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南大2006级概率论与数理统计模拟试题B答案

时间:2012-12-29


2006 级概率论与数理统计模拟试题 B 答案
一、填空题
症的概率是 .02,若医生能正确 0 1. 某地区成年人患某种癌 诊断某一癌症病人具有 癌症的概率是 .78 0 ,而将健康人误诊为癌 症患者 的概率是0.06,则某人经诊断患有癌 症的概率是 解 填0.0 7 4 4

?, 令A ? ? 成 年 人 患 癌 症 某
由全概率公式 ?B? ? P?BA?P? A? ? P?BA ?P?A ? P

? B ?? 医生诊断患有癌症。依题意, ? A? ? 0.02, P?BA? ? 0.78. P
又P?A ? ? 0.98, P?BA ? ? 0.06
? 0.78 ? 0.02 ? 0.06 ? 0.98 ? 0.0744

2. 设随机变量 服从均匀分布 ?? 1,1?, 则Y ? X 的概率密度 X U

f Y ? y ? ? _ _ _ _ _ _ _. _ _ _
解:当0 ? y ? 1时 1 du ? y , ?y 2 当y ? 1时,FY ? y ? ? 1,故
y

FY ? y ? ? P ? X ? y? ? ? ?1, 0 ? y ? 1 f y ( y) ? ? ?0, y ? 1

3. 设离散随机向量 ? X , Y ?的分布列为pij ? 则: ? P ? X ? 2, Y ? 2? ? _____________; ?1

i? j , i ? 0,1, 2,3; j ? 0,1, 2. 30

? 2 ? P ? X ? Y ? ? __________________; ? 3? P ? X ? Y ? 4? ? ________________ . ?i ? j ? ? 7 解:P ? X ? 2, Y ? 1? ? ? ?
i ?3 j ? 0,1

30

30

,

P?X ? Y? ? ?
i? j

?i ? j ? ? 3
30 5

4 15 4.设随机向量(X Y)的概率密度为 P ? X ? Y ? 4? ?

?k , ? f ( x, y ) ? ? ?0, ?

0 ? x ? 1, 0 ? y ? x 其它

则: (1) k=__________________. (2) E(XY)=_________________.
解:(1) 1 ? ? dx ? kdy ? ? kxdx ?
0 0 0 1 x 1

k 2 1 4

故k ? 2, (2) E ( X ) ? 2 ? xdx ? ydy ? ? x 3dx ?
0 0 0 1 x 1

5. E ( X ) ? 10, D( X ) ? 4.由切比雪夫不等式, 若P{ X ?10 ? c} ? 0.04, 则c ?
解 : 填10. P{ X ? 10 ? c} ? P{ X ? ? ? ? } ? D( X )

.

c

2

?

4

c

2

? 0.04故c ? 10.

D( X )

?

2

, 取? ? c.

6.设总体X服从两点分布
X P 1 0

p

q

(q ? 1 ? p ), 0 ? p ? 1 又设总体Y也服从两点分布
Y P 1 0

p

q

(q2 ? 1 ? p2 , 0 ? p2 ? 1) 设X 1,X 2, , X n1为来自总体X 的样本,Y1,Y2, , Yn 2为来自总体Y的样本,组样本独立,则: ? ? 2 ()p1 ? p2的一个无偏估计是_______________________________ 1 (2)这一无偏估计的方差是_________________________________

解(1)填 x ? y ;(2) 1 n1 (1) x ? ? xi n1 i ?1 E(x ) ?

p1q1 p2 q2 ? n1 n2

np 1 n1 1 ? E ( xi ) ? 1n 1 ? p1 , 又y ? n n1 i ?1 1 2

E ? y ,(Y)? p
i ?1 i

n2

2

故 E(x ? y) E x) E y) p1 ? p2 ?( ?( ? 即 x ? y是p1 ? p2的无偏估计。 (2)D x ? y) D x) D y) ( ? ( ?( ? D X) p1q1,D Y) p2 q2 . ( ? ( ? 因x, y 独立,故D(x ? y ) ? D ( x ) ? D ( y ) p1q1 p2 q2 ? n1 n2

7.设总体X 服从正态分布? ( ? , ? 2 ),?,? 2未知,X 1 , X 2, , X n是来自 ? 该总体的样本,记X ,S 2为样本均值与样本方差,对 ()? 0:? ? 1, ?1:? ? 1的检验统计量t ? 1 ( (2)? 0:? ? 1, ?1:? ? 1, 拒绝域W ? ( ) . ),拒绝域W ? ( );

解()填: 1

(? ? 1 n ) , ? t0 (n ? 1)};(2)填: ? ?ta (n ? 1)}. {t {t s

二、选择题

1.已知A, B两个事件满足 ? AB? ? P?A B ?, 且P? A? ? p, 则P?B ? ? ? ? P

? A? p


?B?1 ? p
选?B?

?C ?1 ? p 2

?D??1 ? p?2

P?A B ? ? P? A ? B? ? 1 ? p? A ? B? ?

1 ? P? A? ? P?B? ? P? AB?

由 题 设 条 件 ?A B ? ? P? AB?, 得 P,

P? AB? ? 1 ? P? A? ? P?B? ? P? AB?

即 P? A? ? P?B? ? 1. P? A? ? p, 得P?B? ? 1 ? p. 由

2. 某种型号的电子管的寿命X (以小时计)具有概率密度 ?1000 , ? f ( x) ? ? x 2 ? 0 ? x ? 1000 其它

现有大批这种电子管,从中任取5只, 则至少有2只寿命大于1500小时的概率是(  ) 2 1 11 232 (A)    (B)    (C)    (D) 3 3 243 243

解  选(D)
??

P{ X ? 1500} ?

?

f ( x)dx ?

1500

1000 1000 ?? 2 dx ? ? ? 2 x x 1500 3 1500
??

?

2 设Y 表示从该批电子管中任取5只,其中寿命大于1500的只数,则Y ? B 5,)。 ( 3 P{ X ? 2} ? 1 ? P{Y ? 2} ? 1 ? P{Y ? 0} ? P{Y ? 1} 1 2 1 4 ? 1 ? )? 5 ? ? ) ( 5 ( 3 3 3 1 10 232 ? 1? 5 ? 5 ? 3 3 243 2 注:因批量很大, 1次取出5只近似于放回抽样,故Y ? B 5, )。 ( 3
4 3 3.设X , Y 是两个随机变量,且P{ X ? 0} ? P{Y ? 0} ? , P{ X ? 0, Y ? 0} ? 7 7 则P{max( X , Y ) ? 0} ? ( ). (A) 3 7 ( B) 4 7 (C ) 5 7 ( D) 6 7

解:选(C ). {max( X , Y ) ? 0} ? {( X ? 0) ? (Y ? 0)} P{max( X , Y ) ? 0} ? P{ X ? 0} ? P{Y ? 0} ? P{ X ? 0, Y ? 0} 4 4 3 5 ? ? ? 7 7 7 7 故选(C ). ?
4.设随机变量 X 的概率密度为
?2x, ? f(x) = ? ?0, ? 0<x<1 其他

则 P | X ? E ( X ) | ≥2 D( X )

?

??(

).

(A)

9?8 2 9

(B)

6?4 2 9

(C)

6?4 2 9

(D)

9?8 2 9

解:选(A)

5.设随机变量X ~ N ( ? ,1), Y ~ ? 2 (n); 又X , Y 独立. 令T ? 则下列结论正确的是( (A)T ~ t (n -1) ) (C)T ~ N (0,1)

X ?? n, Y

(B)T ~ t (n)

(D)T ~ F (1, n)

解 选(B). X~N(0,1) Y~? 2 (n), X , Y 独立,则
6. 设总体X 的概率密度为 ? ? x ? ?1 , 0 ? x ? 1 ? f ( x) ? ? 其它 ? 0 ? 其中? ? 0,? 未知,X 1 ,X 2 ?,X n为一样本,则?的矩估计为(  ) ? X ? ? X ? 1? X X (A)    (B)    (C) ? ?    (D) ? ?   X 1? X ? 1+X ? ? 1? X ?
2 2

X Y

n ~ t ( n)

解:选(D)
7.设总体X 服从于正态分布N ( ? ,? 2 ), X 1 , X 2 ,? , X n是来自X 的样本, ? 为使? ? ( A) n 1 n ? | X i ? X |为?的无偏估计量, 则k ? ( k i ?1 ( B) 2n(n ? 1) ). ( D)n

?

(C ) n ? 1

解:选(B) Xi ? X ? Xi ? 1 n n ?1 1 n Xj ? X i ? ? X j , ( j ? i) ? n j ?1 n n j ?1
2

n ?1 2 ? n ?1 ? 2 1 2 D( X i ? X ) ? ? ? ? ? ? 2 (n ? 1)? ? n n ? n ? n ?1 2 2 故X i ? X ~ N (0, ? ), E[| X i ? X |] ? n ? ? E (? ) ? 则k ? 1 n 1 n 2 E (| X i ? X |) ? ? ? k i ?1 k i ?1 ? 2n(n ? 1) n ?1 ? n

n ?1 1 2n( n ? 1) ?? ? ?? n k ?

?

.

三、计算题 1.设有 10 个数字 0,1,2…..,9,从中任取 2 个数字,求其和大于 10 的概率。 又若已知 2 个数字之和大于 10,求取出的第 1 个数字最可能是几?
解:设Bi ? ?第1个数字取得i?,i ? 0,1, 2.......9 A ? ?两数之和大于10?
则P ( Bi ) ? 又依题意 1 ,i ? 0,1, 2,3.......9 10

P( A | B0 ) ? 0, P( A | B1 ) ? 0 1 2 P( A | B2 ) ? , P( A | B3 ) ? 9 9 3 4 P( A | B4 ) ? , P( A | B5 ) ? 9 9 4 5 P( A | B6 ) ? , P( A | B7 ) ? 9 9 6 7 P( A | B8 ) ? , P( A | B9 ) ? 9 9
由全概率公式得
P( A) ? ? P( Bi ) P( A | Bi )
i ?0 9

1 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 16 ? ? (0 ? 0 ? )? 10 9 45 又由贝叶斯公式,得 P(B9 | A) ? P ( B0 ) P ( A | B9 ) 7 ? P ( A) 32

同样可求得

6 5 , P( B7 | A) ? 32 32 4 4 P( B6 | A) ? , P( B5 | A) ? 32 32 3 2 P( B4 | A) ? , P( B3 | A) ? 32 32 1 P( B2 | A) ? , P( B1 | A) ? 0 32 P( B0 | A) ? 0 P( B8 | A) ?
因为 P( B9 | A)有最大值
7 ,因而推测取出第1个数字最可能是9 . 32

2. 设X服从标准正态分布 ?0,1?, 求Y ? 2 X 2 ? 1 N 的概率密度

y ? 2 x 2 ? 1, x 2 ? y ?1 2

当y ? 1时,Y的分布函数
F Y ? y ? ? P? ? y? ? P ? X Y

? ?

2

?

y ? 1? ? ? P?? x1 ? X ? x1 ? 2 ?

其中

x1 ?

y ?1 2

从而

F Y ?y? ?

?

x1

1 2?

? x1

e

?

x2 2

dx ? ?

y ?1 2 y ?1 ? 2

1 2?

e

?

x2 2

dx ? 2?

y ?1 2

1 2?

0

e

?

x2 2

dx

对变上限求导得

fY ( y ) ?

1 2 ? ? y ? 1?

e

?

? y ?1?
4

当y ? 1时,FY ? y ? ? P? ? y? ? 0, 从而f Y ? y ? ? 0.故 Y
? y ?1 ? ? ?? ? 1 e ? 4 ?, y ?1 ? fY ? y ? ? ? 2 ? ? y ? 1? ? 0, y ?1 ?

3. 设X 与Y 相互独立,且X 与Y皆为均匀分布U ? ?a, a ? , 求Z ? X ? Y的概率密度。 ?1 ? , ?a ? x ? a 解f x ( x) ? ? 2a ?0,其它 ? ?1 ? , ?a ? y ? a fY ( y ) ? ? 2 a ?0,其它 ? fZ ( z) ? ?
?? ??

f X ( x) fY ( z ? x)dx ? ?

z?a 1 1 fY ( z ? x)dx ? ? f (u )du ? a 2a z ? a 2a Y a

1 . 2a 当z ? a ? ? a, 即z ? ?2a时,z ? a, z ? a ? 与 ? ? a, a ? 不交,故f Z ( z ) ? 0. ? 在 ? a ? u ? a时,fY (u ) ? 当 ? a ? Z ? a ? a, 即 ? 2a ? z ? 0时,z ? a, z ? a ? 与 ? ? a, a ?的交集为? ? a, z ? a ? ?

2? ? z 4? 4? 2 当 ? ? ? z ? ? ?即0 ? 〈2?时, ? ?,z ? ?)与[??,?)的交集是[z - ?,?) 〈 z [z ? 1 2? ? z f(z) ? ? du ? z 2 z ?? 4? 4? 2 当z ? ? ? ?即z ? 2?时, ? ?,z ? ?)与[??,?)不相交,f(z) 0 [z ? z f z ( z) ? ?
z ??

1

??

2

du ?

0,z ? ?2? ? ? 2? ? 2 ? , ?2? ? z ? 0 ? 4? 2 从而f(z) ? ? z ? 2? ? z , 0 ? z ? 2? ? 4? 2 ? 0, z ? 2? ? ? 1 z ), z ? 2? ? (1 ? 或f z ( z ) ? ? 2? 2? ? 0, z ? 2? ?

4.某产品的次品率为 0.1,检验员每天检验 4 次,每次随机地取 10 件产品进行 检验。如发现其中的次品数多于 1,就去调整设备。以 X 表示 1 天中调整设备的 次数,求 E(X) 。
解1:设Y 表示每次检验时随机抽取10件产品中次品的件数, 则Y 服从二项分布( , B 10 0.1). P{Y ? 1} ? 1 ? P{Y ? 1} ? 1 ? P{Y ? 0} ? P{Y ? 1}
0 9 ? 1 ? (1 ? 0.1)1 ?1C10 ? 0.1? (1 ? 0.1) ? 1 ? 1.99 0.9 ? 0.2639 ?

当Y ? 1时,需调设备。这是贝努利试验,n ? 4,而p ? 0.2639, 从而X ~ B 4, ( 0.2639)。得 E X) 4 ? 0.2639 ? 1.0556 ( ?

解2:设

Xi ? 0,第i次检验次品不超过1

?1,第i次检验次品数超过1
4 i ?1

i ? 1, 3, 2,4。 于是,X ? ? X i . 因
1 P{ X i ? 1} ? 1 ? 0.910 ? C10 ? 0.1? (0.9)9 ? 0.2639

而 E ( X i ) ? 1 ? P{ Xi ? 1} ? 0 ? P{ Xi ? 0} ? P{ Xi ? 1} ? 0.2639 i ? 1, 3, 2,4, 故 E X) ? E ( Xi ) ? 4 ? 0.2639 ? 1.0556 ( ?
i ?1 4

5.设X 1 , X 2 ,?, X n是来自正态总体N ( ? , ? 2 )的样本,
2 X n和Sn 是样本均值和样本方差,又设X n ?1是来自

N ( ? , ? 2)的新试验值,与X 1 , X 2 ,?, X n独立,求统计量 T? n X n?1 ? X n n ?1 Sn

的分布.
解E(xn ?1 ? xn ) ? E ( xn ?1 ) ? E ( xn ) ? ? ? ? ? 0 D( xn ?1 ) ? D( xn ) ? ? 2 ? 故xn ?1 ? xn ~ N (0, 从而

?2
n

?

n ?1 2 ? n

n ?1 2 ? ) n

xn ?1 ? xn ~ N (0,1) n ?1 ? n 2 (n ? 1) sn 又 ~ ? 2 (n ? 1), 且它们相互独立,故 2

?

T?

2 xn ?1 ? xn (n ? 1) sn / ~ t ( n ? 1) ? 2 (n ? 1) n ?1 ? n

6.设总体 X 服从正态分布 N (?,? 2 ), X1, X 2 ,?, X n 是来自 X 的一个样本,试确定 常数 c,使
c? ( x ? x ) 为 ? 2 的无偏估计. i ?1 i i ?1
2 n ?1

解 E[c? ( x i ?1? x i) ] = c? ( x i ?1? x i) = c?[ E ( xi2?1 ) ? 2 E ( x i ?1 x i) ? E ( xi2 )]
2 2 i ?1 i ?1 i ?1

n ?1

n ?1

n ?1

= c?σ ?μ ? 2 ? ?μ ] = c(n ? 1)2 ? 2c(n ? 1) [ μ σ σ σ
2 2 2 2 2

n ?1 i ?1

2

2

要求取 c,使 E[c? ( x i ?1? x i) ] ?σ
2 i ?1

n ?1

2

故应有 2c(n ? 1) ? 1 ,得 c ?

1 。 2(n ? 1)


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