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高考数学总复习经典测试题解析版2.4 二次函数与幂函数

时间:2014-09-16

2.4 二次函数与幂函数
一、选择题 1.已知幂函数 f(x)=x 的部分对应值如下表:则不等式 f(|x|)≤2 的解集是(
α

).

x f(x)

1 1

1 2 2 2

A.{x|-4≤x≤4} B.{x|0≤x≤4}C.{x|- 2≤x≤ 2} D.{x|0<x≤ 2} 解析 由题表知 2 ?1?α 1 1 =? ? ,∴α = ,∴f(x)=x . 2 ?2? 2 2

1 ∴(|x|) ≤2,即|x|≤4,故-4≤x≤4. 2 答案 A

? 1? 2.已知幂函数 y=f(x)的图像经过点?4, ?,则 f(2)=( ? 2?
1 A. 4 B.4 C. 2 2 D. 2

)

1 1 2 ? 1? α 解析:设 f(x)=x ,因为图像过点?4, ?,代入解析式得:α =- ,∴f(2)=2- = . 2 2 2 ? 2? 答案:C 3.若函数 f(x)是幂函数,且满足 A.-3 1 B.- 3
α

f f

1 =3,则 f( )的值为( 2 D.
α

)

C.3

1 3

解析:设 f(x)=x ,则由 答案:D

f f

4 1 1 α 1 1 α =3,得 α =3.∴2 =3,∴f( )=( ) = α = . 2 2 2 2 3

4.若 x≥0,y≥0,且 x+2y=1,那么 2x+3y 的最小值为( A.2 3 B. 4 2 C. 3

2

). D.0

1 解析 由 x≥0,y≥0 x=1-2y≥0 知 0≤y≤ 2

t=2x+3y2=2-4y+3y2=3?y- ?2+ 3

? ?

2?

?

2 3

1 3 ? 1? 在?0, ?上递减,当 y= 时,t 取到最小值,tmin= . 2 4 ? 2?

答案 B 5.已知函数 f(x)=x +bx+c 且 f(1+x)=f(-x),则下列不等式中成立的是( A.f(-2)<f(0)<f(2) C.f(0)<f(2)<f(-2) 解析:∵f(1+x)=f(-x), ∴(x+1) +b(x+1)+c=x -bx+c. ∴x +(2+b)x+1+b+c=x -bx+c. ∴2+b=-b,即 b=-1. 1 2 ∴f(x)=x -x+c,其图象的对称轴为 x= .∴f(0)<f(2)<f(-2). 2 答案:C 1 1 1 6.设 y1=0.4 ,y2=0.5 ,y3=0.5 ,则( 3 3 4 A.y3<y2<y1 C.y2<y3<y1 ). B.y1<y2<y3 D.y1<y3<y2
2 2 2 2 2

)

B.f(0)<f(-2)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)

1 1 1 x 解析 据 y=x 在 R 上为增函数可得 y1=0.4 <y2=0.5 ,又由指数函数 y=0.5 为减函数 3 3 3 1 1 可得 y2=0.5 <y3=0.5 ,故 y1<y2<y3. 3 4 答案 B 7 .函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0)的图象关于直线 x=- 对称.据此可推测,对任意的非 2a 零实数 a,b,c,m,n,p,关于 x 的方程 m[f(x)] +nf(x)+p=0 的解集都不可能是( A.{1,2} C.{1,2,3,4}
2 2 2

b

).

B.{1,4} D.{1,4,16,64}

解析 设关于 f(x)的方程 m[f(x)] +nf(x)+p=0 有两根,即 f(x)=t1 或 f(x)=t2. 而 f(x)=ax +bx+c 的图象关于 x=- 对称,因而 f(x)=t1 或 f(x)=t2 的两根也关于 x 2a
2

b

b 4+16 1+64 =- 对称.而选项 D 中 ≠ . 2a 2 2
答案 D 二、填空题
1

8.对于函数 y=x ,y=x 2 有下列说法:①两个函数都是幂函数;②两个函数在第一象限内 都单调递增;③它们的图像关于直线 y=x 对称;④两个函数都是偶函数;⑤两个函数都经 过点(0,0)、(1,1);⑥两个函数的图像都是抛物线型.

2

其中正确的有________. 解析:从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较. 答案:①②⑤⑥ 9.若函数 y=mx +x+5 在[-2,+∞)上是增函数,则 m 的取值范围是________.
2

m>0 ? ? 解析 由已知条件当 m=0,或? 1 - ≤-2 ? ? 2m
1 增函数,解得 0≤m≤ . 4

时,函数 y=mx +x+5 在[-2,+∞)上是

2

? 1? 答案 ?0, ? 4 ? ?
1.3 m 0.7 m 1.3 0 0.7 0 1.3 0.7 1.3 m 0.7 m

10.已知(0.7 ) <(1.3 ) ,则实数 m 的取值范围是________. 解析:∵0<0.7 <0.7 =1,1.3 >1.3 = 1,∴0.7 < 1.3 .而(0.7 ) <(1.3 ) , ∴幂函数 y=x 在(0 ,+∞)上单调递增,故 m>0. 答案:(0,+∞) 11. 方程 x -mx+1=0 的两根为 α 、 β , 且 α >0,1<β <2, 则实数 m 的取值范围是________.
?α +β =m, ? 解析 ∵? ? ?α ·β =1,
2

m

1 ∴m=β + . β 1 1 ? 5? 在(1,2)上是增函数,∴1+1<m<2+ ,即 m∈?2, ?. β 2 ? 2?

∵β ∈(1,2)且函数 m=β +

? 5? 答案 ?2, ? ? 2?
12.若方程 x +(k-2 )x+2k-1=0 的两根中,一根在 0 和 1 之间,另一根在 1 和 2 之间, 则实数 k 的取值范围是________.
2

f ? ? 解析: 设 f(x)=x +(k-2)x+2k-1, 由题意知?f ? ?f
2

, , ,

2k-1>0, ? ? 即?3k-2<0, ? ?4k-1>0,



1 2 得 <k< . 2 3 1 2 答案:( , ) 2 3 三、解答题 13.已知二次函数 f(x)的图像过点 A(-1,0)、B(3,0)、C(1,-8). (1)求 f(x)的解析式;(2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值;(3)求不等式 f(x)≥0 的解集. 解析:(1)由题意可设 f (x)=a(x+1)(x-3), 将 C(1,-8)代入得-8=a(1+1)(1-3),∴a=2.

即 f(x)=2(x+1)(x-3)=2x -4x-6. (2)f(x)=2(x-1) -8 当 x∈[0,3]时,由二次函数图像知 f(x)min=f(1)=-8,f(x)max=f(3)=0. (3)f(x)≥0 的解集为{x|x≤-1 或 x≥3}. 2 7 m 14.已知函数 f(x)= -x 且 f(4)=- , x 2 (1)求 m 的值;(2)求 f(x)的单调区间. 2 7 2 m m 解析:(1)f(4)= -4 =- ,∴4 =4.∴m=1.故 f(x)= -x. 4 2 x (2) 由(1)知,f(x)=2·x -x,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且为奇函数, 又 y=x ,y=-x 均为减函数,故在(-∞,0),(0,+∞)上 f(x)均为减函 数. ∴f(x)的单调减区间为(-∞,0),(0,+∞). 15.已知函数 f(x)=x +2ax+3,x∈[-4, 6]. (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (3)[理]当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 解析:(1)当 a=-2 时,f(x)=x -4x+3=(x-2) -1,由于 x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增,∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35,f(6)=15,故 f(x)的最大值是 35. (2)由于函数 f(x)的图像开口向上,对称 轴是 x=-a, 所以要使 f(x)在[-4,6]上是单调函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (3)当 a=1 时,f(x)=x +2x+3, ∴f(|x|)=x +2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
? ,6] ?x +2x+3,x∈ 且 f(x)=? 2 ?x -2x+3,x∈[-6,0], ?
2 2 2 2 2 2 -1 -1 2

2

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6],单调递减区间是[-6,0]. 16.设函数 f(x)=ax -2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值都有 f(x)>0,求实数 a 的取值 范围. 2x-2 2 解析 不等式 ax -2x+2>0 等价 于 a> 2 ,
2

x

2x-2 2x - 设 g(x)= 2 ,x∈(1,4),则 g′(x)=

2

x

x- x4

x

-2x +4x -2x x- = = 4 4

2

x

x



1 当 1<x<2 时,g′(x)>0,当 2<x<4 时,g′(x)<0,g(x)≤g(2)= , 2 1 ?1 ? 由已知条件 a> ,因此实数 a 的取值范围是? ,+∞?. 2 ?2 ?


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