? 1

y ? 4(x ? 3)2 ? 1 , 由 m ( ? y ? 4 x ? 2 ? , x?( ( 3) 1
20 , 4) 7

1 20 , 1得 x ? m ? 3 ? ( , 4) ? 所 求 的 轨 迹 方 程 是 ) 7 7

20 , 4) 7

注意:方程表示圆的充要条件,求轨迹方程时,一定要讨论变量的取值范围,如题中

x?(

10【解析】(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为:

x2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? ? ( x2 ? y2 ? 4 y ? 3) ? 0 ,
即 即

(1 ? ? )( x2 ? y 2 ) ? 4x ? 4? y ? 3? ? 3 ? 0 ,
x2 ? y2 ?

4x 4?y ? ? 3 =0, 1? ? 1? ? 2 2? 圆心为 ( , ), 1? ? 1? ?
由于圆心在直线 x ? y ? 4 ? 0 上, ∴

2 2? 1 ? ? 4 ? 0 , 解得 ? ? ? , 1? ? 1? ? 3
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所求圆的方程为: x2 ? y 2 ? 6x ? 2 y ? 3 ? 0

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(2)将圆 C1 和圆 C2 的方程相减得: x ? y ? 0 ,此即相交弦所在的直线方程. 五、 【教后反思】 1.本部分内容在高考时主要考查圆的一般方程和标准方程的求法,结合圆的几何性质,考查 数形结合的数学思想,可以单独考小题,如 2012 山东文,也可以结合椭圆双曲线在解答题 中作为一问或者是作为进一步研究其他问题的基础出现. 2.复习时立足基础知识和基本题型, 既考虑通解通法的复习, 同时要注意对学生能力的培养.


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