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2012高中数学 2.4.2第2课时课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第2章 2.4.2 第 2 课时 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.过抛物线 y =4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和等于 5, 则这样的直线( ) B.有且仅有两条 D.不存在 2 A.有且仅有一条 C.有无穷多条 解析: 由定义|AB|=5+2=7, ∵|AB|min=4,∴这样的直线有且仅有两条. 答案: B 2 2 2 2 2 2.在同一坐标系中,方程 a x +b y =1 与 ax+by =0(a>b>0)的曲线大致为( ) 解析: 方法一:将方程 a x +b y =1 与 ax+by =0 转化为 2 2 2 2 2 x2 y2 1 a 1 1 2 + =1,y =- x.因为 a>b>0,所以 > >0. 1 b b a a2 b2 所以椭圆的焦点在 y 轴上;抛物线的焦点在 x 轴上,且开口向左.故选 D. 方法二:方程 ax+by =0 中,将 y 换成-y,其结果不变, 即 ax+by =0 的图形关于 x 轴对称,排除 B、C, 又椭圆的焦点在 y 轴上,排除 A.故选 D. 答案: D 2 2 2 3.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点,若|FA| =2|FB|,则 k=( 1 A. 3 2 C. 3 解析: ) 2 2 B. 3 D. 2 3 过 A、B 作抛物线准线 l 的垂线,垂足分别为 A1、B1, 由抛物线定义可知,AA1=AF,BB1=BF, 又∵2|BF|=|AF|, ∴|AA1|=2|BB1|,即 B 为 AC 的中点. 从而 yA=2yB,联立方程组? ? ?y=k?x+2?, ?y =8x ? 2 8 2 ? 消去 x 得 y - y+16=0, k 8 ? ?yA+yB=k, ∴? ? ?yA·yB=16 答案: B 8 ? ?3yB=k, ?? ? B=16, ?2y2 ,消去 yB 得 k= 2 2 .故选 B. 3 4.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一动点 P 到直线 l1 和直 线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 11 C. 5 解析: 2 2 ) B.3 37 D. 16 ∵直线 l2:x=-1 恰为抛物线 y =4x 准线, ∴P 到 l2 的距离 d2=|PF|(F(1,0)为抛物线焦点), 所以 P 到 l1、l2 距离之和最小值为 F 到 l1 距离 |4×1-3×0+6| =2,故选 A. 2 2 3 +4 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知直线 x-y-1=0 与抛物线 y=ax 相切,则 a=________. 解析: 由? ? ?x-y-1=0 2 ?y=ax ? 2 ,得 ax -x+1=0, 2 1 Δ =1-4a=0,得 a= . 4 答案: 1 4 1 2 6.直线 y=x+b 交抛物线 y= x 于 A、B 两点,O 为抛物线的顶点,且 OA⊥OB,则 b 的值为 2 ________. y=x+b ? ? 解析: 由? 1 2 ?y=2x ? Δ =(-2) +8b>0, 2 ,得 x -2x-2b=0, 2 设直线与抛物线的两交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 由根与系数的关系,得 x1+x2=2,x1x2=-2b, 1 2 2 于是 y1y2= (x1x2) =b , 4 由 OA⊥OB 知 x1x2+y1y2=0, 故 b -2b=0,解得 b=2 或 b=0(不合题意,舍去). 2 b=2 适合 Δ >0. 答案: 2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.设过抛物线 y =2px 的焦点且倾斜角为 恰好过点 Q(5,0),求抛物线的方程. 解析: 弦 AB 中点为 M,MQ 为 AB 的中垂线, 2 π 的直线交抛物线于 A、B 两点,若弦 AB 的中垂线 4 AB 的斜率为 1,则 lMQ:y=-x+5. 设 lAB:y=x- . 2 p p ? ?y=x-2, 联立方程组? ?y2=2px. ? 得 x -3px+ =0, 4 2 p2 ∴x1+x2=3p.① y=-x+5 ? ? 联立方程组? p y =x - ? 2 ? p , 得 2x=5+ ,则 x1+x2=5+ ② 2 2 联立①②,解得 p=2, ∴抛物线方程为 y =4x. 8.已知抛物线 C:y =2px(p>0)过点 A(1,-2). (1)求抛物线 C 的方程,并求其准线方程; (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l,使得直线 l 与抛物线 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等于 解析: 5 ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 5 2 2 2 2 p (1)将(1,-2)代入 y =2px,得(-2) =2p·1, ∴p = 2 , 故所求的抛物线方程为 y =4x, 其准线方程为 x=-1; (2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=-2x+t, ?y =4x ? 由? ?y=-2x+t ? 2 2 得 y +2y-2t=0, 2 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点, 1 所以 Δ =4+8t≥0,解得 t≥- . 2 另一方面,由直线 OA 与直线 l 的距离等于 ∴t=±1, 1 1 由于-1? ?- ,+∞?,1∈?- ,+∞?, 2 ? ? ? 2 ? 所以符合题意的直线 l 存在,其方程为 y=-2x+1. 5 |t| 5 可得 = , 5 5 5 ?尖子生题库?☆☆☆ 9.(10 分)已知抛物线 C1:y =4px(p>0),焦点为 F2,其准线与 x 轴交于点 F1;椭圆 C2:分别 1 以 F1、F2 为左、右焦点,其离心

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2012高中数学 3章整合课时同步练习 新人教A版选修2-1 - 第3章 (考试