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《等比数列前n项和》(说课比赛说课稿)(选自人教版高中数学第一册(上)第三章第五节)

时间:2011-03-10


说课题目:等比数列的前 n 项和(第一课时)
(选自人教版高中数学第一册(上)第三章第五节)

一、教材分析
1.从在教材中的地位与作用来看
《等比数列的前 n 项和》是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现 实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公 式推导过程中所渗透的类比、 化归、 分类讨论、 整体变换和方程等思想方法, 都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.

2.从学生认知角度看
从学生的思维特点看, 很容易把本节内容与等差数列前 n 项和从公式的 形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本 节公式的推导与等差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同, 这对学生的 思维是一个突破,另外,对于 q = 1 这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤 其是在后面使用的过程中容易出错.

3. 学情分析
教学对象是刚进入高中的学生, 虽然具有一定的分析问题和解决问题的 能力, 逻辑思维能力也初步形成, 但由于年龄的原因, 思维尽管活跃、 敏捷, 却缺乏冷静、深刻,因此片面、不严谨.

4. 重点、难点
教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用. 教学难点:公式的推导方法和公式的灵活运用. 公式推导所使用的 “错位相减法” 是高中数学数列求和方法中最常用的 方法之一,它蕴含了重要的数学思想,所以既是重点也是难点.

二、目标分析
知识与技能目标:
理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、 公式的特点, 在此基础 上能初步应用公式解决与之有关的问题.

过程与方法目标:
通过对公式推导方法的探索与发现, 向学生渗透特殊到一般、 类比与转 化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能 力和逆向思维的能力.

情感与态度价值观:
通过对公式推导方法的探索与发现,优化学生的思维品质,渗透事物之 间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.

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三、过程分析
学生是认知的主体, 设计教学过程必须遵循学生的认知规律, 尽可能地 让学生去经历知识的形成与发展过程, 结合本节课的特点, 我设计了如下的 教学过程:

1.创设情境,提出问题
在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大 为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求.西萨说:请给我棋盘的 64 个 方格上,第一格放 1 粒小麦,第二格放 2 粒,第三格放 4 粒,往后每一格都 是前一格的两倍,直至第 64 格.国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国 王大吃一惊.为什么呢?

设计意图:设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生 的兴趣,调动学习的积极性.故事内容紧扣本节课的主题与重点.
此时我问: 同学们, 你们知道西萨要的是多少粒小麦吗?引导学生写出 2 3 麦粒总数 1+ 2 + 2 + 2 + ?????? +263 . 带着这样的问题, 学生会动手算了起 来,他们想到用计算器依次算出各项的值,然后再求和.这时我对他们的这 种思路给予肯定.

设计意图:在实际教学中,由于受课堂时间限制,教师舍不 得花时间让学生去做所谓的“无用功”,急急忙忙地抛出“错位 相减法”,这样做有悖学生的认知规律:求和就想到相加,这是 合乎逻辑顺理成章的事,教师为什么不相加而马上相减呢?在整 个教学关键处学生难以转过弯来,因而在教学中应舍得花时间营 造知识形成过程的氛围,突破学生学习的障碍.同时,形成繁难 的情境激起了学生的求知欲,迫使学生急于寻求解决问题的新方 法,为后面的教学埋下伏笔. 2.师生互动,探究问题
在肯定他们的思路后,我接着问:1,2,2 ,?,2 是什么数列?有何 特征?1+ 2 + 22 + 23 + ?????? +263 应归结为什么数学问题呢? 探讨 1: 设s64 =1+ 2 + 22 + 23 + ??? + 263 ,记为(1)式,注意观察每一项 的特征,有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的 2 倍) 探讨 2: 如果我们把每一项都乘以 2,就变成了它的后一项,(1)式两 边同乘以 2 则有 2s64 = 2 + 22 + 23 + ??? + 263 + 264 ,记为(2)式.比较(1) (2)两式,你有什么发现?
2 63

设计意图:留出时间让学生充分地比较,等比数列前 n 项和的 公式推导关键是变“加”为“减”,在教师看来这是“天经地义” 的,但在学生看来却是“不可思议”的,因此教学中应着力在这儿 做文章,从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机.
经过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相同的项,把 两式相减,相同的项就消去了,得到:s64 ? 264 ? 1 .老师指出:这就是错位
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相减法,并要求学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以 2 呢?

设计意图:经过繁难的计算之苦后,突然发现上述解法,不 禁惊呼:真是太简洁了!让学生在探索过程中,充分感受到成功 的情感体验,从而增强学习数学的兴趣和学好数学的信心. 3.类比联想,解决问题
公比为q, 如何求前n项和sn?

首项为a1, 这时我再顺势引导学生将结论一般化, 设等比数列?an ?, 这里, 让学生自主完成, 并喊一名学生上黑板, 然后对个别学生进行指导.

设计意图:在教师的指导下,让学生从特殊到一般,从已知到 未知,步步深入,让学生自己探究公式,从而体验到学习的愉快 和成就感.
a1 - a1q n 1- q 对不对?这里的 q 能不能等于 1?等比数列中的公比能不能为 1?q=1 时是 什么数列?此时 sn=?(这里引导学生对 q 进行分类讨论,得出公式,同时 为后面的例题教学打下基础.) n-1 再次追问:结合等比数列的通项公式 an=a1q ,如何把 sn 用 a1、an、q 表 示出来?(引导学生得出公式的另一形式) 在学生推导完成后, 我再问:由(1 - q)sn = a1 - a1q n 得sn =

设计意图:通过反问精讲,一方面使学生加深对知识的认识, 完善知识结构,另一方面使学生由简单地模仿和接受,变为对知 识的主动认识,从而进一步提高分析、类比和综合的能力.这一 环节非常重要,尽管时间有时比较少,甚至仅仅几句话,然而却 有画龙点睛之妙用. 4.讨论交流,延伸拓展
在此基础上,我提出:探究等比数列前 n 项和公式,还有其它方法吗? 我们知道, sn = a1 +a1q+a1q2 +?+a1qn-1 = a1 +q(a1 +a1q+?+a1qn-2 ) 那 么 我 们 能 否 利 用 这 个关 系 而 求 出 sn 呢 ? 根 据 等 比 数 列 的 定 义 又 有 a2 a3 a4 an = = = ?= = q ,能否联想到等比定理从而求出 sn 呢? a1 a2 a3 an-1

设计意图:以疑导思,激发学生的探索欲望,营造一个让学 生主动观察、思考、讨论的氛围. 以上两种方法都可以化归到 sn ? a1 ? qsn?1 , 这其实就是关于 sn 的一个递推式,递推数列有非 常重要的研究价值,是研究性学习和课外拓展的极佳资源,它源 于课本,又高于课本,对学生的思维发展有促进作用. 5.变式训练,深化认识
例1: 求等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , ??? 前8项和; 2 4 8 16 63 1、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , 前多少项的和是 ? ??? 2 4 8 16 64 2、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , , 求第5项到第10项的和. ??? 2 4 8 16 3、 等比数列 1 ,1 ,1 , 1 , 求前2n项中所有偶数项的和. ??? 2 4 8 16

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首先, 学生独立思考, 自主解题, 再请学生上台来幻灯演示他们的解答, 其它同学进行评价,然后师生共同进行总结.

设计意图:采用变式教学设计题组,深化学生对公式的认识 和理解,通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三 个层次的问题解决,促进学生新的数学认知结构的形成.通过以 上形式,让全体学生都参与教学,以此培养学生的参与意识和竞 争意识. 6.例题讲解,形成技能
例2:求和 1+a+a2 +a3 +?+an-1 .

设计意图:解题时,以学生分析为主,教师适时给予点拨, 该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想. 7.总结归纳,加深理解
以问题的形式出现,引导学生回顾公式、推导方法,鼓励学生积极回 答,然后老师再从知识点及数学思想方法两方面总结.

设计意图:以此培养学生的口头表达能力,归纳概括能力. 8.故事结束,首尾呼应
最后我们回到故事中的问题,我们可以计算出国王奖赏的小麦约为 19 1.84×10 粒,大约 7000 亿吨,用这么多小麦能从地球到太阳铺设一条宽 10 米、厚 8 米的大道,大约是全世界一年粮食产量的 459 倍,显然国王兑 现不了他的承诺.

设计意图:把引入课题时的悬念给予释疑,有助于学生克服 疲倦、继续积极思维. 9.课后作业,分层练习
必做: P129 练习 1、2、3、4 选作: 思考题(1):求和 x+2x2 +3x3 +?+nxn . (2)“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请 问尖头几盏灯?”这首中国古诗的答案是多少?

设计意图:出选作题的目的是注意分层教学和因材施教,让 学有余力的学生有思考的空间.

四、教法分析
对公式的教学, 要使学生掌握与理解公式的来龙去脉, 掌握公式的推导 方法,理解公式的成立条件,充分体现公式之间的联系.在教学中,我采用 “问题――探究”的教学模式,把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结 规律、应用规律四个阶段. 利用多媒体辅助教学, 直观地反映了教学内容, 使学生思维活动得以充 分展开,从而优化了教学过程,大大提高了课堂教学效率.
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五、评价分析
本节课通过三种推导方法的研究, 使学生从不同的思维角度掌握了等比 数列前 n 项和公式.错位相减:变加为减,等价转化;递推思想:纵横联系, 揭示本质;等比定理:回归定义,自然朴实.学生从中深刻地领会到推导过 程中所蕴含的数学思想,培养了学生思维的深刻性、敏锐性、广阔性、批判 性.同时通过精讲一题,发散一串的变式教学,使学生既巩固了知识,又形 成了技能.在此基础上,通过民主和谐的课堂氛围,培养了学生自主学习、 合作交流的学习习惯,也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质.

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