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2018届北京市东城区高三第二学期综合练习(一) 理科数学试题及答案

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北京市东城区 2018 届高三第二学期综合练习 (一) 数学理试题 A4 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 3 分,共 40 分,在每小题列出的四个选项中, 选出符合题目 要求的一项. 1. 已知集合 A ? {x | ? x ? 1?? x ? 2? ≥ 0} ,则 ?R A ? ( 或x ? 2? A. ?x | x ? ?1, ) . B. ?x | x ≤ ?1 或 x ≥ 2? D. ?x | ?1≤ x ≤ 2? C. ?x | ?1 ? x ? 2? 2. 复数 1 ? i ? ( A. 2 ? 2 i C. ? 2 ? 2 i 1 1 1 1 i ) . B. 2 ? 2 i D. ? 2 ? 2 i ? π? 1 1 1 1 3. 2 x ? ? 的图象,只需把函数 y ? sin 2 x 的图象( 为了得到函数 y ? sin ? 3? ? ) . A.向左平移 3 个单位长度 C.向左平移 6 个单位长度 4. π π B.向右平移 3 个单位长度 D.向右平移 6 个单位长度 ) . π π 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S3 ? 9 , S5 ? 30 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? ( A.27 B.36 ? C.42 D.63 ) . 5. 在极坐标系中,点 ? ? A. 2 2 π? 2 , ? 到直线 ? cos? ? ? sin ? ? 1 ? 0 的距离等于( 4? B. 2 C. 3 2 2 D. 2 A 6. 如图,在 △ ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 , D 是 BC 的 中点,则 AD ? BC ? ( A. 3 C. 5 B. 4 D.不能确定 x2 y 2 2 ? 2 ? 1? a ? 0 , b ? 0? 的渐近线与圆 ? x ? 2? ? y 2 ? 1 相切,则双曲线 2 a b ) . B D C 7. 若双曲线 的离心率为( A. 2 B. ) . 2 2 C. 2 3 3 D. 2 8. ?1 ,x ? 0 , ? 已知符号函数 sgn ? x ? ? ?0 ,x ? 0 , 则函数 f ? x ? ? sgn ? ln x ? ? ln2 x 的零点个数为 ? ?1 ,x ? 0 ? ( A. 1 ) . B. 2 C. 3 D. 4 第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 1? ? ?x? ? 2? ? 4 的二项展开式中常数项为________. (用数字 D 作答) A O 10. 如图, AB 是圆 O 的直径,延长 AB 至 C ,使 AB ? 2 BC , B C 且 BC ? 2 , CD 是圆 O 的切线,切点为 D ,连接 AD ,则 CD ? ________ , ?DAB ? ________. 11. 设不等式组 ?0 ? y ? 2 表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点 ? ?0 ? x ? 2, P ? x , y ? ,则 x ? y ? 3 的概率为________. 12. 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数, 当 x ? 0 时, f ? x ? ? x2 ? 6 ,则 x ? 0 时, f ? x ? 的解析式为______,不等式 f ? x ? ? x 的解集为________. 13. 某写字楼将排成一排的 6 个车位出租给 4 个公司,其中有两个公司各 有两辆汽车,如果这两个公司要求本公司的两个车位相邻,那么不同 的分配方法共有________种. (用数字作答) 14. 如图,在三棱锥 A ? BCD 中, BC ? DC ? AB ? AD ? 面 BCD , O 为 BD 中点,点 P , Q 分别为线段 2 , BD ? 2 ,平面 ABD ? 平 AO , BC 上的动点(不含端点) ,且 AP ? CQ , A 则 三 棱 锥 ________. P ? QCO 体 积 的 最 大 值 为 D P C O B Q 三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分) 在 △ ABC 中, sin A 3 cos B ? a b . (1)求角 B 的值; (2)如果 b ? 2 ,求 △ ABC 面积的最大值. 16、 (本小题共 13 分) 某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况,抽取甲、乙两班, 调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间(单位:小时) , 统计结果绘成频率分布直方图(如图) .已知甲、乙两班学生人数相同, 甲班学生每天平均学习时间在区间 ?2 , 4? 的有 8 人. 频率/组距 0.1500 0.1250 0.1000 0.0875 a 0 2 4 6 8 10 12 小时 甲 频率/组距 0.175 0.075 0.050 0.025 0 2 4 6 8 10 12 小时 乙 (1) 求直方图中 a 的值及甲班学生每天平均学习时间在区间 (10 , 12] 的人 数; (2)从甲、乙两个班每天平均学习时间大于 10 个小时的学生中任取 4 人参加测试, 设 4 人中甲班学生的人数为 ? , 求 ? 的分布列和数学期望. 17、 (本小题共 14 分) PA ? 平面 ABCD , AB ? PA ? 1, 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, AD ? 3 , F 是 PB 中点, E 为 BC 上一点. P F A D E (1)求证: AF ? 平面 PBC ; (2)当 BE 为何值时,二面角 C ? PE ? D 为 45? . B C 18、 (本小题共 1

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