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空间向量在立体几何中的应用_图文

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空间向量在

立几中应用

空间向量在立体几何中的应用

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利用向量判断位置关系
利用向量可证明四点共面、线线平 行、线面平行、线线垂直、线面垂直等问 题,其方法是通过向量的运算来判断,这 是数形结合的典型问题

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评述:
此题用综合推理的方法不易入手。用向量代数的 方法则先证明线线垂直,再由线线垂直来证明线 面垂直,从而证得面面垂直.证明面面垂直的原理 是一致的,只不过是证明的手段不同 利用向量解几何题的一般方法是:把线段或角转 化为向量表示,并用已知向量表示未知向量,通 过向量运算去计算或证明

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利用向量求空间角
利用向量可以进行求线线角、线面 角、面面角,关键是进行向量的计算

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例2、空间四边形ABCD中,AB=BC=CD, AB⊥BC,BC⊥CD,AB与CD成600角,求 AD与BC所成的角
AD ? AB ? BC ? CD

AD ? 2或 2

?
3



?
4

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评述:
注意异面直线所成的角与异面直线上两 向量夹角的关系:相等或互补 求异面直线所成的角的关键是求异面直 线上两向量的数量积,而要求两向量的 数量积,必须把所求向量用空间的一组 基向量来表示,本题正遵循了这一规律

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利用向量求空间距离
空间距离是一种重要的几何量,包 括点线距离、点面距离、线面距离、面面 距离、异面直线间的距离等.利用常规方法 求距离,需要较强的转化能力,而用向量 法则相对简单

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例3、正方体AC1棱长为1,求平面AD1C 与平面A1BC1的距离
D A Z C

B

D1 A1 X

C1 Y

B1

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评述:
此题用找公垂线的方法比较难下手,用向量代数 的方法则简捷,高效,显示了向量代数方法在解 决立体几何问题的优越性 平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或 再转化为点到平面的距离

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练习:
已知二面角? -AB-? 为120 ,AC ? ?,BD ? ?,
0

且AC ? AB,BD ? AB,AB=AC=BD=1,求:

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小结
本段教材的学习重点是用向量代数的方法解决 立体几何问题,但在学习中应把几何综合推理 与向量代数运算推理有机结合起来。 向量代数推理是更加精练,严密的推理,每一 步都要根据运算法则进行。 要彻底改变“代数运算不算推理”的错误观点。 学习过程中应善于“前思后想”,提炼方法, 开拓思路。

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2、正方体ABCD-A1B1C1D1中,P 为DD1的中点, O1,O2,O3分别是平面A1B1C1D1,平面BB1C1C,平面 ABCD的中心。 (1)求证:B1O3⊥PA (2) 求异面直线PO3与O1O2成的角。
z
D1 C1

O1
A1 B1

p

O2
D C

y

O3

x

A

B

z
D1 C1

O1
A1
p B1

O2
D C

y

O3

x

A

B

3、如图所示立体图形中,<BAC=90°,∠DAB=45? , ∠DAC=60? ,AC=4,AB=3,求二面角B-AD-C的大小。
A E F D

B

C

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立几中应用 A
E F D B C

2 -2 + + + + =
+

AF

EB +

+2

+

B-AD-C

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思路与方法
利用向量求二面角的大小,优点是不作 出平面角,等于< , >。 选一封闭图形EBCF,EB+BC+CF+FE=0 一边保留三个向量:棱上的,两个面内 垂直与棱的,另一边保留一个向量。 夹角< , >等于平面角的补角。 CF

=(1,1,0); =(0,1,-1); A1D =(1,0,1) ⒋证明: 如图建立坐标系 设平面 BDFE的法向量为 =(x,y,z) · =0 即 Z =0 · D1 F C1 令x=1,y=-1,z= .则 =(1,-1, ) B1 A1 E 设A1到平面BDFE的距离为 h , 则

h=

·

=1
A X

D
B

C Y

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