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南大2006级概率论与数理统计试题B答案

时间:2012-12-29


2006 级概率论与数理统计试题 B 答案
一、填空题
1.设A,B为随机事件,已知P A ? 0.3,P ? B ? ? 0.4,P ? A ? B ? ? 0.5, 则P B | A ? B ? _____

?

?

? ?

1 1. 解: 4 P( B( A ? B)) P( AB ? BB) P( AB) P( A ? AB) P( A) ? P( AB) ? ? ? ? P( A ? B) P( A ? B) P( A ? B) P( A ? B) P( A) ? P( B) ? P( AB) P( A) ? P( A ? B) 0.2 1 ? ? ? 。 P( A) ? P( B) ? P( A ? B) 0.8 4 P( B A ? B) ?
2.一道单项选择题同时列出5个答案,一个考生可能真正理解而选对答案, 1 1 也可能乱猜一个。假设他知道正确答案的概率为 ,乱猜选对答案的概率为 。 3 5 如果已知他选对了,则它确实知道正确答案的概率为____

5 2. 解: 7 设事件A表示考生选对了,事件B表示考生知道正确答案。由全概率公式,得 1 2 1 7 P A) P B)(A B) P B)(A B) ? 1 ? ? ? ( ?( P ?( P ? 3 3 5 15 再由贝叶斯公式,得 P B A) ( ? P B)(A B) 1 15 5 ( P ? ? ? 。 P( A) 3 7 7

? x, 0 ? x ? 1 ? 3.设连续型随机变量X 的密度函数f ? x ? ? ? A ? x, 1 ? x ? 2,则A ? ______ . ? 0, 其它 ?

3.解: 2. 利用密度函数的归一性,有

?

??

??

f ( x)dx ? ? xdx ? ? ( A ? x)dx ?
0 1

1

2

1 1 ? A? 2? ?1 2 2

所以A ? 2。
?3x 2 , 0 ? x ? 1 4.设随机变量X 的密度函数f ? x ? ? ? ,若随机变量Y 表示对X 的 ? 0, 其它 2? ? 三次独立观察中事件 ? X ? ?出现的次数,则P ?Y ? 0 ? ? ______ . 3? ?

? 19 ? 4.解: ? . ? ? 27 ? 由题设可知Y ~ B 3,p),其中参数 (
2 2 2 8 3 p ? p ( X ? ) ? ? f ( x )dx ? ? 3 3x 2 dx ? , -? 0 3 27 于是所求概率

3

P Y ? 0) P3 0) C30 p 0 (1 ? p )3 ? ( ( ? ( ?

19 3 )。 27

1 5.在区间(0, 1)中随机地取两个数,则事件“两数之积大于 ”的概率为 ______ . 4 3 1 5. 解: ? ln 2。 4 2 设X ,Y 为区间(0, 1 )中随机取的两个点,则(X ,Y)的联合密度函数

?1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1), f ( x, y ) ? ? ?0(其他). 于是所求概率 1 P( XY ? ) ? 4

??
xy ?

1 4

f ( x, y )dxdy ? ?1 dx ? 1 dy ? ?1 (1 ?
4 4x 4

1

1

1

1 3 1 )dx ? ? ln 2。 4x 4 2

6.设随机变量X 和Y 相互独立,且都服从参数为(0 ? p ? 1)的(0 -1)分布。 p ? 1 (X ? Y 为偶数) 令随机变量Z ? ? ’要使X 和Z 相互独立,则p ? _______ . ?0 (X ? Y 为奇数)

6.解

1 2 当X 和Z 独立时,任何一个联合概率都等于边际概率的乘积,故应有 P( X ? 0, Z ? 0) ? P( X ? 0) P( Z ? 0),

即P( X ? 0, Y ? 1) ? P( X ? 0)[ P( X ? 0, Y ? 1) ? P( X ? 1, Y ? 0)], 再由X , Y 独立同分布,得 P( X ? 0) P(Y ? 1) ? 2 P( X ? 0) P( X ? 0) P(Y ? 1) 1 1 即P( X ? 0)=1-p= ,p= 2 2
7.设随机变量X 服从自由度为(n, n)的F 分布,已知(X ? a) ? 0.05, P 1 则(X ? ) ? ________ . P a
7. 解 0.95 由F 分布性质,若X ~ F (n, n), 则 P( X ? 1 1 ~ F (n, n), 于是, X

?

)=P(

1 1 ? ) ? P( X ? ? ) ? 1 ? P( X ? ? ) ? 1 ? P( X ? ? ) ? 1 ? 0.05 ? 0.95 X ?

二、选择题 1. 已知P( B) ? 0, A1 A2 ? ?, 则下列各式不正确的是(

).

? A? P ? A1 ? A2 | B ? ? P ? A1 | B ? ? P ? A2 | B ?; ? B ? P ? A1 A2 | B ? ? 0; ? C ? P ? A1 A2 | B ? ? 1; ? D ? P ? A1 ? A2 | B ? ? 1
解 选C.

1.

由A1 A2 ? ? 可知选项B, A显然正确, 而 A1 A2 ? A1 ? A2 ? ? , 所以选项D也正确, 并由此判断 A1 A2不可能是大概率事件, 故选项C不正确.
2.设A,B,C是三个相互独立的随机事件,且0 ? P ? C ? ? 1, 则下列四对事件中, 不相互独立的是( )

? A? A ? B与C; ? C ? A ? B与C;
2. 解 选B.

? B ? AC与C; ? D ? AB与C

因为P( ACC ) ? P( A?) ? P(?) ? 0 ? P( AC ) P(C ) , 所以事件 AC 与 C 不相互独立, 故选B.

3.设随机变量X 服从参数为2的指数分布,则随机变量Y ? 1 ? e?2 x ( 1? ? A? 服从 ? 0, 上的均匀分布; ? C ? 服从正态分布;
3. 解 选A.

)

? B ? 仍服从指数分布; ? D ? 服从参数为2的泊松分布。

? 2e ?2 x ( x ? 0), X 的密度函数f X ( x) ? ? y ? 1 ? e ?2 X 的反函数 ? 0 ( x ? 0), 1 1 x ? ? ln(1 ? y ), x ' ? (0 ? y ? 1).当0 ? y ? 1时Y的密度函数 2 2(1 ? y ) fY ( y ) ? f X ( x ) x ' ? 2e
1 ?2[ ? ln(1? y )] 2

1 ? 1,从而Y的密度函数 2(1 ? y )

?1 (0 ? y ? 1), fY ( y ) ? ? , ?0 (其他) 即Y 服从(0, 1 )上的均匀分布,因此选A.

4.随机变量X ,Y 和X ? Y的方差满足D ? X ? Y ? ? D ? X ? ? D ?Y ? 是X 与Y (

)

? A? 不相关的充分条件,但不是必要条件; ? B ? 不相关的必要条件,但不是充分条件; ? C ? 独立的必要条件,但不是充分条件; ? D ? 独立的充分必要条件
4. 解 选C. 因为D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y )是X 与Y 不相关的充分必要条件(所以 选项A, B结论错), 但由此条件推不出X 和Y 相互独立(故选项D的结论也错); 反之, 若X 和Y 相互独立, 则必有D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ), 所以选项C结论正确.

5.设存在常数a, b(a ? 0), 使得概率P ?Y ? aX ? b ? ? 1, 则必有(

)

? A? ? XY ? C ? ? XY

? 1; ? a ; a

? B ? ? XY

? ?1;

? D ? ? XY ? 1

5. 解 选C. 事实上 P(Y ? aX ? b) ? 1的充分必要条件为 ? XY ? 1, 而 a ? 1 (a ? 0), ?? a ??1(a ? 0),

? XY ?
故选C.

6.设X 1,X 2 ?,X n是取自正态总体X ~ N 0, ? 2)的简单随机样本,则 (

? 2的无偏估计量是(

)

? A? ? X i2 n
i ?1

1

n

? B?
2 i

1 n 2 ? Xi n ? 1 i ?1 1 n 2 ? Xi n ? 1 i ?1

?C ?

1 n2

?X
i ?1

n

? D?

6. 解

选A. 事实上 E( 1 n 2 1 n 1 n ? X i ) ? n ? E ( X i2 ) ? n ?{D( X i ) ? [ E ( X i )]2} n i ?1 i ?1 i ?1 n 1 ? ? (? 2 ? 0) ? ? 2 n i ?1

故选A.

? A? H1为真,接受H1 ? C ? H1为真,拒绝H1

7.在假设检验中,记H1为备择假设,则犯第一类错误是指(

)

? B ? H1不真,接受H1 ? D ? H1不真,拒绝H1

7. 解

选B.

因为第一类错误是指弃真错误, 即H 0为真时拒绝H 0 , 此时亦即H1不真时, 接受H1,所以选B。

三、计算题

1.有两个裁判组,第一组由3个人组成,其中两个人独立的以概率p做出 正确的裁定,而第三个人以掷硬币决定,最后结果根据多数人的意见 决定。第二组由一个人组成,他以概率p做出正确的裁定。试问这两个 裁判组哪组做出正确裁定的概率大?
1.解:设A、B、C分别表示事件 “第一组的三个人均做出正确裁定”, D表示“第一组人做出正确裁定”,则 D ? ABC ? ABC ? ABC ? ABC ,由题设
1 2 由于A、B、C是相互独立的,利用加法定理得 P ? A ? ? P ? B ? ? p, P ? C ? ?

P ? D ? ? P ? ABC ? ? P ABC ? P ABC ? P ABC

? ? ? ? P ? A? P ? B ? P ? C ? ? P ? A ? P ? B ? P ? C ? ? P ? A ? P ? B ? P ? C ? ? P ? A ? P ? B ? P ?C ?
1 1 1 1 ? p ? p ? ? p ? p ? ? p ?1 ? p ? ? ? ?1 ? p ? ? p ? 2 2 2 2 ?p

?

? ?

这样,两个裁判组正确裁定的概率一样大

其中G ? ?? x, y ? | 0 ? x ? 2, 0 ? y ? x 2 ? .求:

? Axy, ? x, y ? ? G ? 2.设二维连续型随机变量(X , Y )的概率密度函数f ? x, y ? ? ? , ? 0, ? x, y ? ? G ?

?1? 系数A; ? 2 ? X 和Y的边缘密度函数; ? 3? 条件概率密度函数f X |Y ? x | y ? 和fY | X ? y | x ? .
2. 解(1)由联合密度函数的归一性可得

? ?
??

??

??

??

f ( x, y )dxdy ? ?? Axydxdy ? ? Axdx ? ydy ?
0 0 G

2

x2

A 2 5 16 ?0 x dx ? 3 A ? 1 2

故A ?

3 16

(2)当0 ? x ? 2时 f(x) ? ? X f(y) ? ? Y
?? ??

f x, y )dy ? ? (

x2

0

3 3 5 xydy ? x 16 32

当0 ? y ? 4时 A 2 3 3 ?0 16 xydx ? 32 y (4 ? y ) ?? 2 所以X 和Y的边缘密度函数分别为 f x, y )dx ? ( ?3 5 ( ? x 0 ? x ? 2) f(x)= ? 32 X ?0, 其他 ? ?3 ) ? y (4 ? y(0 ? y ? 4) f(y)= ? 32 Y ?0, 其他 ? (3)当0 ? y ? 4时 ? 2x ( y ? x ? 2) f x, y ) ? ( f X (x | y )= = ? 4-y |Y f(y) ? Y 其他 ?0, 当0 ? x ? 2时 ?2y 2 f x, y ) ? 4(0 ? y ? x ) ( fY |(y | x)= =? x X fx x) ? ( 其他 ?0,
??

?3 y, 0 ? x ? y, 0 ? y ? 1 3.设二维随机变量(X , Y )的联合密度函数f ? x, y ? ? ? , 其他 ?0, 随机变量Z ? X ? 2Y,求Z的概率密度函数。
3. 解
( 若 X ,Y) 的联合概率密度为 f ( x, y) ,则 Z ? aX ?bY a(b, ? 0) 的概率密度

f

z

( z) ?

1 b

?

??

??

f ( x,

或 1 z ? ax )dx ? b a

?

??

??

f(

z ? by , y)dy a

本题 a=1,B=-2,代入上式可得

f

z

( z) ? ?

??

??

f ( z ? 2 y, y)dy

其中被积函数

?3 y(?2 y ? z ? ? y,0 ? y ? 1) f ( z ? 2 y, y ) ? ? 0(其他) ?

它取非零值的区域 由三条直线 z=-y,y=1 所围(如图所示) ,三角形顶点在 z 轴上的投影点-2,-1,0 便是 z 轴上 的分界点。 当 z ? ?2 或 z ? 0 时, 当 ?2 ? z ? ?1 时,

f

z

( z) ? 0

f

z

( z ) ? ? z 3 ydy ?
? 2

1

3 3 3 ? 2 8z ( z ) ? ? z 3 ydy ?
? 2 ?z

当 ?1 ? z ? 0 时,

f

z

9 3 8z

于是所求概率密度函数

f

?3 3 2 ?2 ? 8 z ( ?2 ? z ? ? 1 ? ? 9 2 ?? z (?1 ? z ? 0) z ? 8 其他 ? 0 ? ?

4.设随机变量3 X ? Y 和2X -3Y的方差、协方差分别是 D(3 X ? Y ) ? 333, D(2X -3Y ) ? 280, COV (3 X ? Y , 2 X ? 3Y ) ? ?42 求随机变量X ? 2Y 和2X +3Y的方差和协方差。
4.解 由方差和协方差的关系式可得

D(3 X ? Y ) ? 9 D( X ) ? D(Y ) ? 6 cov( X , Y ) ? 333 ? ? D(2 X ? 3Y ) ? 4 D( X ) ? 9 D(Y ) ? 12 cov( X , Y ) ? 280 ? ?cov(3 X ? Y , 2 X ? 3Y ) ? 6 D( X ) ? 3D(Y ) ? 7 cov( X , Y ) ? ?42 ?

解得 D( X ) ? 25, D(Y ) ? 36,cov( X , Y ) ? 12 ,于是
D( X ? 2Y ) ? D( X ) ? 4D(Y ) ? 4cov( X , Y ) ? 121

D(2X+3Y)=4D(X)+9D(Y)+12cov(X,Y)=568, cov(X-2Y,2X+3Y)=2D(X)-6D(Y)-cov(X,Y)=-178

5.某农贸市场的某种商品每日的价格为 Yn ? Yn ?1 ? X n (n ? 1), 其中Yn 表示第n天该商品的价格,X n 表示第n天较前一天商品价格的变化 (1)写出Yn与Y0,X 1,X 2,??,X n之间的关系 (2)已知X 1,X 2,??,X n相互独立,且E ( X n ) ? 0, D( X n )=(n= , 2 1 2,??)。 如果今天该商品的价格为100元,用中心极限定理估计18天后该商品的价格 在96元与104元之间的概率。
5.解 (1)由递推式 Yn=Yn-1+Xn(n≥1) ,得 Yn=Yn-2+Xn-1+Xn=Yn-3+Xn-2+Xn-1+Xn =…=Y0+X1+X2+…+Xn. (2)18 天后得商品价格 Y18=Y0+ ? X i =100+ ? X i ,
i ?1 i ?1 18 18

其中 X1,X2,…,X18 相对独立,且 E(Xi)=0,D(Xi)=2 (i=1,2,…, 18),故 E( ? X i )= ? E ( X i ) =0,D( ? X i )= ? D( X i ) = ? 2 =36.由独
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i?1 18 18 18 18 18

立同分布的中心极限定理可得 ? X i ~N(0,36),于是所求概率 P(96<Y18<
i ?1 18 ?4? 104)=P(-4< ? X i <4)=Φ ? ? -Φ ?6? i ?1

18

? 4? ?2? ? ? ? =2Φ ? ? -1≈0.4972. ? 6? ?3?

6.设总体X 服从参数为p的几何分布,即
k- P X ? k)=( -p) 1 (k=1,??) ( 1 p 2

且X 1,X 2, ,X n是X 的一个简单随机样本, ?? 求参数p的矩估计量和极大似然估计量

6.解

令 q=1-p,
? ? ?

E(X)= ? kp(1 ? p)k ?1 = p ? kq k ?1 = p(? q k )1 = p (
k ?1 k ?1 k ?1

1 p 1 )'= = . 2 (1 ? q) 1? q p

令 E(X)=

1 1 = X ,得 p 的矩估计量= X p

样本的似然函数
L( x; p) ? p(1 ? p) xi ?1 = p n (1 ? p)? xi ? n , =
i ?1 i ?1 n n

ln L( p ) =nlnp+ (? xi ? n) ln (1 ? p) ,
i ?1

n

? xi ? n d ?l n L ( p? ) n = - i ?1 . 1? p p dp


n

d ?ln L( p)? dp

? =0,得 p 的极大似然估计量为 p ?

1 X


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