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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 12.4 复数课件 文 北师大版_图文

时间:2016-04-24

12.4

复数

-2-

考纲要求:1.理解复数的概念.理解复数相等的充要条件. 2.了解复 数的代数表示法及其几何意义. 3.能进行复数代数形式的四则运 算,了解两个具体复数相加、相减的几何意义.

-3-

1.复数的有关概念 (1)复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它 的实部和虚部.若b=0,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi为虚数;若a=0,且 b≠0,则a+bi为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c,且b=d(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi与c+di共轭?a=c,且b=-d(a,b,c,d∈R). (4)复平面:用直角坐标平面内的点来表示复数时,称这个直角坐 标平面为复平面,x轴称为实轴,y轴称为虚轴.实轴上的点都表示 实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数;各象限内的点都表示非 纯虚数. (5)复数的模:向量的模 r 叫作复数 z=a+bi 的模,记作|z|或 |a+bi|,即|z|=|a+bi|= 2 + 2 .

-4-

2.复数的几何意义 (1)复数 z=a+bi (2)复数 z=a+bi 复平面内的点 Z(a,b)(a,b∈R). 平面向量=(a,b)(a,b∈R).

3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 ①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z1· z2=(a+bi)· (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;

④除法:1 = +i = (+i)(-i) =
2



+i

(+i)(-i)

+ 2 +

2 +

2 i(c+di≠0). 2 +

-

-5-

(2)复数加法的运算定律:复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). (3)复数加、减法的几何意义

①复数加法的几何意义:若复数 z1,z2 对应的向量1 , 2 不共
线,则复数 z1+z2 是以1 , 2 为两邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数.

②复数减法的几何意义:复数 z1-z2 是1 ? 2 = 2 1 所对应
的复数.

-61 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“ ”,错误的打“×”. (1)若a∈C,则a2≥0. ( × ) (2)已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数. ( × ) (3)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi. ( × ) (4)复数的模等于复数在复平面上对应的点到原点的距离,也等于 复数对应的向量的模. ( ) (5)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,后加减. ( )

-71 2 3 4 5

2.已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=( A.-2-i B.-2+i C.2-i D.2+i

)

关闭

∵(z-1)i=1+i, ∴z=
C
解析 答案
1+i i

+1=

(1+i )(-i ) -i2

+1=1-i+1=2-i.
关闭

-81 2 3 4 5

3.若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于 ( ) A.3,-2 B.3,2 C.3,-3 D.-1,4

关闭

由已知得3-2i=a+bi,

∵a,b∈R,∴a=3,b=-2.故选A.
A 解析

关闭

答案

-91 2 3 4 5

4.(2015四川,文11)设i是虚数单位,则复数 i- i =

1

.

1 2i i- =i-(-i)=2i. i

关闭 关闭

解析

答案

-101 2 3 4 5

5.(2015重庆,理11)设复数a+bi(a,b∈R)的模为 3 ,则(a+bi)(abi)= .

关闭

因为复数 a+bi 的模为 3,所以 2 + 2 = 3, 即 a2+b2=3. 于是(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2+b2=3.
3
解析

关闭

答案

-111 2 3 4 5

自测点评 1.在复数范围内实数的一些性质不一定成立,无解的一元二次方 程在复数范围内都有解,且方程的根成对出现. 2.在复数中,两个虚数不能比较大小. 3.利用复数相等,如a+bi=c+di列方程时,a,b,c,d∈R是前提条件.

-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1复数的有关概念 1+ 例1(1)(2015课标全国Ⅰ,理1)设复数z满足 1- =i ,则|z|=(
A.1 B. 2 C. 3 D.2

)

关闭


A

1+ 1-

=i,
i -1 (i -1)(-i+1)
关闭

∴z=i+1 = (i+1)(-i+1)=i,∴|z|=1.
解析

答案

-13考点1

2 (2)下面是关于复数 z=-1+i 的四个结论:

考点2

考点3

知识方法

易错易混

p1:|z|=2;p2:z2=2i; p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1. 其中正确的是( ) A.p2,p3 B.p1,p2 C.p2,p4 D.p3,p4

关闭

z=
C

2(-1-i )

(-1+i )(-1-i )

=-1-i,故|z|= 2,p1 错误;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2 正确;z 的共
关闭

轭复数为-1+i,p3 错误;p4 正确.

解析

答案

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)(2015 课标全国Ⅱ,文 2)若 a 为实数,且 则 a=(
A.-4

2+i =3+i, 1+i

)
B.-3 C.3 D.4

关闭

(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.

∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0, ∴ D a=-2.
解析

关闭

答案

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:求解与复数概念相关问题的基本思路是什么? 解题心得:求解与复数概念相关问题的基本思路为: 复数的分类、复数的相等、复数的模,共轭复数以及求复数的实 部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的 问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根据 题意求解.

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练1 (1)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为(

)

A.- 4

4 B.5

C.4

4 D. 5

关闭

∵(3-4i)z=|4+3i|, 5 5(3+4i ) 3 4 ∴z=3-4i = (3-4i )(3+4i ) = 5 + 5i.
D
解析

关闭

答案

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)复数 z= 的共轭复数是( 2+i A.2+i B.2-i C.-1+i D.-1-i

-3+i

)

关闭

z=
D

-3+i 2+i

=

(-3+i )(2-i ) (2+i )(2-i )

=

-5+5i 5

=-1+i,故 z 的共轭复数为-1-i.
关闭

解析

答案

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值 为 .

关闭

(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i.

∵(1-2i)(a+i)是纯虚数,∴a+2=0,且1-2a≠0, ∴ -2 a=-2.
解析

关闭

答案

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2复数的几何意义 2i 例2(1)(2015安徽,理1)设i是虚数单位,则复数 1-i 在复平面内所对 应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

关闭

由复数除法的运算法则可得, 在第二象限.故选 B.
B

2i

1-i

=

2i (1+i ) (1-i )(1+i )

=

2i -2 2

=-1+i,对应点为(-1,1)
关闭

解析

答案

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i

关闭

由题意知:z2=-2+i. 又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.
A 解析 答案
关闭

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么? Z(a,b) 解题心得:1.复数z=a+bi(a,b∈R)

=(a,b)
2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复 数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法, 使问题的解决更加直观.

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

3 + 2i

对点训练2 (1)(2015江西赣州高三摸底考试)在复平面内,复数 2-3i 对应的点的坐标为( )

A.(0,-1) C.
12 ,-1 13

B. D.

13 0,9 12 13 ,9 9

关闭

2-3i 3+2i

=

(2-3i )(3-2i )

(3+2i )(3-2i )

=-i,该复数对应的点的坐标为(0,-1),故选 A.
关闭

A
解析 答案

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)(2015石家庄二中一模)如图,在复平面内,若复数z1,z2对应的向 量分别是 , ,则复数z1+z2所对应的点位于( )

A.第一象限 B.第二象限 由题图知A(1,2),B(1,-1),所以z1=1+2i,z2=1-i,所以z1+z2=1+2i+1-i=2+i,其在 C.第三象限 D.第四象限
复平面内对应的点为(2,1),在第一象限,故选A.
A 解析

关闭

关闭

答案

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3复数的代数运算 例3(1)设i是虚数单位,则复数(1-i)(1+2i)= ( A.3+3i B.-1+3i C.3+i D.-1+i

)

关闭

由复数的乘法运算法则,得(1-i)(1+2i)=1-i+2i-2i2=1+i+2=3+i,因此选C.
关闭

C 解析 答案

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)(2015河北石家庄一模)已知i为虚数单位,则复数
1-3i =( 1+i

)
D.-1-2i

A.2+i B.2-i C.-1+2i

关闭

复数
D

1-3i 1+i

=

(1-3i )(1-i ) 2

=

-2-4i 2

=-1-2i,故选 D.
关闭

解析

答案

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么? 解题心得:利用复数的四则运算求复数的一般方法为: (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复 数进行运算化简.

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 (1)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则 (a+bi)2=( ) A.3-4i B.3+4i C.4-3i D.4+3i

关闭

∵a+i=2-bi,∴a+bi=2-i,即(a+bi)2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i.
关闭

A 解析 答案

-28考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

2 (2)已知 (1-i) =1+i(i为虚数单位),则复数z=(



)

A.1+i B.1-i C.-1+i

D.-1-i

关闭

由已知得 z=
D

(1-i )2 1+i

=

-2i 1+i

=

-2i (1-i ) (1+i )(1-i )

=

-2-2i 2

=-1-i.
关闭

解析

答案

-29考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=( A.2+3i B.2-3i C.3+2i

) D.3-2i

关闭

∵(z-2i)(2-i)=5,∴z-2i=2-i . ∴z=2i+ 2-i =2i+(2-i )(2+i )=2i+2+i=2+3i.故选 A.
A
解析
5 5(2+i )
关闭

5

答案

-30考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.复数z=a+bi(a,b∈R)是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复 数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于 一个复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数看成 一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则,其方 向是应注意的问题,平移往往和加法、减法相结合. 3.在复数的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行, 除法则需分母实数化.

-31考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.判定复数是不是实数,仅注意虚部等于0是不够的,还需考虑它 的实部是否有意义. 2.注意复数和虚数是包含关系,不能把复数等同为虚数,如虚数不 能比较大小,但两个复数都为实数时,则可以比较大小. 3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数 2 2 集中来.例如,若z1,z2∈C, 1 + 2 =0 ,就不能推出z1=z2=0;z2<0在复 数范围内有可能成立.

-32-

思想方法——数形结合的思想在复数中的应用 数形结合的思想是高考考查的基本思想之一,它是将抽象的数学 语言与直观的图象结合起来,可将代数问题几何化,几何问题代数 化.其应用有两个方面:一是“以形助数”,借助形的生动、直观来阐 明数之间的联系;二是“以数辅形”,借助于数的精确、规范来阐明形 的某些属性.

-33-



典例已知复数 z=x+yi(x,y∈R),且|z-2|= 3,则的最大值
. 答案 : 3 解析 :∵|z-2|= (-2 )2 + 2 = 3,∴(x-2)2+y2=3.由图可知



max

=

3 1

= 3.

-34-


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