nbhkdz.com冰点文库

交大附中2014版高考数学第一轮复习训练:空间几何体(word版含答案)

时间:2014-06-03

上海交通大学附中 2014 版《创新设计》高考数学一轮复习考前抢分 必备单元训练:空间几何体
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.以下四个命题: ① 正棱锥的所有侧棱相等; ② 直棱柱的侧面都是全等的矩形; ③ 圆柱的母线垂直于底面; ④ 用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形. 其中,真命题的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】B 2.下列命题中正确的是( ) A.若 a∥?,?⊥?,则 a⊥? B.?⊥?,?⊥?,则 ?⊥? C.a⊥?,?⊥?,则 a∥? D.?∥?,a?? 则 a∥? 【答案】D 3.若 A(1, ?2,1) , B(4, 2,3) , C (6, ?1, 4) ,则 ?ABC 的形状是( )

A.不等边锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边 三角形 【答案】A 4.m 和 n 是分别在两个互相垂直的面α 、β 内的两条直线,α 与β 交于 l,m 和 n 与 l 既不 垂直,也不平行,那么 m 和 n 的位置关系是 ( ) A.可能垂直,但不可能平行 B.可能平行,但不可能垂直 C.可能垂直,也可能平行 D.既不可能垂直,也不可能平行 【答案】D 5.下列说法中正确的是( ) ①三角形一定是平面图形;②若四边形的两条对角线相交于一点,则该四边形是平面图形; ③圆心和圆上两点可以确定一个平面;④三条平行线最多可确定三个平面。 A.①③④ B. ②③④ C.①②④ D. ①②③ 【答案】C 6.如左图所示,△ADP 为正三角形,四边形 ABCD 为正方形,平面 PAD⊥平面 ABCD.M 为平 面 ABCD 内的一动点,且满足 MP=MC.则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为右图中的(O 为正 方形 ABCD 的中心)( )

第 1 页 共 11 页

【答案】A 7.如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,交于顶点 A 的三条棱长分别为 AD ? 3 , AA1 ? 4 ,

AB ? 5 ,则从 A 点沿表面到 C1 的最短距离为(

)

A. 5 2 【答案】B

B. 74

C. 4 5

D. 3 10

8.已知向量 a ? (0, ?1,1) , b ? (4,1, 0) , ? a ? b ? A. ?1 或 2 【答案】B B.2 C. ?1

?

?

?

?

21 且 ? ? 0 ,则 ? 的值为 (
D.1

)

9.在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球,则小球半径 r 的最大值为(

)

? A.

6 ? 2 ?R

B.

?

2 ? 1?R

1 R C. 4

1 R D. 3
)

【答案】A 10.长度分别为 1,a,a,a,a,a 的线段能成为同一个四面体的 6 条棱的充要条件是( A. 0 ? a ?

3

B. 0 ? a ? 2

C. a ?

3 3

D.

3 ?a? 3 3

【答案】C 11.下面列举的图形一定是平面图形的是( ) A.有一个角是直角的四边形 B.有两个角是直角的四边形 C.有三个角是直角的四边形 D.有四个角是直角的四 边形 【答案】D 12.若一个棱锥的各棱长均相等,则该棱锥一定不是( ) A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 【答案】D 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, 若点 P 是棱上一点, 则满足 PA ? PC1 ? 2 的点 P 的个数为 . 第 2 页 共 11 页

【答案】6 14.在空间直角坐标系中,点 P(2, ?4, 6) 关于 y 轴对称点 P ' 的坐标为 【答案】 P?(?2, ?4, ?6) 15.如图,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,且直角 3 三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为 ____________cm .

【答案】

1 6
?

16.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120 的等腰三角形,则该三棱 锥的表面积为

【答案】 4 ? 3 ? 15 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.如图,已知直三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱长为 2,底面△ABC 是等 腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D 是 A A1 的中点.

第 3 页 共 11 页

(Ⅰ)求异面直线 AB 和 C1D 所成的角(用反三角函数表示) ; (Ⅱ)若 E 为 AB 上一点,试确定点 E 在 AB 上的位置,使得 A1E⊥C1D; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求点 D 到平面 B1C1E 的距离. 【答案】 (Ⅰ)法一:取 CC1 的中点 F,连接 AF,BF,则 AF∥C1D.

∴∠BAF 为异面直线 AB 与 C1D 所成的角或其补角. ∵△ABC 为等腰直角三角形,AC=2,∴AB= 2 2 . 又∵CC1=2,∴AF=BF= 5 . ∵cos∠BAF= 2 ? 10 ,
5 5

∴∠BAF= arccos 10 ,
5

即异面直线 AB 与 C1D 所成的角为 arccos 10 .
5

法二:以 C 为坐标原点,CB,CA,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,

则 A(0,2,0) ,B(2,0,0) , C1(0,0,2) ,D(0,2,1) , ∴ AB =(2,-2,0) C1 D =(0,2,-1) , . 由于异面直线 AB 与 C1D 所成的角 为向量 AB 与 C1 D 的夹角或其补角. 第 4 页 共 11 页

设 AB 与 C1 D 的夹角为 ? , 则 cos ? =

?4 10 =? , 5 2 2? 5
10 , 5

∴ ? = ? ? arccos

即异面直线 AB 与 C1D 所成的角为

arccos

10 . 5

(Ⅱ)法一:过 C1 作 C1M⊥A1B1,垂足为 M,则 M 为 A1B1 的中点,且 C1M⊥平面 AA1B1B.连接 DM. ∴DM 即为 C1D 在平面 AA1B1B 上的射影. 要使得 A1E⊥C1D, 由三垂线定理知,只要 A1E⊥DM. ∵AA1=2,AB=2 2 , 由计算知,E 为 AB 的中点. 法二:过 E 作 EN⊥AC,垂足为 N,则 EN⊥平面 AA1C1C.连接 A1N. ∴A1N 即为 A1E 在平面 AA1C1C 上的射影. 要使得 A1E⊥C1D, 由三垂线定理知,只要 A1N⊥C1D. ∵四边形 AA1C1C 为正方形, ∴N 为 AC 的中点, ∴E 点为 AB 的中点. 法三:以 C 为坐标原点,CB,CA,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,

则 A1(0,2,2) ,B(2,0,0) , C1(0,0,2) D(0,2,1) , , 第 5 页 共 11 页

设 E 点的坐标为(x,y,0), 要使得 A1E⊥C1D, 只要 A1 E · C1 D =0, ∵ A1 E =(x,y-2,-2) ,

C1 D =(0,2,-1) ,
∴y=1. 又∵点 E 在 AB 上, ∴ AE ∥ AB .∴x=1. ∴E 点为 AB 的中点. (Ⅲ)法一:取 AC 中点 N,连接 EN,C1N,

则 EN∥B1C1. ∵B1C1⊥平面 AA1C1C, ∴面 B1C1NE⊥平面 AA1C1C. 过点 D 作 DH⊥C1N,垂足为 H, 则 DH⊥平面 B1C1NE, ∴DH 的长度即为点 D 到 平面 B1C1E 的距离. 在正方形 AA1C1C 中,由计算知 DH=

3 5 , 5

即点 D 到平面 B1C1E 的 距离为 法二:连接 DE,DB1.

3 5 . 5

第 6 页 共 11 页

在三棱锥 D—B1C1E 中,点 C1 到平面 DB1E 的距离 为 2 ,B1E= 6 ,DE= 3 ,

又 B1E⊥DE,∴△DB1E 的面积为

3 2 , 2

∴三棱锥 C1—DB1E 的体积为 1. 设点 D 到平面 B1C1E 的距离为 d,在△B1C1E 中,B1C1=2,B1E= C1E= 6 , ∴△B1C1E 的面积为 5 .由 ? d ? 5 ? 1 ,

1 3

得 d=

3 5 3 5 ,即点 D 到平面 B1C1E 的距离为 . 5 5

18.将两块三角板按图甲方式拼好,其中 ?B ? ?D ? 90? , ?ACD ? 30? , ?ACB ? 45? , AC ? 2 ,现将三角板 ACD 沿 AC 折起,使 D 在平面 ABC 上的射影恰好在 AB 上,如图乙. (Ⅰ)求证: AD ? 平面 BDC ; (Ⅱ)求二面角 D ? AC ? B 的余弦值;

【答案】 (1)设 D 在 AB 的射影为 O ,则 DO ? 平面 ABC , ? DO ? BC , 又 BC ? BA ,?BC ? 平面 ADB ? BC ? AD ,又 AD ? CD ,? AD ? 平面 BDC (2)由(1) AD ? BD ,又 AD ? 1, AB ? 2 ,? BD ? 1

?O 为 AB 中点

以 OB 为 x 轴, OD 为 z 轴,过 O 且与 BC 平行的直线为 y 轴建系,则

A(?

2 2 2 2 ,0,0), B( ,0,0), C ( , 2,0), D(0,0, ) 2 2 2 2
第 7 页 共 11 页

?? ???? ? ?? ???? ? ?? ? ?? ? 设 n1 ? ( x, y, z ) 为平面 ACD 的法向量,由 n1 ? AC ? 0, n1 ? AD ? 0 ,可得 n1 ? (1, ?1, ?1)
?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? n1 ? n2 3 易知 n2 ? (0,0,1) 为平面 ABC 的法向量, cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? ? ? ? 3 n1 ? n2

因为所求二面角是锐角,所以所求二面角的余弦值为

3 。 3

19.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,垂足为 A,PA=AB,点 M 在棱 PD 上,PB∥平面 ACM. (1)试确定点 M 的位置; (2)计算直线 PB 与平面 MAC 的距离; (3)设点 E 在棱 PC 上,当点 E 在何处时,使得 AE⊥平面 PBD?

P

M

A B C

D

【答案】 (1)设 AC ? BD ? O ,则点 O 为 BD 中点,设点 M 为 PD 中点 ∵在△PBD 中,PB∥OM, OM ? 平面 ACM,∴PB∥平面 ACM (2)设 AB=1,则 PA=AB=1,∵底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,∴CD⊥PD, ∴ AM ? 2 , AC ? 2, MC ? 6 ,∴ AM 2 ? MC 2 ? AC 2 ,∴ S MAC ? 3 ,取 AD 中点为 F,连
2 2 4

1 ,又∵PB∥平面 ACM,M 为 PC 的中点,∴直线 PB 2 与平面 MAC 的距离为点 D 到平面 MCA 的距离,设为 h 由 VM ? ACD ? VD ? ACM 可得 h ? 3
结 MF,则 MF∥PA,MF⊥平面 ABCD,且 MF=
3

(3)以 A 为原点,AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系

则 B(1,0,0),D(0,1, 0),P(0,0,1), C(1,1,0),设平面 PBD 的法向量 n ? ( x , y, z )

第 8 页 共 11 页

则法向量 n ? (1,1,1) ,设 PE ? ? PC , 则 E (? , ? ,1 ? ? ) ,∵AE⊥平面 PBD,∴ AE / / n ∴? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 ,即点 E 为 PC 中点. 2

20.如图,已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中 点.

(1)求证: MN // 平面 PAD ; (2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 , 求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小 【答案】(1D 的中点 E 连结 NE,AE 易证 MNEA 为平行四边形 所以 MN//AE,可得 MN//面 ABD (2AC,BD 交于点 O 连结 OM,ON,由中位线定理可得 MN//PA, OM//BC,所以 ? ONM 为异面直线 MN 与 PA 所成的角,由余弦定理可得 ? ONM=300 21.如图,平面四边形 ABCD 关于直线 AC 对称, ?A ? 60 ? , ?C ? 90 ? , CD ? 2 ,把△ABD 沿 BD 折起(如图) ,使二面角 A―BD―C 的余弦值等于 3 。对于下图,完成以下各小题:
3

(1)求 A,C 两点间的距离; (2)证明:AC ? 平面 BCD; (3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值。 【答案】 (1)取 BD 的中点 E,连接 AE,CE, 由 AB=AD,CB=CD 得, AE ? BD,D, ? BD,

??AEC 就是二面角 A―BD―C 的平面角,
在△ACE 中, AE ? 6,CE ?

2,

第 9 页 共 11 页

(2)由 AC=AD=BD=2 2 ,AC=BC=CD=2,

(3)以 CB,CD,CA 所在直线分别为 x 轴,y 轴和 z 轴建立空间直角坐标系 C-xyz,



22. 如图, 在三棱拄 ABC ? A1 B1C1 中, ? 侧面 BB1C1C , 已知 BC ? 1, CC1 ? 2, AB ? AB

2,

?BCC1 ?

?
3

(1)求证: C1 B ? 平面ABC ; (2) 、当 E 为 CC1 的中点时,求二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切值. 【答案】 (1)因为 AB ? 侧面 BB1C1C ,故 AB ? BC1 在 ? BC1C 中,

第 10 页 共 11 页

BC ? 1, CC1 ? BB1 ? 2, ?BCC1 ?

?
3

由余弦定理有

BC1 ? BC 2 ? CC12 ? 2 ? BC ? CC1 ? cos ?BCC1 ???? 1 ? 4 ? 2 ? 2 ? cos
BC 2 ? BC12 ? CC12 ????????? C1B ? BC


?
3

? 3

故有

BC ? AB ? B 且 AB, BC ? 平面 ABC

? C1 B ? 平面ABC
(2)取 EB1 的中点 D , A1 E 的中点 F , BB1 的中点 N , AB1 的中点 M , 连 DF 则

DF // A1 B1 ,连 DN 则 DN // BE ,连 MN 则 MN // A1 B1 连 MF 则 MF // BE ,且 MNDF
为矩形,

MD // AE 又? A1B1 ? EB1 , BE ? EB1
中, DF ?

故 ?MDF 为所求二面角的平面角在 Rt? DFM

1 2 A1 B1 ? (? ?BCE为正三角形) 2 2

1 2 1 1 1 MF ? BE ? CE ? ? tan ?MDF ? 2 ? 2 2 2 2 2 2 ??? ???? ???? ???? ? ? (法二: 建系:由已知 EA ? EB1 , B1 A1 ? EB1 , 所以二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角 ? 的
大小为向量 B1 A1 与 EA 的夹角因为 B1 A1 ? BA ? (0, 0, 2)

???? ?

??? ?

???? ?

??? ?

??? ? 3 1 EA ? (? , ? , 2) 2 2

??? ???? ? ? EA ? B1 A1 2 2 故 cos ? ? ??? ???? ? ? tan ? ? ? ? 2 3 EA ? B1 A1



第 11 页 共 11 页


交大附中2014版高考数学第一轮复习训练:导数及其应用(w....doc

交大附中2014版高考数学第一轮复习训练:导数及其应用(word版含答案)_数学

...附中高三下学期返校训练数学试卷 Word版含答案bybao....doc

上海市交大附中高三下学期返校训练数学试卷 Word版含答案bybao - 上海交大附中高三数学返校训练 一、填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1....

...届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案_图....doc

陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案_高考_...交大附中 2014~2015 学年第一学期 高三数学(理)期中考试试题 第Ⅰ卷(选择题...

上海市交大附中2019届高三高考一模试卷数学试题 Word版含解析_....doc

试卷数学试题 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育...考察空间几何体,而柱体的外接球球心即为体对角线...上海市交大附中2014届高... 3页 1下载券 上海...

...附中高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案_....doc

陕西省西安交大附中高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案 - 交大附中 2014~2015 学年第一学期 高三数学(理)期中考试试题 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) ...

...2014学年高一下学期期末考试数学试题Word版含答案.doc

【全国百强校】上海市交大附中2013-2014高一下学期期末考试数学试题Word版含答案 - 一、填空题(本大题共 12 题,每题 3 分,满分 36 分) 1. 数列 1, ...

...年上海市交大附中高三(下)开学数学试卷(Word答案).doc

2017-2018上海市交大附中高三(下)开学数学试卷(Word答案)_高三数学_数学_高中...1,将梯形 ABCD 沿 AE、BF 同侧 折起,使得 AF⊥BD,DE∥CF,得空间几何体 ...

...2015届高三上学期期中考试英语试题Word版含答案.doc

陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试英语试题Word版含答案_英语_高中教育...www.ewt360.com 升学助考一网通 交大附中 2014~2015 学年第一学期 高三英语...

...2015届高三上学期期中考试生物试题Word版含答案.doc

陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试生物试题Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。交大附中 2014~2015 学年第一学期 高三生物期中考试试题 第I卷 一、...

...2015届高三上学期期中考试历史试题Word版含答案.doc

陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试历史试题Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。交大附中 2014~2015 学年第一学期 高三历史期中考试试题 注意:本试题共...

...2015届高三上学期期中考试化学试题Word版含答案.doc

陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试化学试题Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。交大附中 2014~2015 学年第一学期 高三化学期中考试试题 相对原子质量:...

...下学期开学摸底考试数学(文理)合卷Word版含答案.doc

《首发》上海交大附中2016届高三下学期开学摸底考试数学(文理)合卷Word版含答案 - 上海市高三 SOEC (八校联考)数学试卷 一、填空题: 1、已知全集U ? R ,集合...

...2014届高三第一次模拟考试历史试题Word版含答案[ _....doc

陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2014高三第一次模拟考试历史试题Word版含答案[ _政史地_高中教育_教育专区。...

...2014届高三第一次模拟考试物理试题 Word版含答案[.doc

陕西省长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学2014高三第一次模拟考试物理试题 Word版含答案[_理化生_高中教育_教育专区。...

...2015届高三上学期期中考试政治试题Word版含答案.doc

陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试政治试题Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。交大附中 2014~2015 学年第一学期 高三政治期中考试试题 ...

...2015届高三上学期期中考试物理试题Word版含答案.doc

陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试物理试题Word版含答案_高中教育_教育专区。陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试 交大附中 2014~2015 学年第一...

...届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案_图....doc

陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案 - 交大附中 2014~2015 学年第一学期 高三数学(理)期中考试试题 第Ⅰ卷(选择题 共 50 ...

...届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案_图....doc

陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试数学()试题Word版含答案_高中教育...陕西省西安交大附中2015届高三上学期期中考试 交大附中 2014~2015 学年第一学期...

...2014学年高二下学期期末考试数学试题Word版含答案.doc

【全国百强校】上海市交大附中2013-2014高二下学期期末考试数学试题Word版含答案 - (满分 150 分,120 分钟完成,答案一律写在答题纸上) 一、填空题(本大题...

北方交大附中2013届高三数学假期作业检测(理科) Word版含答案_....doc

北方交大附中2013届高三数学假期作业检测(理科) Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。北方交大附中2013届高三数学假期作业检测(理科) Word版含答案 ...